傅里叶变换光学实验

傅里叶变换光学系统

一、实验目的和内容

1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。

2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。

3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。

4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。

二、实验原理

1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析

透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。图1 为简化分析，假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。设原复振幅分布为

(,)L U x y 的光通过透镜后，

其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子

(,)x y ϕ后变为(,)L U x y '：

(,)(,)e x p [(,

L L U x y U x y j x y ϕ'= （1） 图1

若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过

透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该

点的总的位相差为：

00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）

（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：

0(,)e x p ()e x p

[(1)(,)]t x y j k D j k n D x y =- （3）

由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：

22012111

(,)()()

2D x y D x y R R =-+- （4）

其中

1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都

成立。引入焦距f ，其定义为：

Q 1 D(x,y)

M

N

Q 2 D 0

12111(1)()n f R R =-- （5）

代入（3）得：

220(,)exp()exp[()]2k

t x y jknD j

x y f =-+ （6）

式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都

发生位相延迟。

从式（6）容易看出第一项位相因子

0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不

影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项

22exp[()]2k

j

x y f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透

镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有：

22(,)exp[()](,)2k

t x y j

x y p x y f =-+ （7）

其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为：

1(,)0p x y ⎧=⎨

⎩ 孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质

在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。

如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。

图2 透镜的傅里叶变换性质

设(,)E x y 、

11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)f f E x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平

面以及像方平面出光波场的复振幅分布。由于透镜的相位调制特性，输出平面与输入平面出光波场之间的关系由下式决定：

221111E (,)E(,)exp[()]2k

x y x y i

x y f '=-+ （9）

而从透镜输出平面到像方焦平面，光波相当于经历一次菲涅耳衍射。夫朗和斐近似下观

察到平面上的衍射光场复振幅 ：

2

2

2

2

100111111()()2()

001111

1

(,)E(,)iz

iz

ikz x y x y z z i z ux vy e E x y e x y e e dx dy i z λλλ+∞

++-+-∞

=⎰⎰

＝

2

2

1001()22111111

{E(,)exp[()]}iz

ikz x y z e e F x y i x y i z z λπ

λλ++ （10）

式中u 和v 分别表示1x 和1y 方向的空间频率。于是由（9）和（10）式，透镜像方焦平

面上的光波场复振幅

(,)

f f E x y 分布应具有如下形式：

2222

21111(,){E (,)exp()}

2f f x y ikf

ik f

f f x y e

E x y e

F x y ik i f

f λ++'=

＝

22211{E(,)}

f f x y ikf

ik f

e

e F x y i

f λ+ （

,f

f

x y u v f

f λλ=

=

） （11）

在单位振幅的平面波垂直照射下，透镜衍射屏的光波场复振幅分布(,)E x y 即等于衍射屏的透射系数(,)t x y ，故其频谱分布为：

{(,)}{(,)}(,)F E x y F t x y T u v == （12） 该频谱分量从衍射屏传播到透镜的输入平面处，产生一个相位延迟(,,)u v z ϕ，即有： (,)(,)exp[(,,)]E u v T u v i u v z ϕ= （13） 在傍轴条件下(,,)u v z ϕ具有如下的形式：

222(,,)()

2

k

u v z kz z u v ϕλ=-+ （14）

由此可以得到透镜输入平面处光波场的频谱分布为：