理论力学 第十三章 能量法分解

二、应变能密度
应变能密度（比能） :单位体积的应变能.
记作 v
dV

dW
y

dxdz dy
2


2
dxdzdy
y
σ dx
dx
dz
dz
τ
τ
dy
x
dy
γ
z
(a)
z
(b)
x 15

v 2
将拉压胡克定律代入上式，得
v

2
2E
16
纯剪切应力状态下的应变能密度
假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动 dx.
（ Fi ——广义力， i ——广义位移）
可以证明，外力功与加载的顺序无关，当 结构受到多个外力作用时，外力功的数值 只与各荷载最终数值和相应位移最终数值 有关，这是外力功的一个重要的特点。外 力功是一个代数量，荷载方向与相应位移 方向一致时为正，相反则为负。
6
§13-3 应变能的计算
一、杆件变形能的计算
10
2.扭转杆内的变形能
Me
Me

Me
l


Vε
W

1 2
M
e

Δ

1 2 Me
Mel GIp

Me2l 2GIp

T 2l 2GIp
Vε
T 2( x) dx l 2GIp ( x)
或
Vε

n i 1
Ti2li 2Gi Ipi
11
3.弯曲变形的变形能
Me
纯弯曲
θ
Me
Me
Me


2
2
应变能为
y
ε

dVε dV

dW dV

dW dxdydz

1 τγ 2
a
将 = G 代如上式得
ε

1 τγ 2
ε

G 2
γ2

2
2G
b z
d

x
dx
dx
18
三、复杂应力状态下的应变能密度
1、应变能密度
y
dV dW
σ2

1 2
1dydz
1dx

1 2

2dxdz
4
W 1 Fδ 2
F--广义力包括力和力偶
δ--广义位移 包括线位移和角位移
B
F1
A
3
F2
B' F3
C
1
2
5
对线性弹性体的一般受力情况：
W

1 2
F11

1 2
F22

1 2
F33
L
L

1 2
Fi i

1 2
Fii
F1 F2 F3 Fi Δ3 Δi
Δ1 Δ2
——克拉贝依隆原理
W
dW
L
0 F1dL1
L 0
EAL1 L
dL1

EA ( L)2 1 FL L2 2
F
L
dF1
F1
F
△L
ΔL1 dΔL1
W 1 Fδ 2
上式表明，对于线性弹性体，荷载所作功等于荷载终值与 相应位移终值乘积之半。此式为计算线性弹性体外力功的 基本公式。式中的为广义荷载（力或力偶），是广义荷载 的相应位移（线位移或角位移）。这里的“相应”的含义 有二：一是方向相应，即荷载的作用点处沿着荷载的作用 线方向的位移；二是性质相应，即集中力只能在线位移上 作功，集中力偶只能在角位移上作功。
2dy

1 2

3dxdy
3dz
dz
σ1
dy
σ3
x
dx
z
19
三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
ε

1 2 (σ1ε1

σ2ε2

σ3ε3 )
将广义胡克定律代入上式, 经整理得
ε

1 2E
[
2 1


2 2
Hale Waihona Puke Baidu

2 3

2(σ1σ2

σ2σ3

σ3σ1 )]
20
1
性关系
13
上述结论应用于组合变形的变形能
截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
Vε
FN2( x) dx l 2EA( x)
T 2( x) dx l 2GIp ( x)
M 2( x) dx
l 2EI( x)
14
畸变能密度
应变能密度υε等于两部分之和
1
av
av 2
三、能量法：利用功能“原V理 和W功、”能。的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、 卡氏定理、图乘法。
§13-2 外力功的计算
在线弹性范围内：0 F（静载）， 0 L（变形）。
F1 在 dL1 上作功—— dW F1dL1。
外力在整个加载过程中作功——
Vε
W

1 2 Me
θ

1 2 Me
Mel EI

Me2l 2EI
横力弯曲，剪力应变能远小于弯曲应变能，故：
Vε
Me2( x)dx l 2EI ( x)
12
变形能总体表达式
B
F1
A
3
F2
B' F3
C
1
Vε

Fδ 2
F--广义力包括力和力偶
1
2
δ--广义位移
C'
包括线位移和角位移
在线弹性情况下，广义力与广义位移之间是线
§13-1 概述
一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的 能量“ V ” 。
弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量。 1、弹性变形能具有可逆性。 2、塑性变形能不具有可逆性 。
二、变形能的计算：利用能量守恒原理 能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的 能量，在数值上等于外力所作的外力功。
y
因为很小,所以在变形过程中,上,
下两面上的外力将不作功. 只有右侧
面的外力（dydz） 对相应的位移 dx 作了功.

d
a

x
b
dx
z
dx

17
当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,
单元体上外力所作的功为
dW 1 (τdydz)(γdx) 1 τγ(dxdydz)
3
图a
2 av
av
1 -av 2 -av
av
图b
av

3 -av 图 c
1 3
( 1
2
3)
图 b 体积改变，形状不变；图 c 形状改变，体积不变。
21
用υV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体 积改变能密度
用υd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为
1.轴向拉压的变形能
当拉力为F1 时,杆件的伸长为△l1 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(△l1)
此外力功的增量为：
dW F1d(Δl1)
d(Δl1
)

dF1l EA
7
l F l
F dF1
F1
o l1
dl1
l
l
F
积分得： W
dW
F 0
F1
ElAdF1

F 2l 2EA

F 2
Δl
8
根据功能原理 Vε= W , 可得以下变形能表达式
Vε
W

1 FΔl 2

1 2
FN
Δl
Δl Fl FNl EA EA
Vε

F 2l 2EA

FN2l 2EA
当轴力或截面发生变化时:
Vε

n i 1
FN2i li 2Ei Ai
9
当轴力或截面连续变化时：Vε
l FN2( x)dx 0 2EA( x)