最新经济数学微积分课件讲课教案
《微积分教案》课件
《微积分教案》课件一、微积分简介1. 微积分的起源和发展2. 微积分的基本概念：极限、导数、积分3. 微积分在实际问题中的应用二、极限与连续1. 极限的定义与性质2. 无穷小和无穷大3. 极限的运算法则4. 函数的连续性与间断点5. 连续函数的性质及其应用三、导数与微分1. 导数的定义与几何意义2. 导数的运算法则3. 高阶导数4. 隐函数求导与参数方程求导5. 微分及其应用四、微分中值定理与导数的应用1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理2. 柯西中值定理与泰勒公式3. 导数在函数性质分析中的应用4. 函数的单调性、凹凸性与拐点5. 函数的极值及其应用五、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本积分公式与积分方法3. 定积分的定义与性质4. 定积分的运算法则5. 定积分的应用：面积、体积与弧长六、定积分的应用（续）1. 定积分的物理意义与应用2. 定积分与不定积分的关系：反常积分3. 定积分的进一步应用：力、热量、功七、微分方程1. 微分方程的定义与分类2. 常微分方程的基本解法3. 线性微分方程与非线性微分方程4. 微分方程在实际问题中的应用八、级数1. 数项级数的概念与收敛性2. 常见级数的性质与判别法3. 幂级数与泰勒级数4. 函数项级数与傅里叶级数九、多元函数微分学1. 多元函数的基本概念2. 多元函数的偏导数与全微分3. 多元函数的极值及其存在性定理4. 多元函数的泰勒公式与方向导数十、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法与应用3. 三重积分的概念、计算与应用4. 曲线积分的概念与计算5. 曲面积分的概念与计算重点和难点解析一、微积分简介难点解析：极限的概念及性质，无穷小和无穷大的理解，极限的运算法则。
二、极限与连续难点解析：无穷小和无穷大的比较，连续函数的判断与性质。
三、导数与微分难点解析：隐函数求导，参数方程求导，微分的应用。
四、微分中值定理与导数的应用难点解析：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式。
经济数学——微积分PPT课件
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思考题
一工厂有x名技术工人和 y 名非技术工人每天 可生产的产品产量为
f ( x, y) x2 y (件)
现有16名技术工人和32名非技术工人, 而厂长计划 再雇用一名技术工人. 试求厂长如何调整非技术工 人的人数, 可保持产品产量不变？
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解 现在产品产量为f (16,32)=8192件, 保持
这种产量的函数曲线为
f ( x, y)= x 2 y =8192 (1)
对于任一给定值 x 每增加一名技术工人时 y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dy .
dx
(1)式两端对x求导，整理得：
2 xy x 2 y 0；
dy 2 y .
3. x y 0；
2
2
4.sin t cos t ,2 cos t sin t
3；
5. e x y y . x e x y
二、1. e 2 y (3 y)； (2 y)3
2.-2csc2 ( x y)c tan3 ( x y)；
3. y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
(t )
(t) (t) (t) 3(t)
.
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例6
求摆线
x y
a(t a(1
经济数学微积分课程教学设计教案
《经济数学微积分》课程教学设计第1章函数、极限与连续（18课时）1.1函数的概念和性质（1课时）一、教学内容1.1.1区间和邻域1.1.2函数的概念1.1.3函数的表示法1.1.4函数的几何特性二、教学要求理解函数的概念，掌握函数的几何性质，会求函数的定义域，会建立应用问题的函数关系。
三、教学重点函数的概念、函数的几何性质四、教学过程（一）基本内容（视频1-1-1,1-1-2）1、区间和邻域邻域的概念与表示2、函数的概念函数的概念与表示、函数的定义域的求法（5个方面）【例1.1】3、函数的表示法几种特殊的函数的解析与图形表示【例1.2】——【例1.5】4、函数的几何特性单调性、奇偶性、周期性、有界性（重点单调性和有界性的判断方法）【例1.6】——【例1.7】（二）引导问题1、什么是邻域？怎样表示？2、什么是函数？函数的表示方法有哪几种？3、怎样确定函数定义域？4、函数的几何特性有哪些？怎样判断函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性？（三）练习习题1.11（1）—（4）， 2（1）（3），3，4（1）（3）（5）,5（1）（3），6（1）（四）解疑答问由学生提出疑问，师生共同解答（五）作业2（2）（4），4（2）（4）（6），5（2）（4），6（2），7一、教学内容1.2.1反函数1.2.2三角函数与反三角函数1.2.3复合函数1.2.4基本初等函数与初等函数二、教学要求理解反函数、复合函数的概念，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本初等函数、初等函数的概念。
三、教学重点复合函数的概念、函数的复合与分解，基本初等函数的解析式、定义域和值域、图形和性质。
四、教学过程（一）基本内容（视频1-2-1,1-2-2）1、反函数的概念、互为反函数的图形的性质【例1.8】2、三角函数与反三角函数正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的表示、定义域、值域和图形。
【例1.9】3、复合函数复合函数的概念、复合函数的合成与分解。
第七章 多元函数的微积分 《经济数学》PPT课件
于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序 数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有 改变量Δx和Δy,则Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在 点(x,y)的全增量.
➢ 定义7-6
PART
07
7. 5. 1 二元函数的极值
7.5
多元函数的极值
➢ 定义7-7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0) 的任意一点(x,y),如果有f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值;如果有 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点.
1)边际函数 ➢ (1)边际成本 • 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本
函数为C(x,y),则("∂" C)/("∂" x)表示:当乙商品的数量保持在某 一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为 总成本C(x,y)对x的边际成本.("∂" C)/("∂" y)表示:当甲商品的数 量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我 们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.
微积分-经济数学-吴传生第三章-(6)专题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
又平均函数为
f (x) x
tan ,因而
Ey Ex
tan m tan
若考虑弹性的绝对值， 则 Ey tan m Ex tan
如果我们知道了一条函 数y f ( x)所示的曲线，
则在曲线上任一点 A处对应的弹性，通过 A作
曲线AB的切线和线段OA，就可得夹角 m 和，
进而就可得 Ey . Ex
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其
经济意义.
解 (1)生产900个单位时旳总成本为
C (Q )
1100 9002 1775
Q 900
1200
平均成本为
C (Q)
1775 1.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本旳 平均变化率为
C(Q) C(1000) C(900) 1993 1775 1.58
解： (a)其纵轴截距a 0,故EP 1 (b)此函数与横轴相交(a 0)，故EP 1 (c)此函数与纵轴相交(a 0)，故EP 1
4. 收益弹性
ER dR P EP dP R
例1 某需求曲线为：Q 100P 3000，求 当P 20时的弹性．
解 dQ 100
dP
当P 20时，Q 1000
所以EP
100 20 1000
2.
(一)几种特殊旳价格弹性 从理论上来说，有下列四种特殊旳需求弹性：
(1)需求的价格弹性等于 0．也就是说，这种商品 完全 没有弹性，不管价格如 何变化，其需求量都不 发生 变化．这种商品的需求 曲线的图形是一条垂直 的直 线(图2 3a).
P
D
P
O
P
(a)
O QP
A
最新经济数学微积分第一章函数部分
6. 【定义 1.5 】
差集 —— A B { x | x A且 x B } , A B 有时写成 A B ；
7. 【定义 1.6 】 余集 ( 补集 )
—— Ac U A ，
立身以立学为先，立学以读书为本
其中 U 为全集 . 显然： ( Ac )c A .
a A.
4. 有限集 ---- 含有有限个元素 .
无限集 ---- 含有无限个元素 .
（二）集合的表示方法
(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法
.即
A { a1, a2 , , an} .
例如 A {1,2,3,4,5,6} .
(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法 A { a | a所具有的特征 } .
.即
立身以立学为先，立学以读书为本
例如 A {( x, y) | x 2 y2 1} . B { x | x2 5x 6 0} .
（ 3）全集与空集 ①空集 —— 不含有任何元素的集合 . 记作 .
提问 ： 0 , 是空集吗？
②全集 —— 所研究的所有事物组成的集合，记作
U.
（三）集合的关系 （包含关系） 与运算
例如：
（ 1）设 A {1,2}, B {2,1}, C { x x2 3x 2 0},
则 A B C. （ 2） A x | x是大于１ 而小于４ 的整数 ； B x | x2 5x 6 0 则 A B .
4. 【定义 1.3 】并集
A B { x | x A或 x B } , 记作 A B .
5. 【定义 1.4 】交集
不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友
《经济数学——微积分》11-3名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 思索题
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间旳级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
定理 1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,);(ⅱ)
收敛
.
三、证明:
lim
n
b3n n!a n
0.
练习题答案
一、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
un u1 u2 un
n1
满足条件 lim un1 （其中 可以为 ）
n un
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛；
n1
当 1时，级数 un 发散
n1
例 4 判别下列级数的收敛性:
(1)
xn
;
n0 n!
(2)
(1)n
x2n
;
n1
(2n)!
(3)
( 1) ( n 1) x n
显然 vn 0, 且 vn un ,
vn收敛,
n1
又 un (2vn un ),
n1
n1
un 收敛.
n1
例3
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛, n2 n1 故由定理知原级数收敛.
定理 3 如果任意项级数
lim
n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项 rn 的绝对值 rn un1.
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x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x接 现x0 近 程.度
① 定 义 1 设 函 数 f (x) 在 点 x0的 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么
小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 当 x 满 足 不 等 式
0 x x0 时，对应的函数值 f (x)都满足
),对应的 f(x函 )的数 变值 ； 化情形
1.自变量趋于有限值时函数的极限
问 题 :函 数 yf(x)在 x x0的 过 程 中 ,对 应 函 数 值 f(x)无 限 趋 近 于 确 定 值 A .
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0
x0
证明limf(x) 1. x0
x0 x0
y
y1x
1
yx2 1
o
x
分x0和x0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋x0近 , 记x作 x0; x从右侧无限趋x0近 , 记x作 x0;
左极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.(left-hand limit)
记 x l x i 0 作 fm (x ) A 或 f(x 0 ) A .
x x0 x x0 ,
x x0
x0
任给 0, 要f(使 x )A ,
只x 要 x0 x0且不取 .取 负 m 值 x 0 i,n x 0 { },
当 0xx 0 时 ,就x 有 x0,
limx xx0
x0.
3.单侧极限(one-sided limit):
例如,
设
f
(x)
1 x, x2 1,
证 任给 0, 任取 0, 当 0xx 0 时 ,
f(x)ACC 0 成立, limCC. xx0
例3 证x l明 ix0m xx0.
证 f ( x ) A x x 0 ,任给 0, 取,
当 0 x x 0 时 ,
f(x ) A x x 0成立, xl ixm 0 xx0.
例4 证明 limx212. x1 x1
记 作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x ) x
"X"定义limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
2. 另两种情形:
10.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
右极限 0, 0,使x0当 xx0时 , 恒f(有 x)A.(right-hand limit)
记 x l x i 0 作 fm (x ) A 或 f(x 0 ) A .
注 :{ x 0 意 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0 }
定 : x l x 0 if 理 ( m x ) A f ( x 0 ) f ( x 0 ) A .
不 等 式 f (x) A ,那 么 常 数 A就 叫 函 数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限 , 记 作
lim f ( x ) A 或
x x0
f ( x ) A (当 x x 0 )
""定义 0,0,使0 当 xx0时 ,
恒f有 (x)A.
注意：1.函数极 f(x)限 在x 与 点 0是否有定 ; 义
证 函数在点x=1处没有定义. f(x)Axx2112 x1 任给 0, 要f(使 x )A , 只要取 ,
当 0xx 0 时 ,就有xx2112,
x2 1 lim 2.
x1 x1
例5 证 :当 x 明 0 0 时 ,x l x i0 m x x 0 .
证 f ( x ) A x x 0
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 six 时 n无限接 0. 近
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
xX表x示 的过 . 程
①定义 2 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有 定义，对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 X ,使得当 x 满足不等式 x X 时， 对应的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) A , 那 么 常 数 A 就 叫 函 数 f ( x ) 当 x 时的极限 ,
经济数学微积分课件
一、函数极限的定义
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。
下面，我们将主要研究以下两种情形：
(1)自变x量 任意接近于 x0(x有 限 x0),对应的函 f(x)数 的值 变化； 情形
(2)自变 x的 量 绝x无 对限 值 (x增 大
20.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 当 恒 f ( x ) A 有 .
定:l理 im f(x )A lif( m x ) A 且 lif( m x ) A .
x
x
x
3. 几何解释:
y sin x x
A
A
A
X
X
当 xX或 xX时 ,函y 数 f(x)图形完全落 直y线 A为中,心 宽2 线 为 的带形. 区域内
例6 验证limx 不存.在 x0 x
y
证 limxlimx
x x x0
x0
lim (1)1 x 0
1
o
x
1
x lim
limx
lim11
x x x0
x0
x0
左右极限存在但不相等, x)不存. 在 x0
2. 自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
播放
问 题 :函 数 yf(x)在 x 的 过 程 中 , 对 应 函 数 值 f(x)无 限 趋 近 于 确 定 值 A .
2.与任意给定的 有正 关 . 数
②几何解释:
y
当 x 在 x 0 的去心
邻
A
域时 ,函数 y f ( x )
A
图形完全落在以直
A
yf(x)
线 y A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 . o x0 x 0 x0
x
显然 ,并不唯 ,也一 不需要取到 . 最大
例2 证l明 im CC,(C为常 ). 数 x x0