各向同性材料的应力应变关系(广义胡克定律)
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§8-7 各向同性材料的应力应变关系 （广义胡克定律）
广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律（三向应力状态） 例题
广义胡克定律（平面应力状态）
x
x
E
y
E
x
y
y
E
x
E
y
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
( y
xy
x
G
x
)
x
1
E
2
(
x
y
)
y
1
E
2
(
y
x
)
xy G xy
适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
广义胡克定律（三向应力状态）
x
x
E
x
1 E
[
x
(
y
z )]
y
1 [
E
y
(
z
x
)]
z
1 E
[
z
(
x
y )]
x
E
y
x
E
z
适用范围：各向 同性材料，线弹 性范围内
例题
例 5-1 已知 E = 70 GPa, = 0.33, 求 45。
解： 应力分析
x 50MPa, y 0, x 30MPa
Fra Baidu bibliotek
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
45
5020
500cos90 2
30sin90
5
MPa
135 55MPa
45。计算
45
1 E
(
45
145
)
3.31104
例 5-2 对于各向同性材料，试证明：
G
E 2(1
)
证： 根据几何关系求45。
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin2
2
x y 0 xy / G
45
xy
2
2G
根据广义胡克定律求 45。
45
1 E
( 3
1 )
(1 )
E
比较
G E
2(1 )
解：
y
F a2
80
x
MPa
Ex
E
y
x
0
x
E
E
y
0
x y 24 MPa
1 0, 2 24 MPa, 3 80 MPa
广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律（三向应力状态） 例题
广义胡克定律（平面应力状态）
x
x
E
y
E
x
y
y
E
x
E
y
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
( y
xy
x
G
x
)
x
1
E
2
(
x
y
)
y
1
E
2
(
y
x
)
xy G xy
适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
广义胡克定律（三向应力状态）
x
x
E
x
1 E
[
x
(
y
z )]
y
1 [
E
y
(
z
x
)]
z
1 E
[
z
(
x
y )]
x
E
y
x
E
z
适用范围：各向 同性材料，线弹 性范围内
例题
例 5-1 已知 E = 70 GPa, = 0.33, 求 45。
解： 应力分析
x 50MPa, y 0, x 30MPa
Fra Baidu bibliotek
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
45
5020
500cos90 2
30sin90
5
MPa
135 55MPa
45。计算
45
1 E
(
45
145
)
3.31104
例 5-2 对于各向同性材料，试证明：
G
E 2(1
)
证： 根据几何关系求45。
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin2
2
x y 0 xy / G
45
xy
2
2G
根据广义胡克定律求 45。
45
1 E
( 3
1 )
(1 )
E
比较
G E
2(1 )
解：
y
F a2
80
x
MPa
Ex
E
y
x
0
x
E
E
y
0
x y 24 MPa
1 0, 2 24 MPa, 3 80 MPa