函数极限的性质证明(精选多篇)

函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来

就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数

极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀

limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n

^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

ⅰ. 教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不

等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.

2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.

ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.

难点: 函数极限的性质的证明及其应用.

ⅲ. 讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.

定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一

的． x?x0

证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有

f?x????? ，(1)当0?x?x0??2时有

f?x????? ，(2)

取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.

定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界． x?x0

证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有x?x0

f?x????1?f?x???1

这就证明了f在u0?x0;??内有界．

定理3．4(局部保号性)若limf?x????0 (或?0)，则对任何正数r??（或x?x0

r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切

x?u0?x0;??

f?x??????r，

这就证得结论．对于??0的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取r?a．2

x?x0定理3．5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?'内x?x0??

有f?x??g?x?则

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0

得当0?x?x0??1时有

????f?x?，当0?x?x0??2 时有

g?x?????

令??min?',?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有

????f?x??g?x?????

从而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'内有x?x0x?x0????

f?x??

则limh?x???． x?x0h?x??g?x?