清华大学微积分课件(全)x62_ppt课件
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清华大学微积分课件
x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,
清华微积分(高等数学)课件第五讲导数与微分(一)35页PPT
lxi m 0f(xx0)f(x0)
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f(xx0)f(x0)o(1)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o (x )
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 A ( x 0 微 ) f ( x 0 )
24.04.2020
16
[证] (2) 设函 f(x 数 )在x 点 0可微
f ( x 0 ) A ( x 0 ) x o (x ) (x 0 )
f(x0)lxi m 0f(xx0)
limA(x0)xo(x)
x0
x
A(x0)
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 f ( x 导 0 ) A ( x 0 )
24.04.2020
17
定理2：若函 f在 x 0 数 可 ,则 导 f在 x 0连 .
f 在x0 左 可 导
右导数
lx i0 m f(x0x x )f(x0)f (x0)
f 在x0 右 可 导
定理： 函数f 在点 x0可导f 在x0的
左、右导数都存等在 ,即且相
24.04.2020 f(x0)存在f(x0) f(x01)1
3. 导函数定义：
• 若函f在 数开(区 a, b)间 上处处
[证] f在 x0可 导 lx i0m x yf(x0)
y f ( x 0 ) x ( x ) x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质
三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
24.04.2020
1
一、引言
两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 xx(t) 求在时刻 t 0的瞬时速度.
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f(xx0)f(x0)o(1)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o (x )
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 A ( x 0 微 ) f ( x 0 )
24.04.2020
16
[证] (2) 设函 f(x 数 )在x 点 0可微
f ( x 0 ) A ( x 0 ) x o (x ) (x 0 )
f(x0)lxi m 0f(xx0)
limA(x0)xo(x)
x0
x
A(x0)
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 f ( x 导 0 ) A ( x 0 )
24.04.2020
17
定理2：若函 f在 x 0 数 可 ,则 导 f在 x 0连 .
f 在x0 左 可 导
右导数
lx i0 m f(x0x x )f(x0)f (x0)
f 在x0 右 可 导
定理： 函数f 在点 x0可导f 在x0的
左、右导数都存等在 ,即且相
24.04.2020 f(x0)存在f(x0) f(x01)1
3. 导函数定义：
• 若函f在 数开(区 a, b)间 上处处
[证] f在 x0可 导 lx i0m x yf(x0)
y f ( x 0 ) x ( x ) x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质
三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
24.04.2020
1
一、引言
两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 xx(t) 求在时刻 t 0的瞬时速度.
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
清华大学微积分高等数学课件第讲无穷小量续
x0 x
ax1
exlna1
[解]
lim x0 x
lim x0 x
xlna lim lna
x0 x
(因 ex 为 1~x(x 0 ))
ax1~xln a (x 0)
2020/5/3
17
[例6]
(32sinx)x3x
lim
x0
ta2nx
?
[解]
(32sinx)x3x
lim
x0
ta2nx
lxi m 03x(13 2sxi2nx)x1
2020/5/3
2
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
limf(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x时的无. 穷
2020/5/3
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/5/3
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
lim f(x )lim f(x )lim f1 (x )lim g 1 (x ) x g (x ) x f1 (x )x g 1 (x )x g (x )
lim f(x)lim f1(x) 等价代换
x 0 g(x)
2020/5/3
清华大学微积分(高等数学)第6讲导数与微分(二)PPT课件
5x412 x22sin x1
26.09.2020
x
6
[例 8]求函 f(x)数 taxn 的导数 [解] (tanx) (sinx)
cosx
(sx i)n cox ssixn (cx o)s
co 2xs
cosxcosxsi nx(si nx)
c o 2s x
1 co2s
x
se
c2
x.
26.09.2020
f[g (x )]g (x )xf(u)du
当ug(x)x时 ,有
d u g(x)xxdxx
26.09.2020
12
因 此 对 于 自x,变 我量 们 将 微 分 写 成
d(x f)f(x )x f(x )dx
d(fx)f(x)dx
当 u g (x ) x时 , d u u
对 于 中 间 u变 u(x)量 ,不 能 将 微分的微 分
26.09.2020
9
[证] yf(u)可 导 luim 0 uy f(u)
yf(u) u
(l i m 0) u0
当u0时,上式化为
y f ( u ) u u( 1 )
当 u 0 时 , y f ( u u ) f ( u ) 0
(1) 式仍然成立！
yf(u) u u
y u ( x x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x )
u ( x x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x x )
u (x ) v (x x ) u (x ) v (x )
u v (x x ) u (x )v
x y u xv(xx)u(x) x v
ylx i0m x ylx i0m [ u xv(x可导x必)连u(续x) vx]
清华微积分(高等数学)第七讲 导数与微分(三)PPT课件
函数f(x)的(n1)阶导函数 x的 在导,数
称为函f数 (x)在x的n阶导,数 记作
f(n)(x),
或y(n)(x),
或dny dxn
即 f(n )(x )lim f(n 1 )(xx )f(n 1 )(x)
16.08.2020
x 0
x
21
二阶导数的物理意义
变速直线运动s ：s(t) 一阶导数：
即 ybx 2b a
16.08.2020
10
6. 对数微分法
求 幂 指 f(x) 函 u(x)数 v(x) 的 导
方法一:
f(x)ev(x)lnu(x)
再应用复合函数微分法（链式法则）
方法二: 利用对数微分法
[lnf(x)] f(x) f(x)
f(x ) f(x )[f( lx ) n ]
16.08.2020
或 f(x0x)f(x0)f(x0)x
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)
当x0 0时,有
f(x)f(0)f(0)x
16.08.2020
16
例 求co6s 012的近似值
[解] co6s0 12cos(12 )3 60180cos(12 )3 10800
令f(x)cox,s
x03
16.08.2020
内旋轮线
a
2
2
2
隐函数x方 3程 y3 ： a3,a0
16.08.2020
6
(2) 参数方程求导法
设函数y f (x)由参数方程：
确定
x (t)
y
(t)
0 0
1
2
设(t),(t)都存,且 在(t)0,
x(t)存在可导的t反 函 1(x)数 .
清华微积分(高等数学)课件第一讲 函数PPT28页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道 函 数
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道 函 数
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
清华微积分高等数学课件第五讲导数与微分一
复合函数的导数
链式法则
对于复合函数，其导数为外层函数对内层函数的导数乘以内层函 数对自变量的导数。
复合函数求导步骤
首先确定复合函数的中间变量，然后使用链式法则求导。
常见复合函数的求导
例如，对于$f(g(x))$，其中$g(x)$为$x$的线性函数，可以直接使 用链式法则求导。
隐函数的导数
由方程组确定的函数的导 数
THANKS FOR WATCHI一种局部变化率，表示函数在某一点附近的小变化所引起的函数值的大小的变化。具体 来说，如果函数在某一点的微分存在，则该点的函数值会随着输入的微小变化而产生相应的微小变化 。
微分的几何意义
总结词
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
如果函数在某一点的微分存在，那么该点的切线斜率就等于该点的微分值。换句话说，微分就是函数图像在某一 点处的切线的斜率。
对于由方程组确定的函数，可以使用偏导数 的方法求导。
隐函数求导步骤
首先对方程两边同时对自变量求导，然后解出关于 中间变量的导数，最后得到隐函数的导数。
常见隐函数的求导
例如，对于$F(x, y) = 0$，可以使用偏导数的 方法求出$y$关于$x$的导数。
03 微分概念与运算
微分的定义
总结词
微分是函数在某一点的变化率的量度。
微分在近似计算中的应用
总结词
利用微分进行近似计算，可以更快速、 准确地得到函数值。
VS
详细描述
在进行函数值的近似计算时，可以利用微 分的性质和运算规则，通过已知的函数值 和导数值来快速、准确地计算出函数在某 一点的近似值，从而提高计算效率和精度 。例如，泰勒级数展开就是利用微分进行 近似计算的一种方法。
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终点
起点
如果参数增加方向与曲线方向相反 , 加一负号 2018/11/16 3
[ 例 1 ] 计 算 yzdx 3 xzdy xydz
L
2 2 ( 2 ) L 是圆柱面 x y 4 y 与
( 1 ) L 是A 从 ( 0 , 1 , 1 ) 到 B ( 1 , 2 , 3 ) 的一段
连接平面向量场微分与积分的桥梁
格林公式及其变形和推广在数学物理中有 许多应用 用格林公式研究有关平面向量场的某些问 题 平面向量场求势函数,二元微分形式求 原 函数的问题
x
2018/11/16
0 8 tdt 8 cos
2 0 2
( 60 cos t 52 sin t )] dt
2 2
5
[ 例 2 ] 计算 ( x y ) dx ( x y ) dy
2 2 3 2 L
[解] (1)圆弧 AB 的参数方程为
2 2 3 2
( 1 )L 是半径为 1 的圆弧 AB 1 A ( 2 ) L 是折线 AOB ( 如图 ) 2 L2
注意: 在第一型曲线积分中 ,因为 dl是弧长微元 ,
必须大于积分下限 ,与 L 的方向无关
2018/11/16 8
dl 0 ,所以在第一型曲线积分 中 ,dt 0 ,积分上限
在有向曲线 L上的第二型曲线积分 : v d l ( X i Y j Z k ) [ x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k ] d
L
对应起点处 t 的值 , 对应终点 t 的值 .
两者之间的关系 v d l Xdx Ydy Zdz
L L
第一型
L
第二型
2018/11/16
( X x ' Y y ' Z z ' ) dt v dl
L
9
二、 格林公式
研究平面向量场的工具
平面 3 y z 1 0 的交线 其方向是：从 oz轴的正方向看是逆时针 的 z [解] (1)参数方程 : B 0 t 1 ) x 1 3 t, z xt, y 1 2 t (
yzdx 3 xzdy xydz L
1 0
1 0
A
o
[( 1 3 t )( 1 2 t ) 3 t ( 1 2 t )( 3 )
0
yzdx 3 xzdy xydz
L 2
6 cos t ( 7 6 sin t )( 2 cos t )
2
2 cos t ( 2 2 sin t )( 6 cos t )] dt
y
2 2 [( 48 cos t 24 sin t 28 ) sin t 0
X x ( t ) Y y ( t ) Z z ( t )] dt 化为定积分 [
v d l v dl
L
L
( t ) i y ( t )j z ( t ) k x 2 2 2 x ( t ) y ( t ) z ( t )
2018/11/16
y
4
2 t ( 1 3 t ) 2 ] dt ( 1 12 t 18 t ) dt 11
( 2) L的参数方程是 x2 cos t, y 0 t 2 ) 2 2 sin t ,z 7 6 sin t (
z
2 2 sin t )( 7 6 sin t )( 2 sin t ) [(
y
L1
2 x y ) dx ( x y ) dy (
L 2 0
x cos t ,y sin t ( 0 t ) o
2 2
L2
B
x
[(cos t sin t )( sin t ) (cos t sin t )(co t )] d
3 2
2
4 3 s in tdt cos tdt s in td (s t ) in 3 16 6 2018/11/16
2 2 2 弧长 : dl 微 x ( t ) 元 y ( t ) z ( t ) dt
假定函数 f ( x ,y , z ) 在曲线 L 上连续
f (x, y, z) 在L上的第一型曲线积分 :
2 2 2 fdl f ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) x ( t ) y ( t ) z ( t ) dt L
清华大学微积 分课件 (全)x62
第十六讲
一、第二型曲线积分的计算
二、格林公式
2018/11/16
2
一、第二型曲线积分的计算
曲线 L的 参 数 方 程 参数增加方向与曲线正向一致 x x ( t ), y y ( t ), z z ( t ) ( t )
( X i Y j Z k ) [ x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k ] d
x y ) dx ( x y ) dy (
2 2 3 2ຫໍສະໝຸດ 2 ( y) dy xdx 1 0 3
0 2 1 2
L 2
曲线积分的值不但与路径的起点及终点有 关,而且与路径本身有关！
2018/11/16 7
第一、二型曲线积分比较
曲线 L : x x ( t ), y y ( t ), z z ( t ) ( t )
2 0
2 0
4
2 0
2
( 2 ) ( x y ) dx ( x y ) dy
2 2 3 2 L 2 AO OB
2 2 3 2 2 2 3 2 ( x y ) dx ( x y ) dy ( x y ) dx ( x y ) d
AO 的方程： x 0( 0 y 1 ), dx 0 OB 的方程： y 0( 0 x 1 ), dy 0