生物统计理论分布和抽样分布

第四章理论分布和抽样分布一、基本概念1．必然事件：在同一组条件的实现下必然要发生的一类事件。

如人总是要死的，水在标准大气压下加热到100℃必然化为蒸汽。

P（A）＝1。

2．不可能事件：在同一组条件的实现下必然不发生的一类事件。

如水在标准大气压下温度低于0℃不可能呈气态。

P（A）＝0。

3．随机事件（偶然事件）：在同一组条件的实现下可能发生，也可能不发生的一类事件。

如种子可能发芽，也可能不发芽；硬币抛上落下可能正面朝上，也可能反面朝上。

P（A）∈[0，1]。

4．频率a：假定在相似条件下重复进行同一类试验调查，事件A发生的次数a与总试验次数n的比称之。

如抛硬币，10次有7次朝上，a＝7/10。

5．概率P：当试验总次数n逐渐增大时，事件A的频率愈来愈稳定地接近定值P，则事件A地概率为P。

6．小概率的实际不可能性原理：凡概率很小的事件（农业上一般指P<0.05的事件），在二、计算事件概率的法则1．和事件：C＝A＋B A：身高在1.65以下；B：身高在1.65～1.75之间；C：身高在1.75以下。

2．积事件：C＝A×B A：身高在1.65以下；B：男同学；C：身高在1.65以下的男同学。

3. 互斥事件：A·B＝V （V表示空集） A：小麦种子发芽；B：小麦种子不发芽。

4．对立事件：如果A＋B是必然事件，即A＋B＝U（U为全集）；而A·B＝V，即A与B 是互斥事件，则称B为A的对立事件，B＝A（补集），如上例发芽与不发芽。

5．完全事件：如A·B＝V且A＋B＝U，则称A与B为完全事件系，如小麦发芽与不发芽就构成完全事件系。

6．对立事件的概率：A()1(A)=-P P7．互斥事件的概率加法：()(A)()P＝+=+如身高小于1.60m的概率为(A)P A B P P B0.15；身高小于1.70m且大于等于1.60m的概率为()P B＝0.62；则身高小于1.70m的概率()(A)()+=+＝0.77P A B P P B8．独立事件的概率乘法：()(A)()P A B P P B=。

如0～9共10个数。

A：抽出一个奇数，P B＝0.4。

A与B是独立的。

现问抽出能被3 P＝0.5；B：抽出能被3整除的数，()(A)整除的奇数的概率为多少？()(A)()0.50.40.2==⨯=P A B P P B9．完全事件系的概率：如只有两个事件，()(A)()1+=+=。

对N个事件，如P A B P P B++=，则该N个事件称完全事件系，有：A B N U=且............A B N VP A B N P P B P N++=+++=(......)(A)()......()1三、随机变数的概率分布随机变数可能取得的每一实数值或某一范围的实数值是有一个相应的概率的，这一规律称为随机变数的概率分布。

X：随机变数x：随机变数的一个实数值或某一范围的实数值=时的概率。

()f x：概率函数，X x=）f x＝P（X x()∑==≤F x f x P X x()()()例：大豆黄子叶品种与青子叶品种杂交，F1代表现黄子叶，F2代按一对等位基因分离，黄子叶为显性，黄：青＝3：1。

令黄子叶＝1，青子叶＝0。

则(1)(1)3/4f P X===，===。

考察F2代的豆荚中的种子颜色。

f P X(0)(0)1/41、豆荚中只有一粒种子，相当于进行一次随机试验。

(1)3/4f=f=，(0)1/42、豆荚中有两粒种子，相当于进行两次的重复试验。

令黄为Y，青为G。

YY， YG， GY， GG3/4×3/4 + 3/4×1/4 + 1/4×3/4 + 1/4×1/4 ＝1独立事件乘法，完全事件两粒都是黄色种子的概率：(2)9/16f = 一粒种子是黄色的概率：12136(1)4416f C =⨯⨯= 没有一粒种子是黄色的概率：02111(0)4416f C =⨯⨯= 3、豆荚内有3粒种子GGG ， GGY ， GYG ， YGG ， YYG ， YGY ， GYY ， YYY没有黄子叶种子，0,(0)1/41/41/41/64X f ==⨯⨯=仅有一粒黄，1,(1)3/6439/64X f ==⨯=仅有两粒黄，2,(2)9/64327/64X f ==⨯=三粒均黄，3,(3)27/64X f ==因此：每一复合事件的概率必等于该事件出现的组合数目乘以单个事件的概率。

组合数目：!!()!x n n C x n x =- n 为豆荚内种子数x 为黄子叶种子数 即：()31()()()44x x n x n f x C -=复习：()31()()()44x x n x n f x C -= !!()!x n n C x n x =- 四、 二项总体和二项分布1． 二项总体：整个总体的各组或各单位可根据某种形状的出现与否分为两组。

如小麦种子发芽试验分发芽和不发芽，F2代种子子叶分为黄色或绿色。

2． 二项总体分布：在二项总体中给事件A 出现的个体以1代表，事件A 不出现的概率以0代表，则他们相应的发生概率为p 和1－p ＝q ，这一规律称之。

其平均数μ＝p ，σ2＝pq 。

如调查N 次，则：0fx Np p N Nμ+===∑ 222()()(1)x f x Np p pq N N Nμμσ---====∑∑ 3.二项分布：在二项总体中抽样，如每个抽样单位包括n 个个体，则事件A 在n 次试验中出现x 次必具有以下概率：()()x x n x n f x C p q -= x ＝0，1，2，……，n 。

这一规律称为二项分布，其平均数μ=np,方差σ2=npq (双参数n 和p)。

二项分布为间断性变数的理论分布。

显然,当n=1时二项分布就是二项总体分布。

4.二项分布的特点1） 是间断性随机变数的理论分布。

2） 有2个重要参数μ=np,σ2=npq 。

3） 当p=q 时呈对称状；如p ≠q,则偏斜；但当n 很大时,即使p ≠q,也接近对称。

4） 当n 充分大时(如n>30),而p 又不过分小(如p>0.1),且np ≥5, nq ≥5时,则该二项分布趋向正态分布。

当n →∞时(如n>50),而p →0(如p<0.1),且np<5时,则该二项分布趋向于潘松分布。

5） n=1时,二项分布即二项总体分布。

注意: ()(1)()(1)n x p f x f x x q-+=+五、 潘松分布是二项分布的一种极限事例,描述小概率事件。

即在观察次数n 中,某一事件出现的平均次数μ=np=m 为一定值且很小,即视之为潘松分布。

前已述: n →∞时(n>50),p →0(p<0.1),np<5，np=m ，()!x mm e f x x -= 所以: μ=np=m,σ2=npq=np=m (因为p →0,所以q →1)特点:1) 是二项分布的一种极限实例,描述小概率事件。

2) 是间断性随机变数的理论分布。

3) 是单参数分布:m 。

4) m 小时偏斜,m 大时(如m>10)趋向于对称趋近于正态分布。

例:矿泉水微生物(主要是大肠杆菌)浓度标准是不得超过0.3只/ml 。

现有一批同时出厂的某品牌矿泉水,要检查其是否合格。

从中随机抽一瓶(500ml 装),摇匀,从中随机取1ml,问如果该批产品合格,则这1ml 中有2只以上微生物的概率是多少?解:500ml 中共有500×0.3=150只。

一只微生物落入500ml 中任意1ml 的概率为p=1/500。

有150只,相当于150次试验.。

可采用二项分布: ()()x x n x n f x C p q -==(150)1501499()()500500x x x C -, x=0,1,2,…,150。

有两只以上微生物的概率=f(x>2)= 1-f(0)-f(1)-f(2)。

也可采用潘松分布:因为n=150>50较大,p=1/500<0.1较小,np=0.3<5,所以可用潘松分布。

m=np=0.3, ()!x mm e f x x -= , 可查表或计算, f(0)=0.74082, f(1)=0.22224, f(2)=0.0334。

有两只以上微生物的概率=f(x>2)= 1-f(0)-f(1)-f(2)=0.004。

结论:如果该批产品合乎标准,则在1ml 水中有2只以上微生物的概率是很小的。

如果某次检验发现在1ml 水中微生物超过2只,比如说3只,根据小概率的实际不可能性原理,有充分理由怀疑该批产品超标。

六、 正态分布1. 概念:用正态分布方程表述的概率分布称之,它是连续性变数的理论分布,是二项分布的极限曲线。

正态分布方程: 21()2()x N f x μσ--=x:所研究的变数。

()N f x :某一定值x 出现的函数值,称为概率密度函数,在图形上相当于x 值对应的纵坐标。

N: normal 正态分布的意思。

μ:总体平均数。

σ:总体标准差。

2. 正态分布的意义1) 客观世界确有许多现象的数据是服从正态分布的。

2) 可用作二项分布及其他间断性变数或连续性变数分布的近似分布(特别当n 较大时)。

3) 有些总体不呈正态分布,但从中随机抽出的样本平均数及其他一些统计数的分布,在样本容量适当大时仍然趋近于正态分布。

3. 正态分布曲线的特性1) 以μ为原点,左右对称。

2) 在x=μ处,曲线有最大纵高,其算术平均数x ,中数(左右对称),众数(最大纵高)均等于μ。

3) 双参数分布: μ确定其在x 轴上的位置,σ确定其变异度(纵高)。

因为曲线下面积是固定的, σ大,变异度大,大的数值愈大,小的数值愈小,两极分化,曲线趴下,纵高下降。

4) 多数次数集中在μ附近,离μ愈远,相应次数愈少,且在x u -相等处有相等次数(因为是对称分布),在x u -≥3σ以外次数极少。

5) 在x u -=1σ处有拐点,x 在μ-1σ处急转直上,在μ+1σ处下降减缓,并以x 轴为渐近线。

昆虫发育进度接近于正态分布,因为在生态分布的拐点处发育进度有较大转折,故:总体盛发期为μ-σ—μ+σ,即16%-84%；始盛期μ-σ,即16%；高峰期μ,即50%；盛末期μ+σ,即84%。

6) 正态分布曲线与x 轴之间的总面积=1(完全事件系概率之和为1)。

7) 正态曲线任何两个x 定值之间面积或概率完全由μ和σ确定,详见附表2。

2211()()()x x x N N N x f x dx f x dx f x dx -∞-∞=-⎰⎰⎰一些常用面积应记住:4. 标准正态分布由于不同总体具有不同的μ和σ,为便于表示和比较(否则要很多不同的正态分布表备查,实际上是不可能的,只能每次都计算),可用u 变数代替x 变数计算概率,令()x u μσ-=,则其相应标准正态分布方程为: 212()u u ϕ-=,其参数μ=0,σ2=1,即标准正态分布是μ=0,σ2=1的正态分布,相当于先作平移x →μ,然后统一纵高为单位高度,即除以σ。