2018年4月浙江省高中学业水平考试数学试题(解析版)

2018年4月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题
一、选择题(每小题3分，共54分)
1.已知集合P={x|0≤x<1}，Q={x|2≤x≤3}，记M=P∪Q，则( )
A. {0，1，2}⊆M
B. {0，1，3}⊆M
C. {0，2，3}⊆M
D. {1，2，3}⊆M
【答案】C
2.函数f(x)=+的定义域是( )
A. {x|x>0}
B. {x|x≥0}
C. {x|x≠0}
D. R
【答案】A
3.将不等式组，表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是( )
A. (−3，1)
B. (1，−3)
C. (1，3)
D. (3，1)
【答案】D
【解析】将点逐一代入，知D符合
4.已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3−x)，则f(1)=( )
A. 1
B. log26
C. 3
D. log29
【答案】C
5.双曲线x2−=1的渐近线方程是( )
A. y=±x
B. y=±x
C. y=±x
D. y=±3x
【答案】C
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD
所成角的余弦值是( )
B1C1
D1
A1
D
C
B
A
A .
B .
C .
D .
【答案】 D
【解析】直线A 1C 与平面ABCD 所成角即为1
ACA ∠,求得1cos ACA ∠= 7. 若锐角α满足sin (α+)=，则sinα=( )
A .
B .
C .
D .
【答案】 D
【解析】由诱导公式知3cos 5α=
， α是锐角，4 sin 5
α∴= 8. 在三棱锥O −ABC 中，若D 为BC 的中点，则
=( )
A . +−
B . ++
C . +−
D . ++
【答案】 C
【解析】1
()2
AD OD OA OB OC OA =-=
+-，故选C 9. 设{a n }，{b n }(n ∈N *)时公差均不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是
( )
A . {a n ∙b n }
B . {a n +b n }
C . {a n +b n +1}
D . {a n −b n +1}
【答案】 A
10.不等式|2x−1|−|x+1|<1的解集是( )
A. {x|−3<x<}
B. {x|−<x<3}
C. {x|x<−3或x>}
D. {x|x<−或x>3}
【答案】B
【解析】分
11
1,1,
22
x x x
<--≤≤≥三种情况打开绝对值讨论，可得
11.用列表法将函数f(x)表示为
则( )
A. f(x+2)为奇函数
B. f(x+2)为偶函数
C. f(x−2)为奇函数
D. f(x−2)为偶函数
【解析】显然偶函数不可能，又f(1)= -1,f(3)=1,则f(-1+2)= -f(1+2),符合f(-x+2)= -f(x+2),故选A
12. 如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形
ABCD 分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( ) A . x 2+y 2−x +2y +1=0 B . x 2+y 2+2x −2y +1=0
C . x 2+y 2−2x +y −1=0
D . x 2+y 2−2x +2y −1=0
【答案】B
13. 设a 为实数，则“21a a >
”是“2
1a a
>”的( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】由21a a >
，得1a >；由2
1a a
>，得0a <或1a >，故选A
14. 在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，−1)，B (2，0)，过A 的直线交x 轴于点C (a ，0)，若
直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a =( )
A .
B .
C . 1
D .
【答案】B
【解析】设直线AB 的倾斜角为θ，则直线AC 的倾斜角为2θ，
011 tan 202AB k θ+==
=- 22t a n
3
t a n 21t a n 4
AC k θθθ
∴===-，故选B
15. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图1，图2所示，分别记它们的表面积为S 甲，S 乙，
体积为V 甲，V 乙，则( ) A . S 甲>S 乙，V 甲>V 乙
B . S 甲>S 乙，V 甲<V 乙
C . S 甲<S 乙，V 甲>V 乙
D . S 甲<S 乙，V 甲<V 乙
【答案】B
【解析】图甲为正方体挖去一个棱长为a 的小正方体，图2为正方体挖去一个小三棱柱，显然S S V V ><甲乙甲乙，
16. 如图，F 为椭圆+=1(a >b >0)的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点A ，B
分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，若△OAB 的
面积是△OPF 面积的倍，则该椭圆的离心率是( ) A . 或 B . 或
C . 或
D . 或
【答案】D
【解析】将x c =代入，得2
(,)b P c a
-，
由已知，2
251125222OAB
OPF b S S ab c a bc a
∆∆=⇒=⋅⇒=
图2
图1
俯视图
俯视图
42224221425() 2525405a a c c e e e ⇒=-⇒-+=⇒=
或24
5
e =，故选D
17. 设a 为实数，若函数f (x )=2x 2−x +a 有零点，则函数y =f [f (x )]零点的个数是( )
A . 1或3
B . 2或3
C . 2或4
D . 3或4
【答案】C 【解析】
18. 如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF
所在平面相交
C B
A
D
E
F
于AC，若AB=1，BC=，AF=FE=EC=1，则下列二面角的平面角大小为定值的是A. F−AB−C B. B−EF−D
C. A−BF−C
D. B−AF−D
【答案】B
【解析】
二、填空题(每空3分，共15分)
19. 已知函数f (x )=2sin (2x +)+1，则f (x )的最小正周期是_________________________，f (x )
的最大值是_________________________
【答案】;3π
20. 若平面向量a ，b 满足2a +b =(1，6)，a +2b =(−4，9)，则a ∙b =____________________
【答案】2-
【解析】由2a +b =(1，6)，a +2b =(−4，9)，解得
(2,1),(3,4), 2(3)142a b a b ==-∴⋅=⨯-+⨯=-
21. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，则cosC 的取值范围是_______________________
【答案】3
【解析】222255cos 26663
a b c a a C ab a a +-+===+≥=
<∴∈
又cosC1,cosC
22.若不等式2x2−(x−a)|x−a|−2≥0对于任意x∈R恒成立，则实数a的最小值是
________________
【解析】
三、解答题(3小题，共31分)
23.(10分)在等差数列{a n}(n∈N*)中，已知a1=2，a5=6
(1)求{a n}的公差d及通项a n
(2)记b n=(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n
【解析】
24.(10分)如图，已知抛物线y=x2−1与x轴相交于A，B两点，P是该抛物线上位于第一象
限内的点
(1)记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k2−k1为定值
(2)过点A作AD⊥PB，垂足为D，若D关于x轴的对称点恰好在直线P A上，求△P AD
的面积
【解析】
25.(11分)如图，在直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，)，直线x=t(0<t<2)，将△OAB
分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω，设Ω各边长的平方和为f(t)，Ω各边长的倒数和为g(t)
(1)分别求函数f(t)和g(t)的解析式
(2)是否存在区间(a，b)，使得函数f(t)和g(t)在该区间上均单调递减？若存在，求b−a
的最大值，若不存在，说明理由
【解析】。