曲线的参数方程知识讲解

曲线的参数方程

编稿：赵雷审稿：李霞

【学习目标】

1. 了解参数方程，了解参数的意义。

2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。

3. 掌握参数方程与普通方程的互化。

4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程

【要点梳理】

要点一、参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y

x,都是某个变数t的函数，

即

()

...........

()

x f t

y g t

=

⎧

⎨

=

⎩

①，

并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)

M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y

x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0

F x y=，叫做曲线的普通方程。

要点诠释：

（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．

（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。

要点二、求曲线的参数方程

求曲线参数方程的主要步骤：

第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．

第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：

一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；

例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．

有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．

要点诠释：

普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与

普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 要点三、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程

（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．

例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ

⎧⎛⎫

=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩

如果t 是常数，θ是参数，

那么可以利用公式sin 2θ+cos 2

θ=1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2

－(m －n)2

=4mn 消参．

③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等. 要点诠释：

注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．

2、普通方程化为参数方程

（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。

（2）一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等。 要点诠释：

互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性。注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标x,y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。 要点四、圆的参数方程 （1）圆的参数方程定义：

已知圆心为(,)a b ，半径为r 的圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为：

cos sin x a r y b r θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩（θ是参数，R θ∈）； 特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆222x y r +=的参数方程为：

cos sin x r y r θ

θ=⎧⎨

=⎩

（θ是参数）。 （2）参数θ的几何意义：

θ表示x 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

要点注释：

（1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径. 要点五、圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程

（1）椭圆22

221x y a b +=（0a b >>）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）。

（2）参数θ的几何意义：

参数θ表示椭圆上某一点的离心角。

如图所示，点P 对应的离心角为QOx θ=∠（过P 作PQ x ⊥轴，交大圆即以2a 为直径的圆于

Q ）

，切不可认为是POx θ=∠。

要点注释：从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆122

22=+b

y a x 上

任意一点可设成(cos ,sin )a b θθ，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。 2.双曲线的参数方程

双曲线22

221x y a b

-=（0a >,0b >）的参数方程为：

sec tan x a y b θθ

=⎧⎨

=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈且3,22ππθθ≠≠）。 （注：1

sec cos θθ=） 参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角。

双曲线22

221x y a b

-=（0a >,0b >）上任意一点的坐标可设为(sec ,tan )a b θθ。