必修四诱导公式习题
人教版数学高一-人教A版必修4习题 诱导公式二、三、四
[A 基础达标]1．sin7π6的值是( ) A ．－12B ．－2C ．2D . 12解析：选A .sin7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.故选A . 2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0D ．2解析：选D .原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A .35B ．－35C .45D ．－45解析：选C .因为sin(π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角， 所以cos α＝－45.所以cos(π－α)＝－cos α＝45.4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5 解析：选C .因为f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A .13 B ．－13C .233D ．－233解析：选B ．因为tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， 所以tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 6．求值：(1)cos 29π6＝________；(2)tan(－855°)＝________．解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．化简：cos （3π－α）sin （－π＋α）·tan(2π－α)＝________．解析：原式＝cos （π－α）－sin （π－α）·tan(－α)＝－cos α－sin α·⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝－1. 答案：－18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f （x －1）－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－116π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2.答案：－29．求下列各三角函数值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 19π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋43π＝sin 43π ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 19π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋76π＝cos 76π＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6 ＝－cos π6＝－32.10．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解：因为cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，所以α－75°是第三象限角．所以sin(α－75°)＝－1－cos 2（α－75°）＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. 所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223. [B 能力提升]1．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋34π；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n －1）π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤解析：选C .①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤（2n －1）π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 2．已知sin α＝15，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝________．解析：由cos(α＋β)＝－1， 得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，则2α＋β＝α＋(α＋β)＝α＋2k π＋π(k ∈Z )， 所以sin(2α＋β)＝sin(α＋2k π＋π) ＝sin(α＋π)＝－sin α＝－15.答案：－153．化简下列各式．(1)sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）(k ∈Z )； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解：(1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α·（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α） ＝sin α·cos αsin α·（－cos α）＝－1.综上，原式＝－1.(2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 4．(选做题)已知1＋tan （θ＋720°）1－tan （θ－360°）＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2（－θ－2π）的值．解：由1＋tan （θ＋720°）1－tan （θ－360°）＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22， 故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2（－θ－2π）＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.。
必修四诱导公式练习题及答案
必修四诱导公式练习题及答案一、选择题1、下列各式不正确的是A． sin=－sinα B．cos=－cos C． sin=－sinα D．cos=cos、若sin＋sin=－m,则sin＋2sin等于323A．－ m B．－m C． m D． m32323、sin???19???的值等于??12B． ?A．1C．2D． ?24、如果|cosx|?cos.则x的取值范围是A．[?C．[?2?2k?,?2?2k?]B．22?3?2k?,??2k?]22D．5．若sin?cos，则?的取值集合为 A．{?|??2k??C．{?|??k??4k?Z} B．{?|??2k??D．{?|??k?? ?4k?Z} k?Z}k?Z}?26、在△ABC中，若sin?sin，则△ABC必是 A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题1、若sin=12,则sin13．π2π3π4π5π6π2、cos ＋cos ＋＋cos ＋cos ＋777777三、解答题1、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin?sincoscos?coscos的值．1?cos?x,??sin?x,?22、设f??和g??1?f?1,?g?1,??2求g?f?g?f的值.3．设f满足f?3f?4sinx?cosx 14135634,求f的表达式；求f的最大值．４、化简：?2sin610?cos430?＝．sin250??cos790?coscos2sin2５、化简：＝______ ___．sinsincos11?)cos22６、化简：＝____ 9?cossinsinsin2sincoscos?sin。
sincos《诱导公式》参考答案一、选择题 ABACCC 二、填空题 11213．、0．三、解答题1、2．2、g?2，g??1,f126?)s?i23?31,f?sin?1，故原式=3．3、解析：由已知等式f?3f?4sinx?cos x①得f?3f??4sinxcosx② 由３?①－②，得8f?16sinx?cosx，故f?2x?x2．对0?x?1，将函数f?2x?x2的解析式变形，得f??＝当x?2时，fmax?1. ４、－１、-cos? ６、sin?cos?８、n2cos?同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系sin α平方关系：22商数关系：tan α. cos α2. 诱导公式3ππ，，tan α＝2，则cos α＝________. 1．已知α∈?2?答案－55sin α解析∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. cos α1又sin2α＋cos2α＝1，∴2＋cos2α＝1，∴cos2α. 3ππ，?，∴cos α＝－又∵α∈?2??52sin α－cos α2．若tan α＝2，则的值为________．sin α＋2cos α3答案2tan α－13解析原式＝＝tan α＋2413．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________.25答案－5解析∵α是第二象限的角，∴cos α 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝25∴cos α＝－.445－π?的值是________．．sin ·cos π·tan??3?3633答案－4π?π－π·?－π－π π＋·解析原式＝sin?costan3?3?6?π?π?π－sin ?·－cos ·－tan ? ＝?3??6?3??sin α1＝－，cos α2＝??3??3×－×＝－42??2π?22π－α＝，则sin?α－＝________.．已知cos?3?6?3?2答案－2πππα－＝sin?－?6－α?? 解析 sin?3??2 πππ2α??＝－cos?－α?＝－. ＝－sin?2＋??66??3题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用1例1 已知在△ABC中，sin A＋cos A5求sin Acos A的值；判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；求tan A的值．1思维启迪：由sin A＋cos A及sin2A＋cos2A＝1，可求sin A，cos A的值．1解∵sin A＋cos A＝①1∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，512∴sin Acos A＝－.512由sin Acos A＝－可知cos A ∵2＝1－2sin Acos A2449＝1＋，525又sin A>0，cos A0，7∴sin A－cos A＝.②43∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，545sin A4∴tan A＝＝. cos A33－5探究提高对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为2＝1±2sin αcos α；关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．已知tan α＝2，求sin2α＋sin αcos α－2cos2α；已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.解sin2α＋sin αcos α－2cos2αsin2α＋sin αcos α－2cos2α＝sinα＋cosαtan2α＋tan α－24＝.tanα＋1∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，36∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝cos α＝.4 题型二三角函数的诱导公式的应用π5π3α?＝，求cos?α?的值；例已知cos??6?3?6?73α－π?的值．已知π ππ5π思维启迪：将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系．66 先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．π??5π＋α＋－α?＝π，解∵??6??6?π5πα?. ∴－α＝π－??6?65π?πα＝cos?π－?＋α?? ∴cos??66??π?3＋α＝－，＝－cos??6?35π?3α＝－. 即cos??6?3∵cos＝cos3＝cos＝－cos α3∴cos α.7α－π? ∴sin·tan??2??－tan?7－α?? ＝sin·??2??πα? ＝sin α·tan??2?π?sin??2－α?＝sin α π?cos??2α?cos α3＝sin αcos α＝. sin α5探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．3πα－?tan?π＋α?cos?2π＋α?sin?2?? ； cos?－α－3π?sin?－3π－α?sin?π－x?cos?2π－x?tan?－x＋π?31π－的值．已知f＝f??3π??－xcos?2??α＋π?tan αcos αsin?－2π＋??2?解原式＝cos?3π＋α?[－sin?3π＋α?]＝π?tan αcos αsin??2＋α??－cos α?sin αtan αcos αcos α＝?－cos α?sin αtan αcos αsin αcos α＝－＝－1. sin αcos αsin αsin x·cos x·?－tan x?∵fsin x＝－cos x·tan x＝－sin x，31π31π31π－＝－sin?－?＝sin ∴f??3?3?3ππ310π＋＝sin ＝sin?3?32题型三三角函数式的化简与求值11例已知tan α＝的值；2sin αcos α＋cosα3π－α＋tan?π－α?cos?2π－α?sin?2?化简：. cos?－α－π?s in?－π－α?思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．1解因为tan αsin2α＋cos2α1所以2sin αcos α＋cosα2sin αcos α＋cosαtan2α＋12＝＝2tan α＋13π－α－tan α·cos?－α?·sin?2?原式＝cos?π－α?·sin?π－α?πsin αα＋?cos αtan α·cos α·sin??2?cos α＝＝＝－1. －cos α·sin α－sin α探究提高在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．π5α＋?＝－α∈，已知sin??2?5παπα＋－cos2?－?cos2??42?42?sin?π－α?＋cos?3π＋α?求的值．π5α＋＝－解∵sin??25∴cos α525，又α∈，∴sin α＝55παπα－cos2?－?cos2??42?42? sin?π－α?＋cos?3π＋α?παπα＋－sin2?cos2??42?42＝sin α－cos α－sin α2＝－3sin α－cos αsin α－cos α分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：化简：sin?4n－14n＋1π－α?＋cos?π－α? ．?4??4?π?cos??2＋α?＝审题视角角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论．利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．桃源书院2013学年第一学期第二次阶段性考试高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分．本次考试不得使用计算器．请考生将所有题目都做在答题纸上．第Ⅰ卷一．选择题1．设集合A?{x|x?1?0}，B?{x|log2x?0}，则A?B= A．{x|x?1}B．{x|x?0} C．{x|x??1}D．{x|x??1或x?1}2．若sin??25，且?是第二象限角，则cos?的值等于A．?5354B．?C．?D．5555m2?3m?43．幂函数y?x的图象如图所示，则m的值为D．?1?m?4A．0或 B．0,1,2或C．1或34．函数f?A．[4,??)x?4的定义域是lgx?1B． C． ? D．[4,10)?x5．根据表格中的数据，可以断定方程e?x?2?0的一个根所在的区间是A． B．C． D．xy223aA．3a B．a C．a D．22117．函数f?|lgx|，则f、f、f的大小关系是431111A．f> f>f B．f>f>f44331111C．f>f>fD．f>f>f44336．若lgx?lgy?a,则lg3?lg3?8．若函数f?x?2x?2在区间,-4?上单调递减，则a 的取值范围是2A．a?B．a? C．a? D．a?．函数g?f?1，其中log2f?2x，x∈R，则函数g fA．是偶函数又是增函数 B．是奇函数又是减函数C．是偶函数又是减函数 D．是奇函数又是增函数10．若sin?,cos?是关于x的方程4x?2mx?m?0的两根，则m的值为 A．?1B．1?5C．1-D．1?2第Ⅱ卷二、填空题 11．幂函数f的图象经过点A，则f ＝． 12．已知角?的终边经过点P，则cos??．13．已知函数f?3mx?4，若f在区间[?2,0]上存在零点，则实数m的取值范围是▲ ．14．函数y?log0.5的单调增区间为2122cos3x?2sin2?sin?3?15．函数f?，则f332?2sin2??x)22?16．设定义域为R的函数f????lnx?x?1，则对于任意正数a，方程??0 x?1f?a的所有实数根之和为．17．当x?0时，不等式?恒成立，则实数a的取值范围是▲ ．三、解答题18．求下列各式的值：2xx1?2710??2?；79log2.56.25?lg19．已知-131?ln?log2． 100tan???1．tan??1求tan?的值；sin2??2sin?cos? 求的值．23sin??cos?20．设函数f?log24x?log22x，若t?log2x，求t 的取值范围；求函数f的最大值和最小值，并求出取最值时相应的x的值．1?x?4.21．某牧场要建造占地100平方米的矩形围墙，现有一排长20米的旧墙可供利用，为了节约投资，矩形围墙的一边直接用旧墙修，另外三边尽量用拆去的旧墙改建，不足部分用购置的新砖新建．已知整修一米旧墙需24元，拆去．．．．．．．．一米旧墙改建成一米新墙需１00元，建一米新墙需200元，设牧场的长用x表示，．．．．．．．．．．．．．．．．全部费用用f来表示．试将f表示为x的函数；当旧墙所保留部分为多少时所需费用最少？并求出最少费用．22．已知函数f?1?a?11． ?xx24当a?1时，求函数f在上的值域；若对任意x?[0,??)，总有f?3成立，求实数a的取值范围．桃源书院2013学年第一学期第二次阶段性考试高一数学试卷参考答案一选择题：5分×10=50分二填空题：4分×7=28分 11．42212．? 13．或35116．417．15．?三解答题：第18,19,20,21题每题14分，第21,22题每题15分，共计72分，写出必要的文字说明．133?1510522?49??1??45…………7分 18．解：原式=[]3?7?[]2?1? 10333原式=log2.52.5?lg10分19．解：?2?2?lne?log24?2-2?3237?2? (1422)tan???1tan??11……………………………4分?tantan??1?tan??法一：由知：tan??1??sin?cos55?sin55或?………………………………8分5?2cos55?。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学人教A版必修四第一章1.3诱导公式(二)练习
一、选择题：1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x −y =0上，则( )A. -2B. 2C. 0D.32- 【答案】D【解析】由已知可得t a n θ＝2，则.故选D.2．已知，则=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵，∴=cos[﹣（）]=．故选B ．3.已知，那么=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵，可得：sin α=，∴=sin α=．故选B ．4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 （ ） A.－45B.－35C.±35D.±45【答案】C【解析】 sin(450°-α) αααcos )90sin()90360sin(0=-=-+=,因为角α终边上有一点P (3a ,4a ) ，所以||525)4()3(222a a a a r ==+=，所以53||53cos ±==a a α。
故选C 。
5．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 【答案】 B.【解析】因为cos （π+α）=－510，所以510cos =α，因为α∈（－2π，0），所以515cos 1sin 2-=--=αα。
所以tan （2π3+α）=361510515510sin cos )2cos()2sin()2tan()2tan(===-=++=+=++αααπαπαπαππ.故选B 。
6.设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A +=sin 2C【答案】B【解析】因为 A 、B 、C 是三角形的三个内角，所以A+B=C -π，所以C C B A cos )cos()cos(-=-=+π，A 错； C C B A sin )sin()sin(=-=+π，所以B 对。
人教版高中数学必修4试题 1.3.2诱导公式
数学·必修4(人教A 版)1．3 三角函数的诱导公式1．3.2 诱导公式(习题课)基础提升1．已知函数f (x )＝cos x2，则下列等式成立的是( )A ．f (2π－x )＝f (x )B ．f (2π＋x )＝f (x )C ．f (－x )＝－f (x )D ．f (－x )＝f (x )解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝－cos x2≠f (x )，对于B ，f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－cos x 2≠f (x )．对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x2≠－f (x )，故选D.答案：D2．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－2m 3 B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m2解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m 2.故选B.答案：B3．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，sin α＋cos α的值等于( )A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－35解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.∴sin α＝35，cos α＝－45.∴ sin α＋cos α＝－15.故选C.答案：C4．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－13，则tan α等于________．解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，tan α＝－24.答案：－24巩固提高5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为( )A ．－1B ．－3－2C ．－2D ．－3解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2.故选C.答案：C6．|cos α|＝cos(π＋α)，则角α的集合为________．解析：|cos α|＝cos(π＋α)＝－cos α，∴cos α≤0，α＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π2≤α≤2k π＋32π，k ∈Z答案：B7．已知π<θ<2π， cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－43. ∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.8．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝1－32，x 是第二象限的角．(1)求sin x 与cos x 的值；解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－32，∴sin x cos x ＝－34.又x 是第二象限的角，∴sin x >0，cos x <0.∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝2＋32＝1＋32. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32.(2)求x 的集合．解析：(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12，∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6.∴x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .。
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三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《诱导公式》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《诱导公式》一、选择题1.sin 7π6的值是( ) A ．-12 B ．-2 C ．2 D.122.若sin(π＋α)=-12，则sin(4π-α)的值是( ) A.12 B ．-12 C ．-32 D.323.已知cos α=35，则sin(3π＋α)·cos(2π-α)·tan(π-α)等于( ) A ．±35 B ．±45 C.925 D.16254.给出下列各函数值：①sin(-1 000°)；②cos(-2 200°)；③tan(-10)；④sin 7π10cos πtan 17π9. 其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④5.sin 95°＋cos 175°的值为( )A ．sin 5°B ．cos 5°C ．0D ．2sin 5°6.在△ABC 中，已知sin A 2=45，则cos B ＋C 2的值为( ) A.35 B ．-35 C.45 D ．-457.下列三角函数值： ①sin(nπ＋4π3)；②sin(2nπ＋π3)；③sin[(2n ＋1)π-π3]，其中n ∈N. 其中与sin π3数值相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③8.已知点(tan 5π4，sin(-π6))是角θ终边上一点，则tan θ等于( ) A ．2 B ．-32 C ．-12D ．-29.在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是( )A ．sin(α＋π)=sin βB ．sin(α-π)=sin βC ．sin(2π-α)=-sin βD ．sin(-α)=sin β10.若f(sin x)=3-cos 2x ，则f(cos x)等于( )A ．3-cos 2xB ．3-sin 2xC ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x二、填空题11.已知tan α=43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π-α)=________.12.若|sin(4π-α)|=sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．13.已知cos(5π12＋α)=13，且-π＜α＜-π2，则cos(π12-α)=________.14.定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ=90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)=-14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是______． (填上所有符合的序号) ①sin β=154；②cos(π＋β)=14；③tan β=15；④tan β=1515.三、解答题15.计算下列各式的值： (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)sin 420°cos 330°＋sin(-690°)cos(-660°)．16.已知cos(15°＋α)=35，α为锐角，求)105(sin )195(cos )165sin()435tan(αααα+︒⋅+︒︒-+-︒的值．17.在△ABC 中，已知sin(2π-A)=-2sin(π-B)，3cos A=-2cos(π-B)，求△ABC 的三个内角．18.已知f(α)=)3tan()sin()tan()2cos()(sin 2πααπαπαπαπ+-⋅+-+-⋅-⋅-. (1)化简f(α)；(2)若f(α)=18，且π4＜α＜π2，求cos α-sin α的值．答案解析1.答案为：A.解析：sin 7π6=sin(π＋π6)=-sin π6=-12.故选A. 2.答案为：B. 解析：∵sin(π＋α)=-12=-sin α，∴sin α=12，sin(4π-α)=-sin α=-12.3.答案为：D.解析：原式=sin(π＋α)·cos(-α)·tan(π-α)=(-sin α)·cos α·(-tan α)=sin 2α，由cos α=35，得sin 2α=1-cos 2α=1625.4.答案为：C.解析：sin(-1 000°)=sin 80°>0；cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0；tan(-10)=tan(3π-10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9=－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0. ∴原式>0.5.答案为：C.解析：原式=cos 5°-cos 5°=0.6.答案为：C.解析：∵A ＋B ＋C=π，∴B ＋C 2=π2-A 2，∴cos B ＋C 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2=sin A 2=45.7.答案为：C.解析：①sin(n π＋4π3)=⎩⎪⎨⎪⎧ sin π3n 为奇数－sin π3n 为偶数；②sin(2n π＋π3)=sin π3； ③sin[(2n ＋1)π-π3]=sin π3.故②③正确．8.答案为：C.解析：点(tan 5π4，sin(-π6))可化为点(1，-12)，则tan θ=-12.故选C.9.答案为：C.解析：令0≤α，β＜2π，∵α与β的终边关于y 轴对称，∴α＋β=π或3π， ∴sin(α＋π)=sin(-β)=-sin β，故A 错；sin(α-π)=sin(-β)=-sin β，故B 错；sin(-α)=sin(β-π)=-sin β，故D 错；sin(2π-α)=sin(-α)=-sin β，故C 正确，故选C.10.答案为：C.解析：∵cos x=sin(π2-x)， ∴f(cos x)=f(sin(π2-x))=3-cos[2(π2-x)]=3-cos(π-2x)=3＋cos 2x.11.答案为：-75； 解析：∵tan α=43，α为第一象限角，∴sin α=45，cos α=35， ∴sin(π＋α)＋cos(π-α)=-sin α-cos α=-75.12.答案为：{α|2kπ-π≤α≤2kπ，k ∈Z}；解析：因为|sin(4π-α)|=sin(π＋α)，则|sin α|=-sin α，sin α≤0，所以2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z)．13.答案为：-223； 解析：∵-π＜α＜-π2，∴-7π12＜5π12＋α＜-π12. 又cos(5π12＋α)=13＞0，∴sin(5π12＋α)=-1－cos 25π12＋α=-223. 由(π12-α)＋(5π12＋α)=π2，得cos(π12-α)=cos[π2-(5π12＋α)]=sin(5π12＋α)=-223.14.答案为：①③；解析：由sin(π＋α)=-14，得-sin α=-14，所以sin α=14.故cos α=±154. 由题意，若α与β“广义互余”，则α＋β=90°，所以sin β=cos α=±154，cos β=sin α=14，tan β=±15.故①③满足，④不满足； 对于②，由cos(π＋β)=14，得cos β=-14，不满足．15.解：(1)原式=⎝⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5 =⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5 =⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5=0. (2)原式=sin(360°＋60°)cos(360°-30°)＋sin(-2×360°＋30°)cos(-2×360°＋60°)=sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°=32×32＋12×12=1.16.解：原式=tan 360°＋75°－α－sin α＋15°cos 180°＋15°＋α·sin[180°＋α－75°]=tan 75°－α－sin α＋15°－cos 15°＋α·[－sin α－75°]=-1cos 15°＋α·sin 15°＋α＋sin α＋15°cos 15°＋α·cos 15°＋α. ∵α为锐角，∴0°＜α＜90°，∴15°＜α＋15°＜105°.又cos(15°＋α)=35，∴sin(15°＋α)=45， 故原式=-135×45＋4535×35=536.17.解：由已知得sin A=2sin B ，3cos A=2cos B ，上式两端分别平方，再相加得2cos 2A=1，所以cos A=±22. 若cos A=-22，则cos B=-32， 此时A ，B 均为钝角，不符合题意．所以cos A=22， 所以cos B=32cos A=32. 所以A=π4，B=π6，C=π-(A ＋B)=7π12.18.解：(1)f(α)=sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α=sin α·cos α. (2)由f(α)=sin α·cos α=18，可知 (cos α-s in α)2=cos 2α-2sin α·cos α＋sin 2α=1-2sin α·cos α=1-2×18=34. 又∵π4＜α＜π2， ∴cos α＜sin α，即cos α-sin α＜0.∴cos α-sin α=-32.。
(word完整版)高中数学必修4三角函数的诱导公式习题.doc
高一数学同步训练： 1.3 三角函数的诱导公式一．选择题1．下列各式不正确的是 （）A ． sin （α＋ 180°） =－ sin αB ． cos （－α＋ β） =－cos （α－ β）C ． sin （－α－ 360°） =－ sin αD ． cos （－α－ β） =cos （α＋ β ）2． sin 600 的值为（）1B ． 13 A ．2C ．2219的值等于（）3． sin61B ．13 A ．2C ．224． sin585 的°值为 ()2 B. 2C ．－ 33A ．－ 222D. 2235． sin( － 6 π)的值是 ()11 33A. 2B ．－ 2C. 2 D ．－ 26． cos(－225 °)＋ sin( － 225 °)等于 ()2 2 C ．0D. 2A. 2B ．－ 27． cos2010 °＝ ( )1313 A ．－2B ．－ 2 C.2D. 23D ．23D ．2π 1π)8．已知 sin(α－4)＝ ，则 cos( ＋α)的值为 (34A. 22B ．－22 1 D ．－ 1333C.339．若 cos,2 , 则 sin2 的值是（ ）35344B ．C ．D ．A ．55553πcos(－ 3π＋ α)()10．已知 cos( ＋α)＝－ 3，且 α是第四象限角，则25A. 4B ．－ 44D.3C ． ±11． sin 4 · cos25·tan5的值是（）3 64A ．－3 3 C ．－3 3 4B ．4D ．4412．若 sin(1，则 cos的值为（）)2A ．1；B ． 1；C ．3；D ．3 2222ππ )13．已知 cos(＋φ)＝ 3，且 |φ|< ，则 tan φ＝ (2 2 233A ．－ 3B. 3C ．－ 3 D. 314．设 tan(5 ＋πα)＝ m ，则 sinα－ 3π＋ cos π－ α的值等于 ( )sin － α－ cos π＋ αm ＋1 m － 1A.m －1B.m ＋1C ．－ 1D ．115． A 、B 、 C 为△ ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是(① cos(A ＋B)＝ cosC B ＋C② cos ＝ sin A2 2③ tan(A ＋ B) ＝－ tanC ④ sin(2A ＋B ＋ C)＝ sinAA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 16．已知 sin()3 ，则 sin( 3) 值为（）424A.1B. — 1C.3 D. — 3222217． cos (+α )= — 1 ，3π<α < 2 , sin( 2 - α) 值为（）2 2A.3 B.13D. —322C.2218． tan110 ＝°k ，则 sin70 的°值为 ( ) AA ．－kB.kC.1＋ k 2 D ．－1＋ k 2k1＋ k 219．化简：1 2 sin(2) ? cos( 2) 得（ ）A. sin 2 cos2B. cos2 sin2C. sin 2 cos2)1＋ k2kD. ± cos2 sin 220．已知 tan3 ，3sin的值是（），那么 cos2A13 B1 31 31 322C2 D27π233321． (2011 年潍坊高一检测 )已知 a ＝ tan(－ 6 )， b ＝ cos 4 π，c ＝ sin( － 4 π)，则 a 、 b 、c 的大小关系是 ()A ．b>a>cB ． a>b>cC ． b>c>aD ． a>c>b22．（2009.济南高一检测）若 sincos2 ，则 sin( -5 ) sin(3) 等于（）sincos2A ．3 B ． 3C ．334D ．10101023. （ 2009·福州高一检测）已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30 °) 的值等于（）（A ） -1（ B ）1（C ）1（ D ）0二．填空题21、 tan2010°的值为．2． sin （-17π ） =.37π7π 13π－ cos(－3 )＋ sin(－ 6 )的值为 ________．3． tan 44． cos( -x)=3， x ∈（ - ， ），则 x 的值为．25．化简1－ 2sin200 cos160° °＝ ________.cos20 －°sin20 °cos(α－ 3π) ·tan(α－ 2π)的值为 ________．6．若 P(－4,3)是角 α终边上一点，则sin 2(π－ α)2π2π－ α＋α＝ ________. 17．式子 cos 4＋cos 45π 38．若 tan( －πα)＝2，则 2sin(3 ＋πα) ·cos 2 ＋ α＋ sin 2π－ α· sin(－πα)的值为 ________．cos(4 ) cos 2 () sin 2 ( 3 )___．9．化简：4 ) sin(5) cos 2 (＝ ______sin()3sincos2 ，则 tan=．10．已知cos 94sin11．若 tan a ，则 sin 5cos 3 ＝ ____ ____ ．12．如果 tansin0,且 0sincos 1, 那么 的终边在第 象限13．求值： 2sin( － 1110o) － sin960 o+2 cos(225 ) cos( 210 ) ＝．π 3 11π14．已知 cos( ＋θ)＝3 ，则 cos(－ θ)＝ ________.6615. 已知 cos1, 则 sin 34216，已知 cos1000m ，则 tan80 0 的值是三．解答题1、 求 cos （－ 2640°） +sin1665 °的值．2．化简（ 1） sin( )cos() tan(2)（ 2） sin(180) cos( )tan( )sin( 5 )cos() cos(8 )3．化简23) sin(4 )sin(2cos π－ α＋3π＋α·cos 2π－ α·sin 24．已知 f(α)＝ 23π. sin － π－ α·sin 2 ＋ α3π 1，求 f(α)的值． (1)化简 f( α)； (2)若 α是第三象限角，且 cos(α－ 2 )＝ 55．设f ( ) 2 cos3 sin 2 ( ) 2 cos( ) 1，求f ( ) 的值．2 2 cos2 (7 ) cos( ) 36．已知方程 sin(3 ) = 2cos(4 )，求sin() 5 cos(2)的值。
人教版数学高一-人教A版必修4习题 1.3.2 诱导公式五、六
[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A .1－m 2mB ．1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2解析：选B ．sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)(－tan 31°) ＝－cos 31°(－tan 31°) ＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2.3．在△ABC 中，已知sin A 2＝45，则cos B ＋C 2的值为( )A .35 B ．－35C .45D ．－45解析：选C .因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C 2＝π2－A2，所以cosB ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝sin A 2＝45. 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－2a3B ．－3a 2C .2a 3D .3a 2解析：选B ．由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3a 2.5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D .32解析：选A .f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14. 答案：147．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos(π＋α)＝________． 解析：原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1. 答案：－18．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则 sin （π－α）＋cos （π＋α）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 所以sin α＝2cos α. 原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17.答案：179．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：因为f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝3. [B 能力提升]1．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A .13B ．23C ．－13D ．－23解析：选D .sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α) ＝－23.2．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9123．求证：对任意的整数k ，sin ⎝⎛⎭⎫2k ＋12π－αcos ⎝⎛⎭⎫2k ＋12π＋αsin ⎝⎛⎭⎫2k ＋32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫2k －12π－α＝－1.证明：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2－αcos ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫k π＋3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫k π－π2－α.①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝cos α（－sin α）－cos α（－sin α）＝－1.②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，同理可得左边＝－1.综上，可知原等式成立． 4．(选做题)已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2， 所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12. 又0<β<π， 故cos β＝±32.。
诱导公式精品练习题-必修4(附答案)
《诱导公式》练习一、选择题1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ C ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα6、在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题1、若sin （125°－α）=1213,则sin （α＋55°）=．2、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7= ．三、解答题1、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．2、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.3．设)(x f 满足)2|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π≤⋅=+-x xx x f x f ,（１） 求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值．４、化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21＝ ．５、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___． ６、化简：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππααπααππαπααπα-++-----+ ＝________．７、若()θ+75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--435sin 255cos 的值是____． ８．化简：sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。
最新人教版高中数学必修4第一章《诱导公式》同步训练
1.2.4 诱导公式知识点一：诱导公式(1)(2)(3)1．(2010全国高考Ⅰ，文1)cos300°等于A ．－32B ．－12 C.12 D.322．与cos 13π3的值相同的是 A ．sin π3 B ．sin π6C ．sin π4D ．sin π23．已知cos(π＋α)＝－35且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于 A.45 B ．－45 C ．±45 D.354．若sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋12sin(2π－α)等于 A ．－23m B ．－32m C.23m D.32m 5．若|cosα|＝cos(π＋α)，则角α的集合为__________．6．化简sin(－α)·cos(2π＋α)·tan(2π＋α)＝__________.知识点二：诱导公式(4)7．sin 2(π2＋α)＋cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值是 A ．1 B ．2sin 2α C ．2cos 2α D ．08．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是A ．cos(A ＋B)＝cosCB ．sin(A ＋B)＝sinCC ．tan(A ＋B)＝tanCD ．sin A ＋B 2＝sin C 29．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于 A ．－13 B.13 C.23 2 D ．－232 10．f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝__________.11．sin 2(π3－x)＋sin 2(π6＋x)＝__________.能力点一：利用诱导公式求值12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是 A.355 B.377C.31010D.1313．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin210°＋cos 2225°的值是A.14B.34C.114D.9414．(2010全国高考Ⅰ，理2)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于 A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k 215.sin (45°＋θ)sin (45°－θ)cos (45°＋θ)cos (45°－θ)＝__________. 16．求下列各三角函数值：(1)sin π4cos 19π6tan 21π4； (2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos585°tan(－37π4)．17．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求[sin(α＋3π2)·sin(3π2－α)·tan 2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(π2－α)·cos(π2＋α)]的值．能力点二：利用诱导公式进行化简18．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)化简的结果为__________．(用m 表示) 19．化简：(1)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°；(2)tan1°tan2°tan3°…tan89°.20.化简：cos(4n －14π－α)·sin(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．能力点三：利用诱导公式进行证明21．求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin 2α.22．设k ∈Z ，求证：sin (kπ－α)cos (kπ－α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝－1.23．已知α是第三象限的角，f(α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)cot (－α－π)sin (－π－α). (1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．答案与解析基础巩固1．C cos300°＝cos(300°－360°)＝cos(－60°)＝cos60°＝12. 2．B cos 13π3＝cos(4π＋π3) ＝cos π3＝12＝sin π6. 3．B4．B ∵sin(－α)＝－m ，∴sinα＝m.sin(3π＋α)＋12sin(2π－α)＝sin(π＋α)＋12sin(－α)＝－sinα－12sinα＝－32sinα＝－32m. 5．{α|2kπ＋π2≤α≤2kπ＋3π2，k ∈Z } 6．－sin 2α7．A8．B ∵A 、B 、C 满足A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2， ∴B 正确．9．A ∵cos(π＋α)＝－13， ∴cosα＝13. ∴sin(3π2－α)＝－cosα＝－13. 10．3＋cos2x ∵cosx ＝sin(π2－x)， ∴f(cosx)＝f[sin(π2－x)] ＝3－cos[2(π2－x)] ＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.11．1 ∵(π3－x)＋(π6＋x)＝π2， ∴原式＝sin 2(π3－x)＋cos 2(π3－x)＝1.能力提升12．C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2tanα－3sinβ＝5，tanα－6sinβ＝1. ∴sinβ＝13，tanα＝3. 又∵α为锐角，∴sinα>0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sinα＝3cosα， 解得sinα＝31010. 13．A14．B ∵cos(－80°)＝cos80°＝k ，∴sin80°＝1－cos 280°＝1－k 2.∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k. 15．1 原式＝tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝tan(45°＋θ)·cot(45°＋θ)＝1.16．解：(1)原式＝sin π4cos(2π＋7π6)tan(4π＋5π4) ＝22cos 7π6tan 5π4 ＝22cos(π＋π6)tan(π＋π4) ＝22(－cos π6)tan π4 ＝－22×32×1 ＝－64. (2)原式＝－3sin1 200°tan(2π＋7π6)－cos(360°＋225°)(－tan 37π4) ＝－3sin(－240°)tan π6－cos45°tan(π＋π4) ＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－3×33sin60°－22 ＝－2＋32.17．解：5x 2－7x －6＝0的根为x ＝2或x ＝－35， 所以sinα＝－35. 所以cosα＝±1－sin 2α＝±45. 所以tanα＝±34. 原式＝(－cosα)(－cosα)tan 2α(－tanα)sinα(－sinα)＝tanα＝±34. 18.m ＋1m －1由tan(5π＋α)＝tanα＝m 知， 原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝tanα＋1tanα－1＝m ＋1m －1. 19．解：(1)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21° ＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋…＋1＋12＝44＋12＝892. (2)∵tan1°tan89°＝sin1°sin89°cos1°cos89°＝sin1°cos1°cos1°sin1°＝1. 同理，tan2°tan88°＝1＝tan3°tan87°＝…＝tan44°tan46°＝1，且tan45°＝1.∴原式＝(tan1°tan89°)(tan2°tan88°)(tan3°tan87°)…(tan44°tan46°)tan45°＝1.20.解：原式＝cos[nπ－(π4＋α)]·sin[nπ＋(π4－α)]． 当n 为奇数时，原式＝cos[π－(π4＋α)]·sin[π＋(π4－α)] ＝－cos(π4＋α)·[－sin(π4－α)] ＝cos[π2－(π4－α)]sin(π4－α) ＝sin 2(π4－α)，当n 为偶数时，原式＝cos[－(π4＋α)]·sin(π4－α) ＝cos(π4＋α)·sin(π4－α) ＝cos[π2－(π4－α)]·sin(π4－α) ＝sin 2(π4－α)， 综上，原式＝sin 2(π4－α)． 21．证明：左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α) ＝(－tanα)·(－sinα)·cosα＝sin 2α＝右边，∴原等式成立．22．证明：(1)当k ＝2n(n ∈Z )时，∵左边＝－sinαcosα－sinα(－cosα)＝－1＝右边，∴原式成立；(2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，∵左边＝sinα(－cosα)sinαcosα＝－1＝右边，∴原式成立．综上所述，原式成立．拓展探究23．解：(1)f(α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)cot (－α－π)sin (－π－α)＝sinα·cosα·cotα(－cotα)sinα＝－cosα.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(π2＋α)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－52－15＝－256. ∴f(α)＝256. (3)f(α)＝f(－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos1 860°＝－cos(360°×5＋60°)1＝－cos60°＝－2.。
高中数学必修四诱导公式精选练习题
高中数学必修四诱导公式精选练习题诱导公式典型练题1已知tan(α-π)=√3，且α∈(0.π)，则sin(α+π)的值为（）A．1/2B．-1/2C．-√3/2D．√3/22已知sin(α-π)=1/4，则sin(α+π)的值为（）3已知α∈(0.π)，且cosα=1/4，则tan(α+π)的值为（）4已知sinα=3/5，则cos(-α)的值为（）5已知sin(α-π)=3/4，则cos(α+π)的值为（）6已知sin(-x)=1/√2，则cos(x+π)的值为（）7已知cosα=3/5，且α∈(π/4.π/2)，则sin(α+π/4)的值为（）8已知α为第二象限角，且sinα=3/4，则cos(α+π/3)的值是（）9已知α为第二象限角，且sinα=3/4，则cos(α+π/3)的值是（）10已知cos(π-α)=1/3，且α∈(0.π)，则sin(π+α)的值是（）11已知cos(π-α)=1/3，且α∈(0.π)，则sin(π+α)的值是（）12已知sin(α-π)=2/3，且α∈(-π/3.0)，则cos(α+π/2)的值是（）13已知sin(π+α)=1/2，α∈(-π/2.0)，则cos(α-3π/2)的值是（）14设α为第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα=x/5，则x的值是（）15已知，计算：1）(2sinα-cosα)/(sinα+2cosα)2）sin(5π/2-α)19已知sinα-cosα=-5/4，sinαcosα=（）。
A。
-79/4B。
-16C。
-9/32D。
9/3220已知sin(α+π)=1/3，α∈(-π。
π)。
19.已知sinα-cosα=-5/4，求si nαcosα的值。
解：根据已知条件，sinα-cosα=-5/4.将sinαcosα的值设为x，则有sinαcosα=x。
根据三角函数的和差化积公式，sinαcosα=(sinα+cosα)^2-1/2.将sinα-cosα=-5/4代入上式，得到(x+(-5/4))^2-1/2=x。
2020年高中数学人教A版 必修4 诱导公式 能力测试题(含答案)
2020年高中数学人教A 版 必修4诱导公式 能力测试题一、选择题1.A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则下列关系式中不成立的是( )①cos(A ＋B)=cos C ；②cos B ＋C 2=sin A2；③tan(A ＋B)=-tan C ；④sin(2A ＋B ＋C)=sin A ；A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③2.若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)=-a ，则cos(270°-α)＋2sin(360°-α)的值是( )A ．-2a 3B ．-3a 2 C.2a 3 D.3a 23.在△ABC 中，已知sin A 2=45，则cos B ＋C2的值为( )A.35 B ．-35 C.45 D ．-454.若cos 165°=a，则tan 195°=( )A.1－a 2B ．-1－a 2a C.1－a 2a D.1＋a 2a5.已知cos α=35，则sin(3π＋α)·cos(2π-α)·tan(π-α)等于( )A ．±35B ．±45 C.925 D.16256.若sin(π＋α)=-12，则sin(4π-α)的值是( )A.12 B ．-12 C ．-32 D.327.已知tanθ=2，则sinθ＋cosθsinθ＋sin 2θ的值为( )A.195B.165C.2310D.17108.已知2sinα=1＋cosα，则tanα的值为( )A ．－43 B.43 C ．－43或0 D.43或09.已知点(tan 5π4，sin(-π6))是角θ终边上一点，则tan θ等于( )A ．2B ．-32C ．-12D ．-210.已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m=0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ=( ) A.1－32 B.1＋32 C. 3 D ．－ 3二、填空题11.若cos α=15，且α是第四象限角，则cos(α＋π2)=________.12.已知tan α=43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π-α)=________.13.sin(-3π)＋2sin 34π＋3sin32π等于________.14.已知cos(π2＋α)=2sin(α-π2)，则)27sin(3)25cos(5)cos()sin(απαπαπαπ-+-++-=________.三、解答题15.已知f(α)=)cos()2sin()2cos()tan(πααπαπαπ--+⋅-⋅-.(1)证明：f(α)=sin α；(2)若f(π2-α)=-35，且α是第二象限角，求tan α.16.已知()413sin =+θπ，求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．答案解析1.答案为：C.解析：因为cos(A ＋B)=cos(π-C)=-cos C ，所以①错，排除B ，D ；因为cos B ＋C 2=cos π－A 2=cos(π2-A 2)=sin A2，所以②正确，排除A ，故选C.2.答案为：B.解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)=-a ，得-sin α-sin α=-a ，即sin α=a2，所以cos(270°-α)＋2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-3a2.3.答案为：C.解析：∵A ＋B ＋C=π，∴B ＋C 2=π2-A 2，∴cos B ＋C 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2=sin A 2=45.4.答案为：B.解析：∵cos 165°=-cos 15°=a，∴cos 15°=-a.∴tan 195°=tan(180°＋15°)=tan 15°=sin 15°cos 15°=1－a2－a.故选B.5.答案为：D.解析：原式=sin(π＋α)·cos(-α)·tan(π-α)=(-sin α)·cos α·(-tan α)=sin 2α，由cos α=35，得sin 2α=1-cos 2α=1625.6.答案为：B.解析：∵sin(π＋α)=-12=-sin α，∴sin α=12，sin(4π-α)=-sin α=-12.7.答案为：C ；解析：原式=1＋1tanθ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ=1＋12＋tan 2θ1＋tan 2θ=32＋41＋4=2310.故选C.8.答案为：D解析：由2sinα=1＋cosα得sinα≥0，且4sin 2α=1＋2cosα＋cos 2α，因而5cos 2α＋2cosα－3=0，解得cosα=35或cosα=－1，那么tanα=43或0，故选D.9.答案为：C.解析：点(tan 5π4，sin(-π6))可化为点(1，-12)，则tan θ=-12.故选C.10.答案为：B ；解析：∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m=0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋cos θ=1－32，sin θ·cos θ=m2，可得(sin θ＋cos θ)2=1＋2sin θ·cos θ=1＋m=2－32，解得m=－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2=1－2sin θ·cos θ=1－m=1＋32，∴sin θ－cos θ= 1＋32=1＋32，故选B.11.答案为：265；解析：∵cos α=15，且α是第四象限角，∴sin α=-1－cos 2α=-1－152=-265.∴cos(α＋π2)=-sin α=265.12.答案为：-75；解析：∵tan α=43，α为第一象限角，∴sin α=45，cos α=35，∴sin(π＋α)＋cos(π-α)=-sin α-cos α=-75.13.答案为：0；解析：原式=-sin 3π＋2sin(π+3π)+3sin(π-3π)=-sin 3π-2sin 3π＋3sin 3π=0.14.答案为：17；解析：∵cos(π2＋α)=2sin(α-π2)，∴sin α=2cos α.原式=sin α－cos α5sin α－3cos α=2cos α－cos α10cos α－3cos α=17.15.解：(1)证明：因为f(α)=tan π－α·cos 2π－α·sin π2＋αcos －α－π=sin π－αcos π－α·cos α·cos α－cos α=sin α·cos α·cos α－cos α·－cos α=sin α.(2)由sin(π2-α)=-35，得cos α=-35，又α是第二象限角，所以sin α=1－cos 2α=45，则tan α=sin αcos α=-43.16.答案为：32;。
高一数学必修四全册同步训练 诱导公式五六
1-3-2诱导公式五、六一、选择题1．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13[答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]． ＝sin(α＋π4)＝13.2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35， ∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.3．已知sin α＝513，则cos(π2＋α)等于( ) A.513B.1213C ．－513D ．－1213[答案] C[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－513.4．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由已知，得sin α＝12， 则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12.5．已知sin10°＝k ，则cos620°等于( ) A ．k B ．－k C ．±k D.1－k 2 [答案] B[解析] cos620°＝cos(360°＋260°) ＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80° ＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k .6．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24[答案] A[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π2，0)， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝sin αcos α＝－2 2.7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，sin(α－5π)·sin(3π2－α)等于( )A.34B.310 C ．±310 D ．－310[答案] B [解析]sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1＝310. 8．若f (cos x )＝cos3x ，那么f (sin30°)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.32[答案] C[解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1，故选C.9．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( )①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A2 ③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③[答案] C[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， ∴①错，排除B 、D ；cos B ＋C 2＝cos π－A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A2， ∴②正确，排除A ，∴选C.10．tan110°＝k ，则sin70°的值为( ) A ．－k1＋k 2B.k 1＋k 2C.1＋k 2k D ．－1＋k 2k[答案] A[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ， 又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，∴cos70°＝－1k sin70°代入sin 270°＋cos 270°＝1中得，sin 270°＝k2k 2＋1，∵k <0，sin70°>0，∴sin70°＝－k1＋k 2.二、填空题11．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π2－α)＝________. [答案] 34[解析] ∵sin(π2＋α)＝cos α＝34， ∴sin(π2－α)＝cos α＝34.12．化简cos (52π－α)cos (－α)sin (32π＋α)cos (212π－α)＝________. [答案] －1 [解析] 原式＝cos[2π＋(π2－α)]cos αsin[π＋(π2＋α)]cos[10π＋(π2－α)] ＝cos (π2－α)cos α－sin (π2＋α)cos (π2－α) ＝sin αcos α－cos αsin α＝－1. 13．若cos(π6 －α)＝a ，则sin(2π3－α)＝________.[答案] a[解析] ∵cos(π6－α)＝cos(2π3－α－π2) ＝cos[π2－(2π3－α)]＝sin(2π3－α)， ∴sin(2π3－α)＝a .14．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．[答案] 912[解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N ) ∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912. 三、解答题15．(2011～2012·宜春高一检测)化简： cos (2π－α)sin (3π＋α)cos (3π2－α)cos (－π2＋α)cos (α－3π)sin (－π－α). [解析] 原式＝cos α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)sin α＝－1.16．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°. 求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值． [解析] 由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)，得sin α＝1010，cos α＝31010，∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α ＝－1010－31010－31010＋1010＝2.17．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 3αcos (π2－α)cos (π2＋α)的值． [解析] 由已知得sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34.18．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. [证明] ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π2－β，k ∈Z . ∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan[2(2k π＋π2－β)＋β]＋tan β ＝tan(4k π＋π－4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0. 即tan(2α＋β)＋tan β＝0.。
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必修四诱导公式习题课件
三角函数的诱导公式习题课（一）
一．复习
我们学习了三角函数的六组诱导公式．这六组公式揭示了角
与角的三角函数值之间的联系，其中公式五、六还可实现正
弦函数与余弦函数的相互转化．
为了便于记忆，可以把诱导公式简单的概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
二．诱导公式的作用：
利用诱导公式可以把任意角（轴角除外）的三角函数转化为
锐角的三角函数．
诱导公式提示我们要观察未知角和已知角之间的联系，为解
题提供方向．
三．例题讲解
“诱导公式”这节的常见题型为求值问题、化简问题、证明
问题等，这次课我们主要谈一谈求值的相关问题．
例1的值为__________ ．分析需要用诱导公式把的正弦值
转化为某个锐角的三角函数值来求解．解析评析在求具体
角的三角函数值时，注意把该角（轴角除外）的三角函数转
化为锐角的三角函数求解，转化步骤为：负角变正角，大角
变小角，小角变锐角．
例2 已知，则__________ ．
分析注意到两个角互补，因此可以根据诱导公式先求出
角的正弦值与余弦值，再求
解析因为，
所以，又角为锐角，所以，
因此．
评析诱导公式告诉我们两个角互余，其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值；两个角互补，它们的正弦值相等，余弦值互为相反数，正切值互为相反数．因此在解题时注意观察两个角互余、互补的关系，会为解题提供方向．
例3 若，求
分析注意到，，所以可以转化为来求解．
解析由于，而，且为锐角，所以，所以，
即．
评析在解题时应该养成化一般角为锐角的习惯，这样往往更容易看出两个角之间的联系．
例4 已知，为第三象限角，则
_______ ．
分析把分别看成整体，注意到与互补、。
因此可由诱导公式分别计算它们的余弦值．
解析由于，
所以；由于所以，又因为为第三象限角且，所以为第四
象限角，因此，所以因此原式．，评析⑴ 我们应该把类似
这样的和角或差角分别看成整体，这样更容易寻找它们之间
的关系．⑵ 观察未知角和已知角之间的联系往往是解题的
关键．
例5 求的值
分析当为偶数时，角的终边在轴正半轴；当为
奇数时，角的终边在轴负半轴，化简结果是不同的，因此要先对进行分类讨论．
解析⑴当为偶数，即时，原式
⑵当为奇数，即时，原式
综上所述，当为偶数时，原式；当为奇数时，原式．
评析在用诱导公式化简形如的式子时，要注意对进行“奇、偶”的分类讨论．
例6 若函数，求的值．
分析连续求102个三角函数值是不可能的，必须发现这102个数的变化规律．易知
所以，因此第13个数开始重复，也就是连续12个数为一个
循环．这是我们观察出来的规律，是否有理论依据呢？我们
来看具体解法．
解析因为，
所以．所以12个这样的函数值为一个循环．又因为
而，所以
评析⑴ 由诱导公式可发现这些三角函数的函数值按一定周
期循环出现，这样在求值时可以化多为少，化繁为简；⑵
寻找循环规律也是解决多个数相加、相乘的常用思路．
小结利用诱导公式处理求值问题时，要有意识的观察两个
角之间的联系，同时注意以下细节
尽量把任意角（轴角除外）化为锐角来处理；
注意未知角与已知角之间互余或互补的关系，这会为解题提
供方向；
化简形如的式子时，要注意对n进行“奇、偶”的分类讨论；整体的看待和角与差角能更容易的找到两个角之间的联系．
三角函数的诱导公式习题课（二）
上次课我们处理了利用诱导公式求值的相关问题，这次课我
们谈一谈化简和证明问题以及较难的求值问题．
例1 化简的结果是_____ ．
分析先利用诱导公式把角化简，再凑完全平方公式．解析
因为角2为第二象限角，所以．因此原式．
评析化简2次根式的时候，往往需要把根式里面凑成平方
的形式，而常数1往往根据需要写成某个角正弦与余弦平方
的和的形式．
例2 已知为的三个内角，
求证：；．
分析注意到，所以可用诱导公式加以证明．
证明因为为的三个内角，所以，
因为，
所以。
所以原命题均成立．
评析这两个结论在今后处理与三角形有关的问题时有着广泛的应用．另外类似的结论还有
例3 已知，求证：．
分析注意已知条件，只有当角
时，其正弦值才能得1，所以可以把角用角表示，从而完成证明．
证明由于，根据三角函数的定义，有．所以，所以
所以原命题成立．
评析⑴ 注意当某个角正弦值为1时，这个角的终边只能落在y轴正半轴上；⑵ 一般证明等式的思路是“从左推右”或“从右推左”、或证明“等式两边都等于一个相同的式子”．
例4中，若，
，求的三个内角．
分析⑴ 求角，要先求该角的某个三角函数值，再根据该角所在的象限定出该角的具体值．⑵ 已知条件要先用诱导公式进行化简，其中
也可以把看成锐角，这样为第四象限角，所以
解析由已知条件可得，两式
平方相加可得：
所以，因此，即．
若，则．因为，所以若，则，所以且，不合题意，舍去．
综上所述，中，．
评析⑴ 虽然形如的诱导公式没有正式给出，但实际上诱导公式是可以推广的，只要是形如“轴角”
的形式，都可用规律“奇变偶不变，符号看象限”化简．⑵ 在三角形中求角时，要注意求该角的余弦或正切值，因为这样便于判断该角是锐角还是钝角．
例5 若，化简
分析由于为任意整数，所以与必然奇、偶互异，因此要对进行奇、偶分类．
解析⑴当为奇数，即时，原式
⑵当为偶数，即时，原式
评析当出现时,要注意对进行奇、偶分类
综上：原式．例6 已知函数，
且，求的值．
分析由于题中涉及的角很大，所以先用诱导公式化简再求值；另外题中未知参数较多，这时往往要考虑整体代换．
解析因为
所以，所以
评析⑴ 当题目中出现的角很大时，应先用诱导公式进行化
简；⑵ 本题中的未知参数较多，一一求解显然不现实，当
把看成整体处理时，问题将被大大简化．解题时应注意整体
代换思想的应用．
小结诱导公式在三角函数的“求值”、“化简”、“证明”等问题中有着广泛的应用，既能提供化简依据，又能提供解
题思路，是我们学习三角函数重要的基础公式．。