高精度差分格式及湍流数值模拟(一)

u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7 6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
➢ 2003年以前， 多采用人工粘性（或滤波); 近期, 多采用WENO 格式 不足： 耗散较大， 计算量大
➢ 新方法： 迎风紧致格式；群速度控制格式； 加权群速度控制格式(WGVC-M); 优化的保单调格式OMP; 优化的MUSCL方法
二、 高精度、高分辨率差分格式
1. 格式的精度、 分辨率及优化 1) 差分格式精度： 截断误差的阶数
间断有限元法; 大规模代数方程组高效解法 ……
➢ 复杂外形、复杂网格处理方法
自适应网格； 直角网格，浸入边界法； 无网格法； 粒子算法；
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8
传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格
理论
优点：准确快捷 不足： 难以找到精确解
实验 优点： 直接、可靠、最终验证方式 不足： 周期长、费用高
计算
优点： 周期短、费用低 不足： 受模型及算法限制，需验证
计算流体力学(CFD): 在航空航天领域得到广泛应用 ● 1970 年代， 飞机设计主要依赖风洞实验
YF-17研制，风洞实验13,500小时 ● 1980年代，CFD逐渐发展， 部分取代实验
优点： 易于推广到高阶格式 不足： 要求网格足够光滑， 不易处理复杂外形
有限体积： 离散积分方程 （多维离散）
U t
1
Ñቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
nds
0
k
控制体边界上进行重构
u(x,
y)
u
x0
,
y0
(x
x0
)
x
+(
y
y0
)
y
u
1 2!
(x
x0
)
x
(
y
y0
)
y
2
u
...
•多维重构（多维Taylor展开）， 推广到高阶精度复杂
优点： 对网格光滑性要求不高，可处理复杂外形 不足： 推广到高阶精度难度大
0
1
x0 , y0
➢高精度差分法： 复杂流动的精细模拟 典型应用： 湍流精细模拟 （直接数值模拟、 大涡模拟）
湍射流的涡量分布：DNS
RANS
➢ 湍流精细模拟 与 高精度格式
➢ 激波给可压湍流DNS的数值方法带来巨大挑战 矛盾： 低耗散 vs. 抑制振荡（需要耗散）
1
10个点
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3x
4
5
6
1
20个点
0.5
0
-0.5
-1
4阶精度 3阶精度
显然： x 足够小的情况下， 格式1误差更小 x 并非足够小的情况下，格式2 有可能误差更小
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精度特性
分辨率特性
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➢网格分辨率： 有效波数 x 本身不能描述网格分辨率
无量纲化： x 2 kx
有效波数
kx
u u
u sin kx
● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件
波音777
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波音787
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CFD 面临的挑战及主要任务：
➢复杂流动的数学模型
湍流的计算模型； 转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型； 噪声模型……
➢ 高精度高效算法
高精度激波捕捉法；
ln(x)
2) 差分格式的分辨率
精度： 充分小网格 情况下的误差特性 分辨率： 有限尺度网格 情况下的误差特性
x 0
例：
格式1 格式2
u x
j
a1u j3
a2u j2
.......10
5u x5
x4
u x
j
b1u j3
b2u j2
.......
0.1
4u x4
x3
误差
高精度差分格式及 湍流数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
U F1 F2 0 t x y
坐标变换 计算空间
每一维独立处理 一维重构（一维Taylor展开）
例如：
f x
j
a1 f j2
a2
f j1
a3 f j
a4 f j1
f j ( f j+1 f j1) / 2x
5 阶迎风差分格式
f j (2 f j3 15 f j2 60 f j1 20 f j 30 f j1 3 f j2 ) / 60x
YF-23，风洞实验5,500小时，CFD计算15,000机时
YF17 Copyright by Li XYinliFan1g7
YF23
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● 90年代， CFD 在飞机设计中发挥了主力作用 波音777， CFD占主角
● 2000 之后， CFD 取代了大部分风洞实验 波音787：全机风洞实验仅3次
对于复杂方程处理 多用于固体力学
困难
等
计算量大；
复杂外形的高精
捕捉激波（限制器）度计算
难度大
外形、边界条件简 简单外形的高精
单
度计算
精度不易提高
复杂外形的工程 计算
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➢ 差分法 vs 有限体积法
… j-2 j-1 j j+1 …
差分法： 离散微分方程（一维离散）
有限差分法 有限体积法 有限元法 间断有限元 法(DG) 谱方法 粒子类方法
优点 简单成熟，可构造高精度 格式 守恒性好，可处理复杂网 格 基于变分原理，守恒性好
精度高、守恒性好、易于 处理复杂网格
精度高
算法简单，可处理复杂外 形
缺点
适用范围
处理复杂网格不够 相对简单外形的
灵活
高精度计算
不易提高精度（二 复杂外形的工程 阶以上方法复杂） 计算
一、 前言
• 计算流体力学: Computational Fluid Dynamics 简称CFD
计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控 制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此 预测流体运动规律的学科
CFD: 通过离散求解流动方程得到流动信息
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流体力 学问题