高考数学提分专练绝对值函数最值问题(含答案)
高考数学二次函数绝对值的问题典型试题及答案详解(6页)
高考数学二次函数绝对值的问题典型试题及答案详解 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例1 设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值解；（1）时，为偶函数时，为非奇非偶函数（2）当当当例2 已知函数，. (1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；(3)求函数在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演a 2()||1f x x x a =+-+x R ∈()f x ()f x 0a =()f x 0a ≠()f x 22222131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ⎧⎛⎫+-+=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=+-+=⎨⎪⎛⎫-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩()min 13,24a f x a ≤-=-()2min 11,122a f x a -<<=+()min 13,24a f x a ≥=+1)(2-=x x f |1|)(-=x a x g x )(|)(|x g x f =a R x ∈)()(x g x f ≥a )(|)(|)(x g x f x h +=算步骤）.解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得.（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立， ①当时，（*）显然成立，此时；②当时，（*）可变形为，令因为当时，，当时，，所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.（3）因为=|()|()f x g x =2|1||1|x a x -=-|1|(|1|)0x x a -+-=1x =|1|x a +=0a<()()f x g x ≥x ∈R 2(1)|1|x a x --≥x ∈R 1x =a ∈R 1x ≠21|1|x a x -≤-21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩1x >()2x ϕ>1x <()2x ϕ>-()2x ϕ>-2a -≤a 2a -≤2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 且，经比较，此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递增，在上递减， 故此时 在上的最大值为.综上所述，当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0.1,22a a >>即()h x [2,1]-[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+()h x [2,2]-33a +01,22a a 即0≤≤≤≤()h x [2,1]--[,1]2a -[1,]2a --[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+2()124a a h a -=++()h x [2,2]-33a +10,02a a -<<即-2≤≤()h x [2,1]--[,1]2a -[1,]2a --[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+2()124a a h a -=++()h x [2,2]-3a +31,222a a -<-<-即-3≤≤()h x [2,]2a -[1,]2a -[,1]2a [,2]2a -(2)330h a -=+<(2)30h a =+≥()h x [2,2]-3a +3,322a a <-<-即()h x [2,1]-[1,2]()h x [2,2]-(1)0h =0a ≥()h x [2,2]-33a +30a -<≤()h x [2,2]-3a +3a <-()h x [2,2]-练习：1. 已知函数.（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值2. 已知函数（1）若，，求的值（2）若时，恒成立，求的取值范围3. 已知函数，其中a 是实数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，的最小值为，求a 的值答案：1.（1）函数为偶函数非奇非偶函数（2）2||)(2+-+=a x x x f )(x f )(x f ()221()f x x mx m R =-+∈2m =[]0,3x ∈()()max min D f x f x =-[]0,2x ∈()8f x ≤m |21|21)(2a x x x f -++=)(x f ]1,1[-∈x )(x f 221a 0a =0a ≠()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++-()22217,224x a f x x x a x a ⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭2.（1）4（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置 当在上递增 ，当在上递减，上递增当在上递减 综上所述： 3.（1）①当时，，有，所以为偶函数； ②当时，，所以不是奇函数；又因为，而， 即，所以不是偶函数； 综上，当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）①若，即，当时，，2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩0,m <()f x []0,2()32804f m ≤∴-≤<02,m ≤≤()f x []0,m [],2m ()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩2,m >()f x []0,2()132824f m ≥-∴<≤31344m -≤≤21=a ||21)(2x x x f +=)()(-x f x f =)(x f 21≠a 0|21|)0(≠-=a f )(x f 2)12(21)1-2(-=a a f |21|2)12(21)2-(12a a a f -+-=)12()2-(1-≠a f a f )(x f 21≠a )(x f 2213(1)2,2122()11(1)2,2122x a x a f x x a x a ⎧--+<-⎪⎪=⎨⎪++-≥-⎪⎩112-≤-a 0≤a ]1,1[-∈x a x a x x x f 221)1(212121)(22-++=-++=故在上递增，所以，得.②若，即， 当时，， 故在上递减，所以，得或.③若，即， 故在上递减，在上递增； 所以，得.综上，或或或.)(x f ]1,1[-=-=-=a f x f 221)1()(min 221a 52--=a 112≥-a 1≥a ]1,1[-∈x a x a x x x f 223)1(212121)(22+--=+--=)(x f ]1,1[-=+-==a f x f 223)1()(min 221a 1=a 3=a 1121<-<-a 10<<a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22x a ax a x ax x f )(x f ]12,1[--a ]1,1[2-a 22min 212122)12()(a a a a f x f =+-=-=31=a 52--=a 31=a 1=a 3=a。
函数极值最值(含答案)
导数与函数的单调性、极值、最值[大题突破练][明晰考情]利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点和难点，难度偏高．题组一利用导数研究函数的单调性要点重组讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为对一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．(3)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．1．已知函数f (x )x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0,2)上的单调性．解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝k ＋4k x－4x 2－1x >0，k >0)．①当0<k <2时，4k >k >0，且4k>2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ,2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ,2)上是增函数；②当k ＝2时，4k＝k ＝2，f ′(x )<0在(0,2)上恒成立，所以f (x )在(0,2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k，所以当x f ′(x )<0；当x f ′(x )>0，所以函数f (x )综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k,2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0,2)上是减函数；当k >2时，f (x )2．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋1－a －2x 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22①当－a ＋22≤－1，即a ≥0时，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，当x 1f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x －a ＋22，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x －a ＋22，＋f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )1－a ＋22，(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1,0)－a ＋22，＋调递减．3．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x.当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)．(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即x 2－2x －2a x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴x 2－2x －2a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12(x ∈(0，＋∞))恒成立．又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12.∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立．又当a ＝－12时，g ′(x )＝(x －1)2x，当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0.故当a ∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增．题组二导数与函数的极值、最值要点重组(1)可导函数极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值，在x 0处f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．(3)一般地，在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么函数y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间的端点处取得．4．(2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 5．已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x .(1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a <0时，求函数f (x )在12，1上的最小值．解(1)由函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，可得f ′(x )＝2ax ＋(1－2a )－1x ＝(2ax ＋1)(x －1)x，∵a >0，x >0，∴2ax ＋1x>0，令f ′(x )>0，即x －1>0，得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(1)可得f ′(x )∵a <0，令f ′(x )＝0，得x 1＝－12a，x 2＝1，①当－12a >1，即－12<a <0时，f (x )在(0,1)上是减函数，∴f (x )在12，1上的最小值为f (1)＝1－a ；②当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－12时，当x ∈12，－12a 时，f ′(x )≤0；当x ∈－12a，1时，f ′(x )≥0，因此f (x )在12，－12a 上是减函数，在－12a，1上是增函数，∴f (x )在12，1上的最小值为1－14a ＋ln(－2a )；③当－12a <12，即a <－1时，f (x )在12，1上是增函数，∴f (x )在12，1上的最小值为f ＝12－34a ＋ln 2.设函数f (x )在12，1上的最小值为g (a )．综上，函数f (x )在区间12，1上的最小值g (a )－34a ＋ln 2，a <－1，－14a ＋ln (－2a )，－1≤a ≤－12，a ，－12<a <0.6．(2019·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数，证明：(1)f ′(x )1(2)f (x )有且仅有2个零点．证明(1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x)2.当x1g ′(x )单调递减，而g ′(0)>0，g，可得g′(x )1α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )>0；当xg ′(x )<0.所以g (x )在(－1，α)g (x )1点，即f ′(x )1(2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)上单调递增．而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)上单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]上的唯一零点；②当x ，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)f ′(0)＝0，f ，所以存在β使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )>0；当xf ′(x )<0.故f (x )在(0，β)又f (0)＝0，f 1－，所以当x ，π2时，f (x )>0.从而，f (x )，π2上没有零点；③当x π时，f ′(x )<0，所以f (x )而f ，f (π)<0，所以f (x )π上有唯一零点；④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)>1，所以f (x )<0，从而f (x )在(π，＋∞)上没有零点．综上，f (x )有且仅有2个零点．典例(12分)设函数f (x )＝12a 2x 2－ln x (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果函数f (x )的图象不在x 轴的下方，求实数a 的取值范围．审题路线图(1)求导得f ′(x )＝a 2x －1x (x >0)→分a ＝0，a >0，a <0讨论→得f (x )的单调区间(2)将所求转化为f (x )≥0，即a 2≥2ln x x 2→令h (x )＝2ln x x 2(x >0)，利用导数，求出h (x )的最大值为1e→解不等式a 2≥1e ，可求得a 的取值范围规范解答·评分标准解(1)由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a 2x －1x(x ＞0).……………………………………………………………………………1分当a ＝0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a 2x 2－1x ＝由f ′(x )≥0，得x ≥1a ；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a.…………………………………………3分所以f (x )1a ，＋当a <0时，f ′(x )由f ′(x )≥0，得x ≥－1a；由f ′(x )<0，得0＜x <－1a.……………………………………………………………………5分所以f (x )－1a，＋综上，当a ＝0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a ＞0时，f (x )，单调递增区间为1a ，＋a ＜0时，f (x )的单，单调递增区间为－1a，＋……………………………………6分(2)f (x )的图象不在x 轴的下方，即当x ＞0时，f (x )≥0恒成立，所以12a 2x 2－ln x ≥0，即a 2≥2ln x x2.……………………………………………………………7分令h (x )＝2ln x x 2(x ＞0)，则h ′(x )＝2(x －2x ln x )x 4＝2(1－2ln x )x 3，………………………………………………………9分由h ′(x )＞0，得0＜x ＜e ；由h ′(x )＜0，得x ＞ e.故h (x )在(0，e]上单调递增，在[e ，＋∞)上单调递减．当x ＝e 时，h (x )取得最大值1e.所以a 2≥1e ，解得a ≤－e e 或a ≥e e.………………………………………………………11分故实数a ∞，－e e ∪e e，＋………………………………………12分构建答题模板[第一步]求导：一般先确定函数的定义域，再求导数f ′(x )．[第二步]转化：“判断函数单调性、求极值(最值)”常转化为“判断f ′(x )的符号”，“切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标”常转化为“导数的几何意义”，“恒成立问题”常转化为“求最值”等．[第三步]求解：根据题意求出函数的单调区间、极值、最值等问题．[第四步]反思：单调区间不能用“∪”连接；范围问题的端点能否取到．1．已知函数f (x )＝x (x 2－ax )．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[0,2]的最小值为－23，求a .解(1)当a ＝1时，f (x )＝x (x 2－x )．则f (x )＝5322x x -，f ′(x )＝31225322x x -(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝35.∴当0<x <35时，f ′(x )<0；当x >35时，f ′(x )>0.∴f (x )(2)f ′(x )＝31225322x ax -(0≤x ≤2)，令f ′(x )＝0，得x ＝3a 5，当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝0≠－23，不符合条件；当0<a ≤103时，0<3a 5≤2，则当0<x <3a 5时，f ′(x )<0；当3a 5<x <2时，f ′(x )>0.∴f (x )∴f (x )min ＝f 53223355a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝－23，∴a ＝53，符合条件；当a >103时，103>2，则当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,2)上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝2(4－2a )＝－23，∴a ＝2＋26，不符合条件．∴f (x )在区间[0,2]的最小值为－23，a 的值为53.2．设x ＝m 和x ＝n 是函数f (x )＝2ln x ＋x 2－2(a ＋3)x 的两个极值点，其中m <n ，a ∈R .(1)求f (m )＋f (n )的取值范围；(2)若a ≥e ＋1e －3，求f (n )－f (m )的最大值．解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋2x －2(a ＋3)＝2x 2－2(a ＋3)x ＋2x(x >0)，依题意，方程x 2－(a ＋3)x ＋1＝0有两个不等的正根m ，n (其中m <n )．＋3)2－4>0，＋3>0，解得a >－1，并且m ＋n ＝a ＋3，mn ＝1，∴f (m )＋f (n )＝2ln(mn )＋m 2＋n 2－2(a ＋3)(m ＋n )＝(m ＋n )2－2mn －2(a ＋3)2＝－(a ＋3)2－2，∵a >－1，∴f (m )＋f (n )<－6，故f (m )＋f (n )的取值范围为(－∞，－6)．(2)当a ≥e ＋1e －3时，a ＋3≥e ＋1e从而(a ＋3)2≥e ＋1e＋2.若设t ＝n m(t >1)，由(1)知m ＋n ＝a ＋3，则(a ＋3)2＝(m ＋n )2＝(m ＋n )2mn＝t ＋1t ＋2≥e ＋1e ＋2.于是有t ＋1t ≥e ＋1e⇒(t －0⇒t ≥e.∴f (n )－f (m )＝2lnn m ＋n 2－m 2－2(a ＋3)(n －m )＝2ln n m＋n 2－m 2－2(n ＋m )(n －m )＝2ln n m －n 2－m 2mn＝2ln t －t ＋1t ，设g (t )＝2ln t －t ＋1t，t ≥e ，则g ′(t )＝2t －1－1t 2＝－t 2＋2t －1t 2＝－(t －1)2t 2<0，∴g (t )在[e ，＋∞)上单调递减，g (t )≤g (e)＝2－e ＋1e，故f (n )－f (m )的最大值是2－e ＋1e .。
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析
高考数学函数专题训练 含绝对值的函数一、选择题 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为（ ） A ．{}3,1 B.{}3,1- C.{}3,1-- D.{}3,1- 【答案】B【解析】当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1-2．函数()ln 11x f x x-=-的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于()ln 3022f =>，排除C 选项，()ln 1220f =->，排除B 选项，11221ln20f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，不选A,故选D.3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( )A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C【解析】因为函数()f x 是奇函数,所以()f x 是偶函数,即()f x 与()g x 均为偶函数,其图象均关于y 对称,所以(1)f x -与(1)g x -的图象都关于直线1x =对称,即()(1)(1)h x f x g x =-+-的图象关于直线1x =对称,故选C ．4.已知()()211f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( )A ．54B ．34C ．3D ．1【答案】A【解析】由题意得：()()222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+11x -≤≤ 22221511124x x x x x x x ⎛⎫∴-+=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭∴当12x =，即12x =±时，()2max514x x -+=即：()54f x ≤，即()f x 的最大值为54，故选A .5．若函数()111101x x f x x x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根，则（ ） A ．b ＜﹣2且c ＞0 B ．b ＞﹣2且c ＜0 C ．b ＝﹣2且c ＝0 D ．b ＞﹣2且c ＝0【答案】C【解析】令t ＝f （x ），则t 2+bt +c ＝0，设关于t 的方程有两根为t ＝t 1，t ＝t 2，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根等价于函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数为3个，作出()f x 的简图如下：由函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的位置关系可得： t 1＝2，t 2＝0，由韦达定理可得：1212022020b t t c t t -=+=+=⎧⎨=⋅=⨯=⎩，即b ＝﹣2，c ＝0，故选C ． 6．已知函数()ln(1)f x x =-，满足()(4)f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,4)【答案】A【解析】函数()ln(1)f x x =-的定义域为()1,+∞，由()(4)f a f a >-可得：ln(1)ln(41)ln(3)a a a ->--=-，两边平方：[][][][]22ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)0a a a a a a ->-⇔----+->则ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩（1）或ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩（2）解（1）得：a 无解 ，解（2）得：12a <<，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选A.7.已知函数)0(|4|||)(>---=a a x a x x f ,若对R ∈∀x ,都有)(1)2(x f x f ≤-,则实数a 的最大值为（ ） A ．81 B ．41 C ．21D ．1【答案】B【解析】(2)1()f x f x -≤,即为(2)()1f x f x -≤,即22441x a x a x a x a -----+-≤,设()2244g x x a x a x a x a=-----+-,则0,242,2 ()22,282,240,4axax a x ag x x a a x aa x a x ax a⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎩,由题意,当2ax a<≤时,1()42212g x x a a a=-≤≤⇒≤,当2a x a<≤时,1()22212g x x a a a=-≤≤⇒≤,当24a x a<≤时,1()22414g x x a a a=-<≤⇒≤,所以14a≤,即a的最大值为14,选B.8.若函数()221f x x x ax=-+--没有零点，则实数a的取值范围是A．332a-≤<B．31a-≤<C．332a a≥<-或D．13a a≥<-或【答案】A【解析】因为函数()221f x x x ax=-+--没有零点，所以方程221x x ax-+-=无实根，即函数()221g x x x=-+-与()h x ax=的图像无交点，如图所示，则()h x的斜率a应满足332a-≤<，故选A.9.定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗babbaaba,,,令()()t xxxxf-⊗-+=224（t为常数）,且[]3,3-∈x,则使函数()x f最大值为4的t值是（）A．2-或6B．4或6C．2-或4D．4-或4【答案】C．【解析】y=4+2x﹣x2在x∈[﹣3,3]上的最大值为4,所以由4+2x﹣x2=4,解得x=2或x=0．所以要使函数f（x）最大值为4,则根据定义可知,当t＜1时,即x=2时,|2﹣t|=4,此时解得t=﹣2．当t＞1时,即x=0时,|0﹣t|=4,此时解得t=4．故t=﹣2或4．10.已知函数()||––10||f x mx x m =>（）, f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0）,若关于x 的不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为（ ）．A.0＜m ≤1 B .34m ≤＜23C.1＜m ＜23D.23≤m ＜2【答案】B【解析】不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个,即|||–|1mx x <的解集中的整数恰有3个. |||–|1mx x <可化为22()10,()mx x --<即([m (1)1]10][1,)m x x +-⋅-+<由于不等式解集中整数恰有三个,所以10,1,m m ->>不等式的解为11111x m m -<<<-+,从而解集中的三个整数为2,1,0--,132,1m --≤<--即1231m <≤-,2233m n m -<≤-,所以34m ≤＜23.11.已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】B【解析】先画出函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象,方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,由0x ≤时,()1f x x =+,则横坐标为1x 与2x 两点的中点横坐标为1x =-,即：122x x +=-,当0x >时,由于2log y x =在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,又因为34x x <,4232log log x x =,则4310x x <<<,有1log log 434232=⇒=-x x x x ,又因为方程ax f =)(有四个不同的解,所以1log 32≤-x ,则213≥x ,则3122341()x x x x x ++=3312x x +-,)121(3<≤x ,设t t t g 12)(+-=,（121<≤t ）,由于012)(2<--='tt g ,则)(t g 在)1,21[上是减函数,则1)(1≤<-t g .12.已知函数()121f x x =--,[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =,21()(())f x f f x =,……,1()(())n n f x f f x -=,2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是（ ）A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n-个 D.2n 个【答案】D.【解析】函数12, 02()121122,12x x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-<≤⎪⎩,当1[0,]2x ∈时,1()20f x x x x ==⇒=,当1(,1]2x ∈时,12()223f x x x x =-=⇒=,∴1()f x 的1阶不动点的个数为2,当1[0,]4x ∈,1()2f x x =,2()40f x x x x ==⇒=,当11(,]42x ∈,1()2f x x =,22()245f x x x x =-=⇒=,当13(,]24x ∈,1()22f x x =-,22()423f x x x x =-=⇒=,当3(,1]4x ∈,1()22f x x =-,24()445f x x x x =-=⇒=,∴2()f x 的2阶不动点的个数为22,以此类推,()f x 的n 阶不动点的个数是2n个.二、填空题 13.方程18|cos()||log |2x x π+=的解的个数为__________．（用数值作答）【答案】12【解析】由题意得求方程18sin log x x = 的解的个数，因为sin y x = 周期为π，而5π186π<<，又(0,1)x ∈时sin y x =与18log y x =-有一个交点，(1,π)x ∈时sin y x =与18log y x =有一个交点， (π,π+π),(1,2,3,4,5)x k k k ∈=时sin y x =与18log y x =有两个交点，因此共有2612⨯=个.14. 已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或 【解析】当时，= 函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意. 令，经检验不满足题意.当时，, 函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，, 函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令， 令,所以.综上所述，故填3或.15.a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a . 当a = 时,()g a 的值最小. 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-.①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示.函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-.aO yx②当0a =时,2()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-.③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示.xyO a（i ）若12aa <<,即12a <<,()()2max 4a f a g a ==；（ii ）若12a,即2a,()max 1f a a =-；（iii ）若01a <<,()()()22max,22114max ,141,0221a a a f a a a a ⎧-<⎧⎫⎪=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪-<<-⎩. 综上所述,()()()212212212412a a ag a a a a ⎧-<-⎪⎪=-<⎨⎪⎪-⎩，，，,因此()()min 221322g a g ⎡⎤=-=-⎣⎦.16. 已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________． 【答案】【解析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为.。
高考数学专题《一次绝对值函数》填选压轴题及答案
专题13 一次绝对值函数【方法点拨】1. 几个常见的含绝对值的一次函数的图象与性质:⑴()f x x a =-的图象关于直线x a =对称，且函数的最小值为0；⑵()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为b a -； ⑶()f x x a x b =---的图象关于点02a b +⎛⎫⎪⎝⎭，对称，且函数的值域为a b a b ⎡---⎤⎣⎦，．()f x x a =- ()f x x a x b =-+-（a b <） ()f x x a x b =---（a b <）2. 含绝对值的一次函数的求解策略:（1）根据绝对值的代数意义，利用 “零点分域讨论法”去绝对值，化为分段函数； （2）有时也可根据绝对值的几何意义，转化为x 轴上动点到一些定点距离的和.3. 一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x －a 1|+|x －a 2|+|x －a 3|+…+|x －a n |．若n 为奇数，当x =12n a +时，f (x )取最小值；若n 为偶数，则x ∈122[,]n n a a +时，f (x )取最小值．即中间值或中间区间上取最值.【典型题示例】例1 (2022·浙江·9)已知,a b ∈R ，若对任意x ∈R ，|||4||25|0a x b x x -+---≥，则（ ） A. 1,3a b ≤≥ B. 1,3a b ≤≤C. 1,3a b ≥≥D. 1,3a b ≥≤【答案】D【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解． 【解析】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，x=ax=a+b 2bax=a+b 2ba由|||25||4|a x b x x -≥---恒成立，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤， 故选：D ．例2 若对于任意实数x 和任意正实数a 、b ，不等式2122a bx x m a b a b-+-≥+++恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】16m ≤或76m ≥ 【分析】根据基本不等式易求得2223a b a b a b +≤++，故问题转化为对于任意实数x2213x x m -+-≥恒成立，即求m 的取值范围，使函数()21f x x x m =-+-的最小值为23，可利用函数的图象或直接使用绝对值的几何意义求解. 【解析】令2,2a b m a b n +=+=则22,33m n m n a b --+==所以22442()223333333a b m n n m n m a b a b m n m n --+=+=-+≤-=++ 不等式2122a b x x m a b a b -+-≥+++恒成立，即2213x x m -+-≥恒成立 对于多个一次绝对值函数求最值可以分解为： 设11()2122f x x x m x x x m =-+-=-+-+-，对于3个绝对值相加，取得最小值一定是三个绝对值零点的中间值， 如上述函数，中间零点是12，所以上述函数当12x =取得最小值， 1212x x m m -+-≥-所以1223m -≥，解得16m ≤或76m ≥. 【巩固训练】1.设函数a x x x f -++=1)(的图像关于直线1=x 对称，则a 的值为________.2.函数∑=-=191)(i n x x f 的最小值为__________.3.已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 .4.函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是___5. 设函数()122022f x x x x =++++++122022()x x x x R +-+-++-∈，且)1()23(2-=+-a f a a f ，则满足条件的所有整数a 的和是__________.6. 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = 时，f (x )取得最小值．【答案或提示】1.【答案】3【提示】()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a b x +=对称，故112a -=，解得3a =.2.【答案】90【提示】利用绝对值的几何意义，知∑=-=191)(i n x x f 即x 轴上动点到1,2,3，···，19距离之和，当10x =时，此时191()10981018990i f x n ==-=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=∑.3.【答案】[]-2,2 【提示】直接去绝对值.4.【答案】(],1-∞- 【提示】直接去绝对值.5.【答案】6【解析】易得()f x 是偶函数，故2321a a a -+=-或232(1)a a a -+=--则1a =或3a =又(0)(1)(1)f f f ==-，所以2a =也满足题意，故答案为6. 6.【答案】171ax x x f +-=22)(R)(∈x a【解析】f (x )=123100111111|1|||||||||||||2233100100x x x x x x x -+-+-+-++-++-++-项项项项， f (x )共表示为5050项的和，其最中间两项均为1||71x -． x =171，同时使第1项|x -1|与第5050项1||100x -的和， 第2项1||2x -与第5049项1||100x -的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x 为171．。
专题 1与绝对值函数有关的参数最值(学生版)
专题 与绝对值函数有关的最值及范围问题类型一 常数项含参数1．已知函数 f （x ）=x 2+4|x ﹣a|（x ∈R ）．（Ⅰ）存在实数x 1、x 2∈[﹣1，1]，使得f （x 1）=f （x 2）成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）对任意的x 1、x 2∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k 成立，求实数k 的最小值．2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+（Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围.3.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a（Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）．4．设函数y=x 2+（a+1）2+|x+a ﹣1|（a ∈R ）．（1）若a 为大于2的常数，求函数y 的最小值；（2）若函数y 的最小值大于3，求实数a 的取值范围．5.已知函数f （x ）=x 2+3|x ﹣a|（a ＞0，记f （x ）在[﹣1，1]上的最小值为g （a ）． （Ⅰ）求g （a ）的表达式；（Ⅱ）若对x ∈[﹣1，1]，恒有f （x ）≤g（a ）+m 成立，求实数m 的取值范围．6. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+.（1）若函数1()()22h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围7.已知函数x x x f +-=|1|)(2．(Ⅰ)若函数c x f y -=)(恰有两个零点，求实数c 的取值范围；（Ⅱ）当[]1,1-∈x 时，求函数()y f x a =- (0)a > 的最大值)(a M ．8．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断在上的单调性；（3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a >-恒成立，求a 的取值范围．9.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值；（2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.()f x 11[,]22-10已知函数，， （1）若，试判断并用定义证明时函数在的单调性； （2）当时，求函数的最大值的表达式； （3）是否存在实数，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.11已知函数()()112+++=x b x x f 是定义在[]a a ,2-上的偶函数，()()t x x f x g -+=，其中t b a ,,均为常数。
高一绝对值练习题及答案
高一绝对值练习题及答案高一绝对值练习题及答案高一是学生们迈入高中阶段的重要一年，数学作为一门基础学科，在高一的学习中占据着重要的位置。
而绝对值作为数学中的一个重要概念，也是高一数学中的重点内容之一。
下面我们将介绍一些高一绝对值的练习题及答案，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
练习题一：1. 求解方程|x-3|=5。
2. 若|x-2|<3，求不等式的解集。
3. 若|2x-1|>4，求不等式的解集。
解答：1. 首先，我们可以根据绝对值的定义来解这道题。
当|x-3|=5时，有两种情况：a) x-3=5，解得x=8；b) -(x-3)=5，解得x=-2。
所以方程的解集为{x=-2, x=8}。
2. 对于不等式|x-2|<3，我们可以将其分解为两个不等式，并求解：a) x-2<3，解得x<5；b) -(x-2)<3，解得x>-1。
综合两个不等式的解集，得到不等式的解集为{-1<x<5}。
3. 对于不等式|2x-1|>4，我们可以将其分解为两个不等式，并求解：a) 2x-1>4，解得x>5/2；b) -(2x-1)>4，解得x<-3/2。
综合两个不等式的解集，得到不等式的解集为{x<-3/2, x>5/2}。
练习题二：1. 求函数f(x)=|2x-1|的定义域和值域。
2. 若函数g(x)=|x-3|在区间[-5, 5]上的最小值为m，求m的值。
解答：1. 函数f(x)=|2x-1|的定义域为实数集R，因为对于任意实数x，都能找到对应的函数值。
函数f(x)=|2x-1|的值域为非负实数集[0, +∞)，因为绝对值的结果不会小于0。
2. 函数g(x)=|x-3|在区间[-5, 5]上的最小值为m。
首先，我们可以列出函数在区间上的函数值表：当x=-5时，g(x)=|-5-3|=8；当x=-4时，g(x)=|-4-3|=7；当x=-3时，g(x)=|-3-3|=6；当x=-2时，g(x)=|-2-3|=5；当x=-1时，g(x)=|-1-3|=4；当x=0时，g(x)=|0-3|=3；当x=1时，g(x)=|1-3|=2；当x=2时，g(x)=|2-3|=1；当x=3时，g(x)=|3-3|=0；当x=4时，g(x)=|4-3|=1；当x=5时，g(x)=|5-3|=2。
高中数学高考总复习---函数的最值和及值巩固练习题(基础、提高)含答案解析
(Ⅰ)求 a、b 的值；
(Ⅱ)若对于任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围。
14.（2015 金凤区校级一模）已知函数
.
（1）求
的单调区间和极值;
(2)若对任意
，
恒成立，求实数 的最大值.
15. （2016 海淀区模拟）已知函数
.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若关于 的不等式
14
②当
时，由（1）知
，
所以
随 的变化情况如下表：
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以 的极大值点为 ，极小值点为 。
综上所述，当
时，
有一个极大值点
，没有极小值点；
当
时， 有一个极大值点 ，一个极小值点 。
16.【解析】
（1）由已知，函数 f(x)的定义域为(0,+∞)，
，
所以
．
当
时，g(x)在区间
在区 间
上单调递减；
当
时，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
（2）由
，解得
上单调递增， ．
12
令
．
则 故存在 x0∈(1,e)，使得 令
， ．
，
由
知，函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
所以
．
即 a0∈(0,1)．
当 a=a0 时，有
，
由（1）知，函数 f＇(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
故当 x∈(1,x0)时，有 f＇(x0)＜0，从而 f(x)＞f(x0)=0； 当 x∈(x0，+∞)时，有 f＇(x0)＞0，从而 f(x)＞f(x0)=0； 所以，当 x∈(1,+∞)时，f(x)≥0．
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题
摘要：
1.绝对值的概念和性质
2.绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
3.例题解析
正文：
一、绝对值的概念和性质
绝对值是一个数到0 的距离，表示为|a|，它的值永远是非负的。
对于实数a，有|a| = a (a ≥0) 或|a| = -a (a < 0)。
二、绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
在数学问题中，求最大值和最小值是非常常见的。
利用绝对值，我们可以简化这类问题。
例如，求|x|的最大值和最小值，我们可以直接得出最大值为正无穷，最小值为负无穷。
三、例题解析
题目：求下列函数的绝对值最大值和最小值。
函数：f(x) = |x - 3| + |x + 1|
解析：首先，我们分析函数的性质。
|x - 3|表示x 到3 的距离，|x + 1|表示x 到-1 的距离。
因此，函数f(x) 表示x 到3 和-1 的距离之和。
我们知道，距离之和最小值为两个点之间的距离，即|3 - (-1)| = 4。
所以，f(x) 的最小值为4。
距离之和的最大值不存在，因为距离可以无限大。
所以，f(x) 没有最大
值。
江苏版高考数学一轮复习：专题2.10函数最值练习题附答案.doc
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】专题2.10 函数最值1. 【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】2. 【2017浙江，17】已知αR ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范 围是___________． 【答案】9(,]2-∞ 【解析】3.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则()x f 的最小值为_________．【答案】 1.-【解析】当0x >时2()11,f x x =+≥当0x ≤时()cos [1,1]f x x =∈-, 所以()x f 的值域为[1,1][1,)[1,).-+∞=-+∞4.已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()f x 的最小值是 ． 【答案】3-22.5.设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝，则f(x)的最小值是_________．【答案】【解析】令x<g(x)，即x 2－x －2>0， 解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x≤2. 故函数f(x)＝当x ＜－1或x ＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2； 当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)． 6.对于任意实数a,b 定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3, g(x)=log 2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________． 【答案】1【解析】依题意,h(x)=当0<x ≤2时,h(x)=log 2x 是增加的;当x>2时,h(x)=3-x 是减少的,所以h(x)=min{f(x),g(x)}在x=2时取得最大值h(2)=1. 7.函数y ＝22(3)16(5)4x x +++-+的最小值为______． 【答案】108.已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为______．【答案】6【解析】函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根， 代入得(17127m n mn +=--+⎧⎨-=-⎩），解得51m n =⎧⎨=⎩或15m n =⎧⎨=⎩所以m ＋n ＝6. 9.函数f(x)=x+2的最大值为________．【答案】210.定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________． 【答案】1【解析】[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.11.函数y ＝xx 2＋x ＋1(x >0)的最大值是________．【答案】13【解析】由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)，得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x＋1≤12x ·1x＋1＝13， 12.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <1515≤x ≤20y2345【答案】{2,3,4,5}【解析】函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．13. 设f (x )＝2,||1,||1x x x x ⎧≥⎨<⎩，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是______． 【答案】[0，＋∞)【解析】 由f (x )≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f (x )≥1；x ≥0时，f (x )≥0. 又g (x )为二次函数，其值域为(－∞，a ]或[b ，＋∞)型，而f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，可知g (x )≥0.14.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则ab 的值为______．【答案】9.2高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin =，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题1. 已知函数2()2||f x x x a =--(0>a )，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 不等式()()12f x f x -≥化为*）对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >，所以分如下情况讨论：①当0x a ≤≤时，不等式（*）24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立②当1a x a <≤+时，不等式（*）即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立由①知102a <≤，2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2.已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数)，且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的最值．【解析】(1)由题意f (0)＝g (0)，∴|a |＝1.又∵a >0，∴a ＝1.(2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1.当x ≥1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1，＋∞)上单调递增，当x <1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在⎣⎡⎭⎫－12，1上单调递增，在(－∞，12-]上单调递减． 因此，函数f (x )＋g (x )在(－∞，12-]上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． 所以，当x ＝12-时，函数f (x )＋g (x )的最小值为74；函数无最大值． 5.已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈．2min ()4120[0,]()(0)120102g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤在上单调递增只需（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．6.设函数b a x x x f +-=||)(， ,a b R ∈（1）若11,4a b ==-，求函数()f x 的零点； （2）若函数)(x f 在]1,0[上存在零点，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）分类讨论解得：11,22x x ==...................................................4分 （Ⅱ）函数)(x f 在]1,0[上存在零点，即||x x a b -=-，[0,1]x ∈上有解，令()||g x x x a =-，只需{|(),[0,1]}b y y g x x -∈=∈..................................................5分 当0a ≤时，2()()g x x x a x ax =-=-，在]1,0[递增，所以()[0,1]g x a ∈-，即10a b -≤≤...............................................................................7分 当1a ≥时，2()()g x x a x x ax =-=-+，对称轴2a x = 又当2a ≥ ()g x 在]1,0[递增，所以()[0,1]g x a ∈-，即10ab -≤≤当12a << ()g x 在[0,]2a 递增，[,1]2a 递减，且所以2()[0,]4a g x ∈，即204ab -≤≤ ...............................................................................................................................................10分当01a <<时，22 [0,]()() [,1]x ax x a g x x a x x ax x a ⎧-+∈⎪=-=⎨-∈⎪⎩ 易知，()g x 在[0,]2a 递增，[,]2a a 递减，[,1]a 递减，所以min ()0f x =， 2max (){(),(1)}{,1}4a f x f a f a ==-，当01)a <≤，max ()(1)1f x f a ==-，所以()[0,1]g x a ∈-，即10a b -≤≤当1)1a <<，2max ()()4a f x f a ==，所以2()[0,]4a g x ∈，即204a b -≤≤ .....................................................................................................................................................14分综上所述：当1)a ≤时，10a b -≤≤当1)2a <<，204a b -≤≤ 当2a ≥，10a b -≤≤........................................................................................15 分7.已知函数()()243f x x a x a =+-+-．（I ）若()f x 在区间[]0,1上不单调，求a 的取值范围；（II ）若对于任意的(0,4)a ∈，存在[]00,2x ∈，使得()0f x t ≥，求t 的取值范围． 解：401242a a -<-<⇒<<……5分 （II ） 解法：()()()()||12113f x x a x x x a =-+--=-+-⎡⎤⎣⎦ ……9分 Q 011x -≤，{}03max 1,3x a a a +-≤-- ……………13分且上述两个不等式的等号均为0x =或2时取到，故()max 1,24||3,02a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩ 故()max ||1f x ≥，所以1t ≤……15分 、8.已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分 ①当1,22a a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a -上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析1.函数y=sinxcosxtanx的值域为（）+（）A．{1,3} B.{-1,3} C.{-1,-3} D.{1,-3}答案】B解析】当sinx>0,cosx>0时y=3，sinx>0,cosx0时y=-1，sinx<0,cosx<0时y=3，所以值域为{-1,3}。
2．函数f(x)=lnx-1/(1-x)的图像大致为()A． B． C． D．答案】D解析】由于f(3)>ln2/2，排除C选项，f(-1)>0，排除B选项，f(1/2)<0，不选A选项，所以选D。
3．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设h(x)=f(x-1)+g(x-1)，则下列结论中正确的是() A．h(x)关于(1,)对称 B．h(x)关于(-1,)对称 C．h(x)关于x=1对称 D．h(x)关于x=-1对称答案】C解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(x-1)是偶函数，即f(x-1)与g(x-1)均为偶函数，其图像均关于y轴对称，所以f(x-1)与g(x-1)的图像都关于直线x=1对称，即h(x)=f(x-1)+g(x-1)的图像关于直线x=1对称，故选C。
4.已知f(x)=ax+x-a(-1≤x≤1)且a≤1，则f(x)的最大值为()A．5/4 B．3/4 C．3 D．1答案】A解析】由题意得：f(x)=ax-1+x≤ax-1+x≤x-1+x/2，-1≤x≤1.所以当x=±1时，x-1+x=±2，f(x)max=5/4，即f(x)≤5/4，所以选A。
5．若函数f(x)=1(x≠1)，f(x+)=2x-1，则关于x的方程f(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数根，则（）A．b0 B．b-2且c>0 D．b>-2且c<0答案】C解析】因为f(x+)=2x-1，所以当x>1时，f(x)=2x-1；当x1时，f(x)max=2x-1；当x1时，f(x)≤2x-1；当x1时，f(x)≤2x-1，即b≥2；当x-2且c>0，所以选C。
含绝对值函数的最值问题.docx
专题三：含绝对值函数的最值问题1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求实数d的取值范围.不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G即：4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所以分如下情况讨论：①当0<x<a时,不等式(*) x2+4x+l-2a>0X^Vxe［O,a］恒成立•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 00 V Q W —2②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减/.只需"(x)min =力(1 +。
)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2vV6-2<- A V6-2<tz<-2 2③当x>a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立a 兰-2 - 或a 工- 22.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值.【解析］⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增，当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co,3 7所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减.2因此，函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-*2 L -+ 00 上单调递增.a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x+ 3=5的较小根，故Z(a)=—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a+ 8咒+ 3=-5的较大根，故1(a)=—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=•\ 当 a V — 8-4--71^2Q ,(-8 < a <0).时丿(°)= - J"-8a =.，在亠 74 - 2a - 2(-a , - 8］上单调递增，当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2。
高考数学 求函数的值域与最值 练习题(含答案)
高考考点精练专辑019函数及其表示(九)求函数的值域与最值九、求函数的值域与最值求函数的值域与最值，虽有区别，但方法基本相同。
求出的值域除小数情况(只有几个有限元素组成的集合)外都可以用区间表示，可能是开区间，也可是闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，还可能是多个区间的并集。
求出的值域中，有的能直接找出最值(含有闭区间)，有的也许找不出最值(都是开区间)。
㈠、求函数的值域求函数的值域是学习中的难点，方法因题而易，灵活多样。
常用的方法有：直接法、图像法、单调法、换元法，反解法(解方程法，即方程思想)、判别式法、分离常数法、配方法、导数法等。
1.(2019上海文理同卷13)(共23题的第13题 4道选择题第1题 150分占5分) 下列函数中，值域为[)0,+∞的是( )A.2xy = B.12y x = C.tan y x = D.cos y x = 答案：B解：2x y =的值域为()0,+∞，故A 错；12y x =的定义域为[)0,+∞，值域也是[)0,+∞，故B 正确；tan y x =的值域为(),-∞+∞，故C 错；cos y x =的值域为[]1,1-，故D 错。
因此，选B 。
点拔：直接求四个选项中的函数的值域即可。
2.(2016北京理14)(共20题 6道填空题第6题 150分占5分)设函数()33,,2,,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 。
答案：2； (),1-∞-解：如图作出函数()33g x x x =-与直线直线2y x =-的图象，它们的交点是()1,2A -，()0,0O ，()1,2B -，由()233g x x '=-，知1x =是函数()g x 的极大值点，BA-112-2-22yxO①当0a=时，()33,0,2,0,x x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x的最大值是()12f-=；②由图象知当1a≥-时，()f x有最大值是()12f-=；只有当1a<-时，由332a a a-<-，因此()f x无最大值，∴所求a的范围是(),1-∞-。
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绝对值函数最值问题
一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的
距离之和最小，问医院应该建
在何处？
来证明一个引理：
引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。
将上式的y y -换成可得
||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立
定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时
()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等
于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12
n x a +=时有最小值，
即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112)
||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝
⎭
当n 为偶数时
()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属
于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1
2
2
,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
时有最
小值。
此时
()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……
1122||||n n n n x a x a f a or f a -+⎛⎫⎛⎫
+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。
二、求下列函数的最小值：
1、()|2||1|-+-=x x x f
()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x
也即是[]2,1∈x 时等号成立。
1)(≥∴x f
2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f
()()[]时等号成立。
当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x
()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f
2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题）
对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。
()[)[)[)[)
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧-∞-∈---∈+-∈++∞∈+=2,130,231,03,11
3x x x x x x x x x f 由函数解析式易得函数()x f 的单调递增区间为[)+∞,0
其函数图象如下：
3、 ()|124||63||22|-+-+-=x x x x f
()|3|4|2|3|1|2|124||63||22|-+-+-=-+-+-=x x x x x x x f
由定理可知，当x 取1,1,2,2,2,3,3,3,3的中位数时，函数有最小值，也即是x=2时，()()6422min =+==f x f
4、()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f （北京高考试题） ()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f
由定理可知，当x 取1,2,3……19的中位数时，函数有最小值，也即是x=10时，()()9010min ==f x f
5、 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角
坐标系，现有下述格点)22(，
-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. （09年上海高考）。