第三章 流体运动的基本方程

3.1写出下列各量的数学表达式：

（1）单位时间内以n 为法向的面积元dA 上的流体体积流量；

[解] 设流速为V ，单位时间令为“1”，则解为dA n ν⋅

（2）t ∇时间内经固定不动空间τ的表面S 净流入τ的质量；

[解] 设流体密度为ρ，n 为其单位法向量，流速为ν，则解为t dA n ∇⋅-

⎰νρ （3）流体体积τ内的动量、动能的随体导数。

[解] 动量的随体导数：()

⎰τνρτd Dt D

动能的随体导数：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎰τνρτd Dt D 22 3.2 求各种坐标系下的连续性方程（用微六面体）：

（1）柱坐标；

[解]

（2）球坐标；

（3）一般曲线坐标。

[解] 将连续性方程推广到一般曲线坐标系下，建立微元体如下图：

在1u 轴向：单位时间内

3.3 下列各种流体运动中，哪个方向速度分量为零，然后写出连续性方程：

（1）流体质点在每一平行平面上作径向运动；

（2）流体质点在空间作径向运动；

（3）流体质点在每一个都交于z 轴的平面上运动；

（4）流体质点在同心的球面上运动；

（5）流体质点在共轴的圆柱面上运动。若再加上无轴向运动，又如何？

（6）流体质点在共轴且有共同顶点的锥面上运动。

3.5 在流体中取一任意形状的控制体，由此求连续性方程。

[解]

取一任意形状控制体（流场中），其体积为τ，表面积为Ｓ，密度为()t z y x ,,,ρ，左方流入流体质量dA n s νρ⎰⋅-1，右方流出流体质量dA n s νρ⎰

⋅2， 净流量为dA n s νρ⎰⋅-1－dA n s νρ⎰

⋅2＝dA n s νρ⎰⋅- 据质量守恒有：dA n d t p

s νρττ⎰⎰⋅-=∂∂，即0=⋅+∂∂⎰⎰dA n d t p s νρττ

3.6 流体作有自由面的三维波动，底面为平面且流体等深，波动幅度小，求连续性方程。

[解]

取一控制体（如上图）：

ｘ方向：左端流入

()t dy h u ∆+ξρ，右端流出()()()x t dy h u t dy h u ∂∆+∇+∆+ξρξρ， 净流量()()t dxdy h u x ∆+∂∂

ξρ

ｙ方向：同理有：净流量()()t dxdy h u y ∆+∂∂ξρ

控制体内质量变化为： ()()t dxdy h u y ∆+∂∂ξρ 据质量守恒：()

()()()0)(=∆+∂∂+

∆+∂∂+∆∂+∂t dxdy h y t dxdy h u x t dxdy t h ξρνξρξ 约去t dxdy ∆，且ｈ为常量，整理得：()()()0)(=+∂∂++∂∂+∂∂ξρνξρξh y

h u x t