1-1-2集合间的基本关系

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[例4] 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝ {x|x2 ＋ 2(a ＋ 1)x ＋ a2 － 1 ＝ 0 ， x∈R} ， 若 B⊆A，求实数a的值．
[分析] B⊆A包括B＝A与B A两种情形．当B ＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和 －4；当B A时，有B＝∅或B中一元二次方 程有两相等实根0(或－4)．
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，
并且B中至少存在一个元素
A不的是 元
素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集∅是任何非空集合的真子集；
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[例 1] 设 a＝ 2＋ 3，M＝{x|x≤ 10}，给出下列关
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• 1．1.2 集合间的基本关系
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1．观察下面几组集合，集合A与集合B具有 什么关系？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}． (2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}． (3)A＝{正方形}，B＝{四边形}． 对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一
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已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a} (1)若B⊆A，则a的取值范围是________； (2)若A⊆B，则a的取值范围是________； (3)若A B，则a的取值范围是________； (4)若A＝B，则a的值是________． [答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3 [解析] (1)若B⊆A应满足a≤3； (2)若A⊆B应满足a≥3； (3)A B应满足a>3； (4)若A＝B则a＝3.
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• [解析] 随着a在x轴上运动，集合N也在变 化，满足M N的情况如图，显见a＜1，故 选B.
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总结评述：要特别注意a能否取到1，若把 其它条件不变，分别只改以下条件时，结 论如何： ①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M⊆N；④ M⊇N；⑤M N.
3．集合相等与真子集 如果集合A的所有元素都是集合B的元素，
同时集合B的所有元素都是集合A的元素， 那么就称集合A等于集合B.(即：若A⊆B， 且B⊆A，则A＝B) 如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B， 且 ，则称xA∉A是B的真子集． 值得说明的是：
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个元素都是集合B的元素，那么称集合A是 集合B的 子集 ， 记 作 A⊆B( 或 B⊇A)．用图表示为
．
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用平面上封闭曲线的 内部 表示集合的方法 称作图示法．这种图称作Venn图．
2．理解子集概念注意以下几点： (1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 空集
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若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2 －3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条 件．
[解析] 因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅. ∴A＝{1}，{2}或{1,2}． (1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2； (2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1； (3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
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[点评] ①B A时，容易漏掉B＝∅的情况； ②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接
由Δ＝0，求得a值再验证B A是否成立； ③分类讨论应按同一标准进行． 本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨
论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝ ∅.
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[解析] A＝{－4,0} 1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2
－1＝0的两根，∴a＝1. 2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， ∴a＜－1， 3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－
1， 经验证a＝－1时，B＝{0}满足． 综上所述a＝1或a≤－1.
是任何集合的子集． (2)任何一个集合是它本身的子集． (3)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，那么
A ⊆ C；
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• (4)集合A不包含于集合B(A B)包括如下图 所示几种情况：
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系；①a⊆M；
②M⊇{a}；
③{a}∈M; ④{∅}∈{a}；
⑤2a∉M；
其中正确的关系式共有 A．2 个 B．3 个
A( )
C．4 个 D．5 个Baidu Nhomakorabea
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[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相 等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}， B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}， (2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}， B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}， (3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}， B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．
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[例3] 已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且 M N，则
()
A．a≤1
B．a＜1
C．a≥1
D．a＞1
[分析] 为了形象直观地表示集合的关 系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过 观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的 关系．