概率论与数理统计

《概率论与数理统计》综合复习资料

一、填空题

1、一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则第一次取到次品，第二次取到正品的概率为 ；恰有一次取到次品的概率为 ；两次都取到次品的概率为 。

2、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。则：

=)|(B A P ；=)(B A P 。

3、一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ； （2）恰有一次取到次品的概率为 。

4、设A 、B 为事件，3.0)(6.0)(=-=B A P A P ，，则P AB ()= 。

5、一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）两次都取到正品的概率为_______； （2）至少取到一个正品的概率为 。

6、一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以A 表示：“取到的两只球均为白球”；B 表示：

“取到的两只球同色”。则=)(A P ；=)(B P 。 7、设X 的概率分布为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x ，，，则=<}3{X P ；X 的分布函数

=)(x F 。

二、选择题

1、设事件A B 、满足P B A P B A (|)(|)=，且1)(0<B P ，则有 。 (A )P A B P A B (|)(|)= (B )P AB P A P B ()()()= （C ）P A B P A B (|)(|)≠ (D )P AB P A P B ()()()≠

2、对于随机变量X 、Y ，若EY EX EXY ⋅=，则 。 (A )X 与Y 独立 (B )DY DX XY D ⋅=)( (C )DY DX Y X D +=+)( (D )X 与Y 不独立

3、设)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且相互独立，则~72+-Y X 。 (A ))5,0(N

(B ) )3,0(-N (C ) )6,0(N

(D ))4,0(N

4、设A 和B 是任意概率不为零的互斥事件，则结论正确的是 。 （A ） )()(A P B A P =- （B ）A 与B 不互斥

（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）A 与B 互斥

5、设25=DX ，9=DY ，4.0=xy ρ，则D )(Y X -= 。 （A ）22 （B ）8 （C ）14 （D ）28

6、设X 和Y 均服从正态分布)3(~)2(~22，，，μμN Y N X ，记}2{1-<=μX P p ，

}3{2+≥=μY P p ，则 。

()A 对任何实数μ都有p p 12>； ()B 对任何实数μ都有p p 12<； ()C 仅对μ的个别值有p p 12=； ()D 对任何实数μ都有p p 12=。

7、某人射击中靶的概率为3/5，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率 。 (A ) 3

)5

3

( (B ) 5

2)5

3(2

⨯ (C ) 53)5

2(2

⨯

(D ) 3)5

2( 8、设X 与Y 独立同分布,记U X Y =-,V X Y =+，则U V 、必然 。 (A ) 不独立 (B ) 不相关 (C ) 相关 (D ) 独立 9、设随机变量X 的密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,

01

0,)(3x Cx x f

则常数C = 。

()A 3 ()B 4 ()C 1/4 ()D 1/3

10、设每次试验成功的概率为1/3，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为 。 (A ) 1/27 (B ) 26/27 (C ) 4/9 (D ) 19/27

三、解答题

1、在某城市中发行三种报纸A 、C B 、，经调查，订阅A 报的有50%，订阅B 报的有30%，订阅C 报的有20%，同时订阅A 及B 报的有10%，同时订阅A 及C 报的有8%，同时订阅B 及C 报的有5%，同时订阅A 、C B 、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅A 及B 报； （2）恰好订阅两种报纸。

2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率： （1）敌机被击中； （2）甲击中乙击不中； （3）乙击中甲击不中。

3、在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为

0.1，0.001和0.2,假定电源电压)25,220(~2

N X ，试求： （1）该电子元件被损坏的概率α；

（2）电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率β。（提示：788.0)8.0(=Φ）。 4、设X X X n 12，，， 为总体X 的一个样本，且X 的概率分布为

,3,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k 。x x x n 12，，， 为来自总体X 的一个样本观察值，求p

的极大似然估计值。

5、有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：

( 1 ) 此人来迟的概率；

( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。

6、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X 的概率分布。

7、一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用

X 、Y 分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：

（1）随机向量)(Y X ，的概率分布；

（2）)(Y X ，关于X 和关于Y 的边缘概率分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？ 8、设X X X n 12，，， 为X 的一个样本，

⎩⎨⎧<<+θ=θθ其它,

010,)1(),(~x x x f X

其中1->θ为未知参数，求θ的极大似然法估计。 9、设X 的概率分布为

X 0 1 2

P 1/3 1/6 1/2 求：（1）X 的分布函数；

（2）P X {}<1

2、P X {}132≤<、P X {}132

≤≤。

10、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 11、设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为

⎩⎨⎧<<=-其它,

00,),(y

x e y x f y

求：（1）随机变量X 的密度函数)(x f X ；