复数的典型例题

复数的典型例题

第一部分：基础练习

一、选择题

（1）复数i a a a a z )23()2(2

2+-+--=对应的点位于复平面的虚轴上，则实数a 的值

为 （ ）

A 、1

B 、－1

C 、2

D 、－2

（2） 当21i z -=时，150100++z z 的值是 ( ) A 1 B -1 C i D –i

（3）如果复数ai z +=3，满足条件22<-z ，则实数a 的取值范围是 （ ）

A 、)22,22(-

B 、)2,2(-

C 、)1,1(-

D 、)3,3(-

（4）设复数z 满足关系i z z +=+2||，那么z 等于 （ ）

A 、i +43

B 、i -43

C 、i +-43

D 、i --4

3 （5）设21z z 、为复数，则21z z +为实数是21,z z 为共轭复数的 （ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分又不必要条件

（6） 若复数z 满足1112

2=--+z z ，那么z 在复平面内对应的点所表示的图形是

（ ）

A 、直线

B 、圆

C 、双曲线

D 、椭圆

（7）若复数z 满足2=-++i z i z ，那么i z ++1的最小值是 （ ）

A 、1

B 、2

C 、2

D 、3

二、填空题（每小题6分，共24分）

（8）复数i k k z )3()4(22---=所对应的点位于第三象限，在实数k 的取值范围是

（9）已知实数m 满足等式54log 3=+i m ，则=m

(10) 已知C z ∈，若i i z z z 313+=-⋅，则=z

(11) 若复数z 满足131≤-+i z ，则i z +-2的最大值为 ，最小值

为 。

第二部分：解答题

一：实数与纯虚数

例1.

已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数.

例2．若虚数z 同时满足以下两个条件：

（1）5z z

+是实数； （2）3z +的实部与虚数互为相反数． 请问：这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．

例3、设z 是虚数，z z w 1+

=是实数，且21<<-w ，求2u w -的最小值。

例4、若| z | = 1 , 且z 2 + 2z +

z

1 ＜0 , 求z .

例5：已知复数z 满足k z k z ±≠=,，其中k 为正常数，求证：

k

z k z +-为纯虚数

二：复数的模 [例1]复数z 满足│z+i│+│z -i│=2求│z+1+i│的最值。

例2、若|z|=1,求|z 2-z+1|的最大值和最小值.

例3、求函数106422+-++=x x x y 的最小值及相应的x 值。

三、复数与平行四边形

例1 已知1212121z z z z z z ∈==+=C ，，，12z z -．

例2.复数12312i 2i 12i z z z =+=-+=--，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

例3、若|z 1|=3,|z 1+z 2|=5,|z 1-z 2|=7, 求|z 2|.

四．复数与轨迹

1、复数z 满足 z z • + z +z = 3 , 求z 在复平面内对应点Z 的轨迹.

2、设复数z 满足| z + 1－2i | = 3 , 复数 ω= 4z －i + 1 , 求ω在复平面上对应点P 的轨迹.

3.设z = x + iy ( x , y ∈R ) 在复平面上对应点为P ,z 1 = x + 1 +5 －( 2－y ) i , z 2 = x + 1－5 + (y － 2) i ,且| z 1 | + | z 2 | =6 , 求P 点轨迹的普通方程.

4、设复平面上复数z 对应为P , O 为坐标原点, 以| OP | 为边长作矩形OPQR ( 字母顺序按逆时针方向 ) , 使| OR | = 2 | OP | , z 满足方程| z +5 | + | z －5 | = 6 ,

求动点R 的轨迹.

5、已知复平面上点集{}.0,0)1(22|||2≥=++-=a i a iz z z S

(1) 若S ≠φ, 求a 的范围;

(2) 当S ≠φ时, S 构成的图形是什么?

五：复数方程

例1. 关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围？

例2、已知关于i x ix x 2562+=++

⑴ 当x ∈R 时解这个方程；

⑵ 当x ∈C 时，解这个方程。

例3、设关于x 的方程042=++m x x (m ∈R)的两个根为α、β。且βα-=2，求m 的值。

例4、设关于x 的方程0322

2=-++a a ax x 至少有一个模为1的根，试确定实数a 的值。

例5： 已知关于x 的二次方程0)2()(2=--+-i x i tg x θ

⑴ 如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根。

⑵ 试证：无论θ去任何实数值时，此方程不可能有纯虚数根。

例6、求满足方程z 2－5 | z | + 6 = 0 的所有复数z .

第三部分．高考真题

例1．

已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.

例2．（上海春） 已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=

w w z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.

例3、已知：复数z 1=m +ni ，z 2=2－2i 和z =x +yi ，若z =1z i －z 2

（1）若复数z 1所对应点M(m ，n )在曲线y =2

1(x +3)2+1上运动，求复数z 所对应点P(x ，y )的轨迹方程；

（2）过轨迹C 上任意一点A （异于顶点）作其切线l ，l 交y 轴于点B ，问：以AB 为直径的圆是否恒过x 轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。