人教版高二数学选修1-1双曲线的几何性质练习题及答案
2020-2021高中数学人教版1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析第二章2。
22。
2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C)A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D．以上都不对[解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C)A．2B．2错误!C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。
3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（C)A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2）[解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!.∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2C．错误!D．2错误!［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。
又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，故选D．5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。
人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52， 所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x 7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：38．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6.所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级 能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1，焦点在x 轴上且c 2＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k2－2≠0，Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，解得k的取值范围为{}k|－2＜k＜－2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
最新人教A版高中数学选修1-1 双曲线几何性质测试(含答案)
双曲线几何性质测试班级____________姓名______________1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF-=，则点P 地轨迹方程为______________2．如果双曲线地渐近线方程为34y x =±，则离心率为____________3．过原点地直线l 与双曲线221yx -=有两个交点，则直线l 地斜率地取值范围为_____________ 4．已知双曲线2214x y k+=地离心率为2e <，则k 地范围为____________________ 5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线地渐近线方程为_____6．已知双曲线地中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △地面积为1，则双曲线地方程为__________________ 7．若双曲线22221x y a b -=地一条渐近线地倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ． 8．双曲线22221x y a b -=地两条渐近线互相垂直，则双曲线地离心率为 ． 9．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线地一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线地左、右焦点，若13PF =，则2PF 地值为 ．10．若双曲线地两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线地标准方程为 ．11．若椭圆221(0)x y m n m n+=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同地焦点12F F ，，点P 是两条曲线地一个交点，则12PF PF ·地值为 ． 12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，左支上地一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △地内切圆圆心地横坐标为 ．13.过双曲线地一个焦点且与双曲线地实轴垂直地弦叫做双曲线地通径，则双曲线162y -92x =1地通径地长是_______________14.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0，y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= . 15．已知双曲线2221()4x y b b *-=∈N 地左、右焦点分别为12F F ，，P为双曲线上一点，若21212PF PFF F =·且24PF<，求双曲线地方程．16．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，且AD BC ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程． 17.试求以椭圆1692x +1442y =1地右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y =1地渐近线相切地圆方程. 1.221(3)169x y y -+=-≤ 2. 53或54 3. (1)(1)--+U ，，∞∞ 4.120k -<< 5.3x y= 6. 2214x y -= 7.1cos α8. 2 9. 7 10.2213y x -+=11.m a - 12.a - 13. 92 14. 215-15。
人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案 (2)
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课堂10分钟达标练1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )A.2B.2C.4D.4【解析】选C.双曲线标准方程为-=1，故实轴长为4.2.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>2【解析】选C.双曲线离心率e=>，所以m>1.3.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标是________.【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x，所以m=-3，求得双曲线方程为-=1，从而得到焦点坐标(，0)，(-，0).答案：(，0)，(-，0)4.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线-=1有共同的渐近线，且过点(-3，2).(2)与双曲线-=1有公共焦点，且过点(3，2).【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0)，将点(-3，2)代入得λ=，所以双曲线方程为-=，即-=1.(2)设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).由题意易求c=2.又双曲线过点(3，2)，所以-=1.又因为a2+b2=(2)2，所以a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为-=1.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
人教新课标版数学高二选修1-1练习 双曲线的简单几何性质
选修1-1 第二章 2.2 第2课时一、选择题1．(2013·福建文，3)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A ．12B ．22C ．1D ． 2[答案] B[解析] 双曲线x 2－y 2＝1的一个顶点为A (1,0)，一条渐近线为y ＝x ，则A (1,0)到y ＝x 距离为d ＝12＝22. 2．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有共同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．25D ．9[答案] B[解析] 依题意，34－n 2＝n 2＋16，解得n ＝±3，故答案为B.3．(2013·北京理，6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x[答案] B[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．因为离心率e ＝3，所以c ＝3a ，即b ＝2a ，由双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±ba＝±2x .选B.4．(2013·湖北文，2)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1，与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1 ( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[答案] D[解析] 本题考查双曲线的性质．由双曲线的性质c 2＝a 2＋b 2知，C 1：c 2＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，C 2：c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴C 1与C 2的焦距相等，故选D.5．经过点M (26，－26)且与双曲线x 24－y 23＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．x 26－y 28＝1B ．y 28－x 26＝1C ．y 26－x 28＝1D ．x 28－y 26＝1[答案] C[解析] 设双曲线方程为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，把点M (26，－26)代入双曲线方程，得λ＝244－243＝－2， ∴双曲线方程为：y 26－x 28＝1.6．(2013·北京文，7)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 [答案] C[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C.二、填空题7．(2013·泗阳县模拟)两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．[答案]415[解析] ∵两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎨⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415.8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.[答案] 1 2[解析] 利用共渐近线方程求解．与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.9．(2014·天津市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________________．[答案] x 24－y 23＝1[解析] 椭圆中，a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝7， ∴离心率e 1＝74，焦点(±7，0)， ∴双曲线的离心率e 2＝c a ＝72，焦点坐标为(±7，0)，∴c ＝7，a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝3， ∴双曲线方程为x 24－y 23＝1.三、解答题10．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题设知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.一、选择题11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线[答案] D[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.12．(2014·吉林延边州质检)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x[答案] B[解析] ∵方程表示双曲线，∴m >0，∵a 2＝9，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝9＋m ，∴c ＝9＋m ，∵双曲线的一个焦点在圆上，∴9＋m 是方程x 2－4x －5＝0的根，∴9＋m ＝5，∴m ＝16，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±233x[答案] A [解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2＝4b 2，∴b a ＝32.∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±32x .14．(2014·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．x 25－y 220＝1B ．x 220－y 25＝1C ．3x 225－3y 2100＝1D ．3x 2100－3y 225＝1[答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y ＝2x ＋10.则ba＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，c ＝5得，∴a 2＝5，b 2＝20，双曲线标准方程为x 25－y 220＝1，选A. 二、填空题15．(2014·三峡名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e ＝________.[答案]32[解析] 由条件知b a ＝12，即a ＝2b ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，c ＝3b ，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝32.三、解答题16．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25. ② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.17．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． [分析] 由截距式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而求出ca.[解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得 l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得aba 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝⎛⎭⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.由e ＝ca有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. 因0<a <b ，故e ＝ca＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2，所以应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.。
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题及答案.doc
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题及答案人教版高二数学选修1-1双曲线及具标准方程练习题及答案一、选择题(每小题4分，共40分)1.反比例函数的图象在)A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第一、四象限2.如图1,在玄角ZXABC 屮，ZC = 90° ,若AB=5, AC = 4,贝ij tanZB=()(A) 35 (B) 45 (C) 34 (D) 433.已知:如图2, 在厶ABC屮，ZADE=ZC,则下列等式成立的是()(A) ADAB=AEAC (B) AEBC=ADBD(C) DEBC=AEAB (D) DEBC=ADAB4.袋中有3个红球，2个门球，若从袋中任意摸出1个球，则摸出白球的概率是()A. B. C. D.5.如图3, AB是O0的直径，弧BC二弧BD, ZA二25° ,则ZB0D的度数为()A. 25°B. 50°C. 12.5°D. 30°6.已知O01与002内切，它们的半径分别为2和3,则这两圆的圆心距d满足()(A) d=l (B) d=5 (C) l<d<5 (D) d >57.把抛物线y=3x2向右平移一•个单位，则所得抛物线的解析式为()A. y=3(x+l)2B. y=3(xT)2C. y二3x2+1D. y=3x2T8.如图4,身高为1・6m的某学生想测量-棵人树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点吋，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3. 2m , CA=0. 8m, 则树的高度为,，()A. 4.8m B・ 6. 4m C. 8m D. 10m9.抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3,则下列结论：®abc>0；②a+b+c=2；③a> ； @b<l.其中正确的结论是（）（A）①②（B）②④（C）②③（D）③④10.小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2-4x+5的值的情况，他们作了如下分丁.：小明负责找值为1时的x值，小亮负贵找值为0时的x值,小梅负责找最小值，小花负责找最大值。
人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案)
2.2.2双曲线的简单几何性质课时目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0) ①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0) ②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于________．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1 B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝12．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.73 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M (1，2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P (x ，y )的横坐标均满足|x |≥a .2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)． 2．2.2 双曲线的简单几何性质答案知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性 质焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a )轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133 解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3. 又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y 24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－kx 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12. D[设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 而k BF ＝－bc，∴b a ·(－b c )＝－1， 整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵ P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x1＝512x2.∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴x1＋x2＝1712x2＝－2a21－a2，x1x2＝512x22＝－2a21－a2，消去x2得－2a21－a2＝28960，即a2＝289169.又∵a>0，∴a＝1713.。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
高中人教B版数学选修1-1练习：2.2.2 双曲线的几何性质 Word版含解析
2.2.2双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列, 则它的离心率为()A解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e答案:B2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距0,2),则双曲线的标准方程为()AC解析:由方程a=2,b=2.∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的标准方程.答案:B3.过点(2,-2)且=1有公共渐近线的双曲线方程为()AC解析:由题意可设双曲线方程=k(k∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程.答案:A4.F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.解析:△PF1F2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,即2c c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解之,得e=∵e>1,∴e=答案:A5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离m=()A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点3y-mx=0,由题意,m=4.答案:D6.已知双曲2,焦点与椭.解析:∵椭(4,0),(-4,0),∴双曲线的焦点坐标也为(4,0),(-4,0),∴c=4,c2=a2+b2,∴a=2,b2=12,∴双曲线的方程∴双曲线的渐近线方程为y=.答案:(4,0),(-4,0)7.双曲.解析:利用公式y=y=答案:y=8.若双曲2,则k的值是.答案:- 319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)过点P(3e(2)F1,F2是双曲线的左,右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,.由e由点P(3,.②又a2+b2=c2, ③由①②③,得a2=1,b若双曲线的焦点在y轴上,.同理a2+b2=c2.解之,得b2=).故所求双曲线的标准方程为x.(2)设双曲线的标准方程|F1F2|=2c,而e,得||PF1|-|PF2||=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos 60°),∴4c2=c2+|PF1|·|PF2|.|·|PF2|·sin 60°=1∴|PF1|·|PF2|=48.由3c2=48,∴c2=16,得a2=4,b2=12.∴所求双曲线的标准方程.★10.如图所示,已知F1,F2为双曲a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.分析:由于双曲y=,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解:方法一:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)代入方程得y0=|PF2|在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|F1F2||,即2c又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.故所求双曲线的渐近线方程为y=方法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a.∴|F1F2||.∴2c=c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.故所求双曲线的渐近线方程为y=。
人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-2双曲线的简单几何性质(2)
7．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.32[答案] C[解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1， ∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2. 9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则·的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 [答案] A[解析] 特值法：当点P 在双曲线的一个顶点时，·＝a 2.10．(2010·浙江理，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 如图：由条件|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c又知|PF 2|＝|F 1F 2|，知A 为PF 1中点，由a 2＋b 2＝c 2，有|PF 1|＝4b 由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则4b －2c ＝2a∴2b ＝c ＋a ，又有c 2＝a 2＋b 2，(2b －a )2＝a 2＋b 2， ∴4b 2－4ab ＋a 2＝a 2＋b 23b 2＝4ab ，∴b a ＝43，∴渐近线方程：y ＝±43x .故选C.11．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．[答案] －12<b <0[解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.14．(2009·全国Ⅱ文，8改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±36x ＝±22x ， ∴2x ±2y ＝0，由题意，得r ＝326＝ 3. 15．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)．18．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．(1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0； (2)点A (5,0)到双曲线上动点P 的距离的最小值为 6.[解析] 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为y ＝±12x ，所以由条件(1)，设双曲线方程为x 24b 2－y 2b 2＝1，设动点P 的坐标为(x ，y )，则|AP |＝(x －5)2＋y 2＝54(x －4)2＋5－b 2，由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，|AP |最小＝5－b 2＝6，b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x＝2b 时，|AP |最小＝|2b －5|＝6，解得b ＝5＋62⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－62<2，应舍去，此时存在双曲线方程为x 2(5＋6)2－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋622＝1.(2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1(x ∈R )，所以|AP |＝54(x －4)2＋a 2＋5， 因为x ∈R ，所以当x ＝4时，|AP |最小＝a 2＋5＝ 6. 所以a 2＝1，此时存在双曲线方程为y 2－x 24＝1.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.4双曲线的简单几何性质(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.4 双曲线的简单几何性质（二）同步练习题【基础演练】题型一：由双曲线的方程研究其几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 双曲线1b y a x 2222-=-的离心率为45，则其渐近线为A.016y9x =± B.09y16x =± C.04y3x =± D.03y4x =± 2. 双曲线的渐近线为43y ±=x ，则双曲线的离心率是A.45 B. 2 C.45或35 D.25或315 3. 双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是A. 45°B. 30°C. 60°D. 90°4. 求双曲线144y 9x 1622-=-的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标，渐近线方程。
题型二：由双曲线的几何性质求其方程 充分利用双曲线的几何性质，以及a 、b 、c 、e 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出双曲线的标准方程，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 中心在坐标原点，离心率为35的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为A. x 45y ±=B. x 54y ±=C. x 34y ±=D. x 43y ±=6. 双曲线以椭圆125y 9x 22=+的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为___________。
7. 已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的离心率332e =，过A （0，b -）和B （a ，0）的直线与原点间的距离是23。
（1）求此双曲线的方程；（2）直线5kx y +=（0k ≠）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求k 的值。
题型三：创新应用8. 1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠=21PF F 60°，312S 21F PF =△，又离心率2e =，求双曲线方程。
高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(14)双曲线的简单几何性质 Word版含解析
2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（14）双曲线的简单几何性质1.已知双曲线222=1(0)4x y b b->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A B C D 、、、四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A.223=144x y - B.224=143x y - C.22144x y -= D.22=1412x y - 2.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>,若存在过右焦点F 的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =,则双曲线离心率的最小值为( )23C.2D.23.已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为( ) 307 307 D.56或7 4.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则双曲线的离心率为( ) A.43B.53C.94D.35.已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上一点，12,F F 是双曲线C 的两个焦点.若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是( )A.33⎛ ⎝⎭B.33⎛ ⎝⎭C.2222⎛ ⎝⎭D.2323⎛ ⎝⎭6.已知点2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线右支上的一点.O 为坐标原点.若21()2OM OP OF =+,2222OF F M =,且22222OF F M a b ⋅=+，则该双曲线的离心率为( ) A.312+ B.32C.3D.237.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是( )A.2214y x -=B.2214x y -= C.2214y x -=D.2214x y -=8.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率为2,则C 的渐近线的斜率为( )A.3±B.3±C.13±D.3±9.已知双曲线221(0)y x m m-=>的焦点为12,F F ,渐近线为12,l l ,过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于M ,若120F M F M ⋅=,则m 的值为( ) A.1B.3C.2D.310.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点O 为坐标原点,点P 在双曲线右支上,12PF F △内切圆的圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B ,则OA 与OB 的长度依次为( ) A.,a aB.22,a a b +C.3,22a a D.,2a a 11.如图,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且//AB CD .若双曲线1C 以,A B 为焦点,且过,C D 两点,则当梯形的周长最大时,双曲线1C 的离心率为_________.12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率e 的取值范围为__________.13.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F ,直线1y x =-与其相交于,M N 两点,MN 的中点的横坐标为23-,则此双曲线的标准方程是_________.14.如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两渐近线的夹角是60︒,则该双曲线的离心率是__________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且过点(3,-.1.求双曲线的方程及其渐近线方程；2.若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的值.答案以及解析1.答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方程为2b y x =±，圆的方程为224x y +=.不妨设交点A 在第一象限，由22,42by x x y =+=得22,44A A x y b b ==++，故四边形ABCD 的面积为232424A A bx y b b==+，解得212b =，故所求的双曲线方程为221412x y -=，故选D 2.答案：C解析：因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =, 故直线与双曲线相交只能如图所示的情况, 即A 点在双曲线的左支,B 点在右支,设()()1122,,,A x y B x y ,右焦点()(),00F c c >, 因为3AF BF =,所以()12212,32c x c x x x c -=--=, 由图可知,12,x a x a ≤-≥, 所以12,33x a x a -≥≥, 故2134x x a -≥, 即24,2cc a a≥≥, 即2e ≥,故选C.3.答案：C解析：∵4,,9m 构成等比数列，∴236,6m m ==±.当6m =时，圆锥曲线方程为2216x y +=，其离心率为6；当6m =-时，圆锥曲线方程为2216x y -=.故选C 4.答案：B解析：根据双曲线的定义122PF PF a -=，可得222112224PF PF PF PF a -+=.由已知可得222112229PF PF PF PF b ++=.两式作差得2212449PF PF a b -=-.又1294PF PF ab =，所以224990a ab b +-=，即(43)(3)0a b a b -+=，得43a b =.两边平方得22169a b =，即222169()a c a =-，即22259a c =，则22259c a =，所以双曲线的离心率53e =，故选B5.答案：A解析：根据双曲线的标准方程，可知12(F F .因为00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，所以120000(,),)MF MF x y x y ⋅=--⋅-22003x y =-+2031y =-.由20310y -<得2013y <，解得0y <<. 6.答案：A 解析：∵21()2OM OP OF =+,∴M 是2PF 的中点.∵2222OF F M =,∴22OF F M c ==,∴222222222cos()OF F M c OF M a b c ⋅=π-∠=+=，∴223OF M π∠=.∴32c M ⎛ ⎝⎭.∵2(,0)F c ，M 是2PF 的中点，∴(2)P c .∵点P 在双曲线上，∴2222431c c a b-=，即222222430b c a c a b --=.∵222b c a =-，∴222222224()3()0c c a a c a c a ----=，即4224480c a c a -+=，∵c e a=，∴424810e e -+=，解得21e =+或21e =(舍)，∴e ==，故选A 7.答案：C解析：由题意，选项A,B 表示的双曲线的焦点在x 轴上，故排除A,B ；选项C 表示的双曲线的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C 8.答案：A解析：∵双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为2,∴2ca=,∴224c a =,∴2224a b a +=,∴a b =,∴C的渐近线方程为y x =,∴C的渐近线的斜率为,故选A. 9.答案：D解析：不妨设1212:,:,(l y l y F F ==,所以过点2F 且与渐近线1l 平行的直线方程为y x ,由y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以M ,所以12(1)31(1,),(22m m F M m F M +=+-=-.因为120F M F M ⋅=,所以3(1)(1)044m m m +-++=,即3(1)()044mm +-+=,解得3m =或1m =-(舍去).故选D. 10.答案：A解析：由题意,可知12(,0),(,0)F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A ,由122PF PF a -=及圆的知识,知122AF AF a -=,设内切圆的圆心Q 的横坐标为x ,则()()2x c c x a +--=,所以x a =,所以OA a =.延长2F B 交1PF 于点C ,则2PF C △为等腰三角形,且22,PC PF CB F B ==,在12F CF △中,11121111()()22222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=,故选A. 11.1解析：连接AC ,设,2BAC AB R θ∠==,作CE AB ⊥于点E ,则22sin ,cos(90)2sin BC R EB BC R θθθ==︒-=,所以224sin CD R R θ=-,梯形的周长221224sin 24sin 4(sin )52l AB BC CD R R R R R R θθθ=++=++-=--+.当1sin 2θ=,即30θ=︒时,l 有最大值5R ,这时,11,,()1),122cBC R AC a AC BC R e a==-===.12.答案：解析：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±.由过双曲线的右焦点、且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有一个交点,得1ba>,即22b a >,所以222c a >,可得e >由过双曲线的右焦点、且斜率为3的直线与双曲线右支有两个不同的交点,得3ba<,即229b a <,所以2210c a <,可得e <综上,双曲线的离心率e的取值范围为.13.答案：22125x y -=解析：由题意,设双曲线的方程为221(0,0)x y m n m n -=>>,由2211x y m ny x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2()20n m x mx m mn -+--=,所以222()3M N m x x n m +=-=⨯--,解得25m n =.又2m n +=,所以2,5m n ==,即双曲线的标准方程为22125x y -=.14.2 解析：易知双曲线的渐近线的斜率是b a ±.又两渐近线的夹角为60︒,则tan 30b a =︒或tan 60ba=︒,即2113e -=或213e -=,又1e >,所以e =或2e =,2.15.答案：1.由题意得222249241a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2213a b ⎧=⎨=⎩∴双曲线的方程为2213y x -=，其渐近线方程为y =. 2.由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(3)470k x kx ---=.由题意得222301628(3)0k k k ⎧-≠⎨∆=+-=⎩∴27k =，∴k =当直线l 与双曲线C 的渐近线y =平行，即k =直线l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k =k =解析：。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1专项训练 双曲线的简单几何性质
1．双曲线2x 2－y 2＝8的离心率是( )A. 3B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选A.∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1， ∴a 2＝4，b 2＝8，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴e 2＝c 2a 2＝3，∴e ＝ 3.故选A. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1 解析：选A.双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)，(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x ，由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3. 3．已知设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)与x 212－y 227＝1有相同的渐近线方程，则a 的值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.由双曲线方程可知渐近线为y ＝±3a x ＝±32x ，故a ＝2. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4D.14 解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A. 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.y 24－x 24＝1 B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选A.2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1. 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 答案：(±7，0)7．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 解析：∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.答案：－12<b <0 8．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1的焦点相同，则a ＝________. 解析：由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 答案：62 9．求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．解：椭圆的焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，即为双曲线的顶点．∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上， ∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A 1(－4,0)，A 2(4,0)，所以c ＝4，a ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝3.故所求双曲线的方程为x 27－y 29＝1. 实轴长为2a ＝27，虚轴长为2b ＝6，离心率e ＝c a ＝477，渐近线方程为y ＝±377x . 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，原点到过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线的距离为32，求此双曲线的方程． 解：∵e ＝233，∴c a ＝233， ∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.① 又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∵d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 由①②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝1， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.1．斜率为2的直线l 与双曲线x 23－y 22＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋2103 B ．y ＝2x －2103 C ．y ＝2x ±2103D ．以上都不对 解析：选C.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，代入双曲线方程中得：10x 2＋12mx ＋3m 2＋6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6m 5，x 1·x 2＝3m 2＋610. ∵|AB |＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，∴5·(－6m 5)2－4×3m 2＋610＝4， 解得m ＝±2103， ∴直线l 的方程为y ＝2x ±2103. 2．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A (3,0)，右焦点为F (5,0)(由于两渐近线关于x 轴对称，因此设与任何一条渐近线平行的直线均可)，一条渐近线为y ＝－43x ， 则BF 所在直线为y ＝－43(x －5)， 由⎩⎨⎧ y ＝－43(x －5)x 29－y 216＝1，得B (175，3215)， ∴S △AFB ＝12 ·|AF |·|y B |＝3215.答案：32153．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧ a 2c ＝33c a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1， x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ， y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.4．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值． 解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，由题设条件知|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝4，化简得L的方程为x24－y2＝1.(2)过M，F的直线l方程为y＝－2(x－5)，将其代入L的方程得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝655，x2＝14515，故l与L交点为T1(655，－255)．因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2，若P不在直线MF上，在△MFP中有||MP|－|FP||<|MF|＝2.故||MP|－|FP||只在T1点取得最大值2.。
高二人教版数学选修1-1练习：2.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含答案
►基础梳理1． 双曲线的几何性质.2.双曲线的有关几何元素．求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线方程时，要先将方程化成双曲线的标准形式，然后求a 、b ，即可得到所求．3．双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．(2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． ,►自测自评1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是(C) A.32B ．2 C.52 D.54解析：∵a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝52. 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是y ＝±32x ． 解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x . 3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1．1．(·茂名一模)已知双曲线x 2m －y 25＝1(m >0)的右焦点F (3，0)，则此双曲线的离心率为(C ) A ．6 B.322C.32D.34 2．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线C 的方程为(B )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1 3．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________． 答案：x 24－y 212＝1 4．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程． 解析：设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)． 将点(23，－3)代入，得λ＝－14， ∴双曲线方程为y 294－x 24＝1. 5．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率． 分析：只知渐近线方程，并不知焦点在哪个轴上，因此应分情况解答．解析：设具有渐近线y ＝±34x 的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，即x 216λ－y 29λ＝1. λ＞0，焦点在x 轴上，a 2＝16λ，b 2＝9λ，c 2＝a 2＋b 2＝25λ，∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54. λ＜0，焦点在y 轴上，a 2＝9λ，b 2＝16λ，c 2＝a 2＋b 2＝25λ，∴e 2＝c 2a 2＝259，e ＝53.1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为(C ) A ．2 B. 3 C. 2 D.322．(·茂名二模)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为(B )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为(A ) A.52 B.62 C. 2 D ．24．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(B ) A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝c a＝2，故选B. 5．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝(C )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由已知得，b 2＝2，c ＝2，点P 为(3，±1)，左、右焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，结合向量的乘法，易知选C.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为(D )A ．2B ．3 C.43 D.53解析：依题意，得2×2b ＝2a ＋2c ，即2b ＝a ＋c ，两边平方得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，将b 2＝c 2－a 2代入化简得，3c 2－2ac －5a 2＝0.即3e 2－2e －5＝0，解得e ＝ 53. 7．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．解析：由题意知a ＝2，当焦点在x 轴上时，有b a＝2 ∴b ＝4，双曲线方程为x 24－y 216＝1； 当焦点在y 轴上时，有a b＝2 ∵b ＝1，双曲线方程为y 24－x 2＝1. 答案：x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝1 8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为________． 解析：∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线， ∴k ＋4<0，k <－4.∴a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)．∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k .∴c a ＝5－k 3＝2. ∵5－k ＝36，k ＝－31.答案：－319．过点P (－3，0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∴x 2116－y 219＝1，x 2216－y 229＝1.两式相减得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）16－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0， 即k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝9（x 1＋x 2）16（y 1＋y 2）. ∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，∴k 1·k 2＝916.答案：91610．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．解析：双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0，5)， ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.①∵|PF 1|－|PF 2|＝±2，∴|PF 1|2－2|PF 2|·|PF 1|＋|PF 2|2＝4.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝16，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：411．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x . 解析：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1，或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32，且a ＝3，∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32，且a ＝3，b ＝2. ∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . (1)求双曲线离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值． 解析：(1)∵曲线C 与l 相交于两个不同的点A 、B ，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解， ∴(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2（1－a 2）>0'解得0<a <2且a ≠1.∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2>1＋12＝32，∴e >62且e ≠ 2. (2)由题意知：P (0，1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由P A →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， ∴x 1＝512x 2，由①可知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1·x 2＝2a 21－a 2， 以上两式相联消去x 1、x 2可得－2a 21－a2＝28960， 由a >0，知a ＝1713.►体验高考1．(·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个交点在直线l 上，则双曲线的方程为(A )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b 2＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝20. 故双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 2．(·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为(D )A. 2B.15 C ．4 D.17解析：根据已知条件，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以4a 2＝b 2－3ab ，所以b ＝4a ，双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝17，选择D. 3．(·全国大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于(C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a .∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 不妨取y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，∵焦点F (c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为 3. ∴bc a 2＋b 2＝3，∴bc c ＝3，∴b ＝ 3. ∵c ＝2a ，∴c 2－a 2＝b 2，∴4a 2－a 2＝3，a ＝1，c ＝2. 4．(·四川卷)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________． 解析：因为双曲线的方程为x 24－y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1， 所以c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52. 答案：525．(·北京卷)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________，渐近线方程为________．解析：设C ：y 24－x 2＝λ(λ≠0) 过(2，2)，则224－22＝λ 1－4＝λ，λ＝－3∴C ：y 24－x 2＝－3 即x 23－y 212＝1 易得渐近线：x 3±y 23＝0 即y ＝±2x .6．(·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝(D) A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.。
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意． 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1答案 A解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝2 3.故选A.3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解 把方程化为标准形式为x 212－y 222＝1，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c a＝5，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .知识点二求双曲线的离心率 4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 答案 B解析 ∵e ＝c a，c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.故b 2a 2＝12，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B. 5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c .∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c2＝a 2＋b 2知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2 D.3 答案 B解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b ＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c2.又b 2＝c 2－a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝53. 故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A.y ＝±54xB.y ＝±45xC.y ＝±43xD.y ＝±34x答案 D解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选D. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3答案 B解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y2＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a＝2·2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 23＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值X 围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案 x 2－y 2＝8解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值X 围是________．答案 (1，2]解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以|2b ±0|a 2＋b 2≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2，即e ≤2，所以离心率的取值X 围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a 2－232b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.解法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7×13a ＝3×13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
人教新课标版数学高二选修1-1检测 双曲线的简单几何性质
一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( )A.y 218－x 218＝1B.x 218－y 218＝1C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18.故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2b a ＝1，又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5，故双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．又其一条渐近线过点(4，－2)，∴b a ＝24，∴a ＝2b .因此c ＝a 2＋b 2＝5b .∴离心率e ＝c a ＝52.【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3B ．2C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3. 【答案】 A5．(2013·临沂高二检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【解析】∵2a＝2,2b＝2－1m，∴－1m＝2，∴m＝－14.【答案】－1 47．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，离心率e＝ca＝2，∴a＝2，∴b＝c2－a2＝2 3.∴双曲线方程为x24－y212＝1.令x24－y212＝0，得渐近线方程为3x±y＝0.【答案】(±4,0)3x±y＝08．(2013·北京高二检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝83a，|PF2|＝2 3a.容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即103a≥2c，∴e≤53，又e＞1，故e∈(1，53]．【答案】(1，5 3]三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．【解】 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，则由题意可知(－3)29－(23)216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴(32)216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)． ∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率的取值范围．【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线距离公式且a ＞1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2. s ＝d 1＋d 2＝2abc ≥45c .即5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，∴4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5， ∵e ＞1，∴52≤e ≤ 5.即e 的取值范围为[52，5]．11．若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)知b ＝1.又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3.OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝43x 2＋2x －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3.故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).。
[精品]新人教A版选修1-1高中数学分层测评10双曲线的简单几何性质和答案
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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( )A ．4x ±3y ＝0B ．16x ±9y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .【答案】 C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 29－y 216＝1 【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14.故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac，∴ca＝3，即e ＝3. 【答案】 37．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长是________．【解析】 联立消去y ，得x 2＋3x ＋2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝2，∴|AB |＝1＋32·－2－4×2＝2.【答案】 28．若直线x ＝2与双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】 由双曲线为x 2－y2b2＝1得渐近线为y ＝±bx ，则交点A (2,2b )，B (2，－2b )．∵S △AOB ＝12×2×4b ＝8，∴b ＝2.又a 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∴焦距2c ＝2 5. 【答案】 2 5 三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±abx ，即ax ±by ＝0，所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝255. 又e ＝c a ＝52，所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52a 2－a 2＝1， 解得a 2＝4，故双曲线方程为y 24－x 2＝1. 10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜ca≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.【答案】 B3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA1→·PF 2→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则PA1→＝(－1－x ，－y )， PF2→＝(2－x ，－y )， ∴PA1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得PA1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x －182－8116，又x ≥1，所以当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2.【答案】 －24．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠± 3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.。
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一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条准线l 与一条渐近线F 是与l 相应的焦点，则|PF|等于（ ）交于P 点，F 是与l 相应的焦点，则|PF|等于（ ）
A ．a
B ．b
C ．2a
D ．2b
2．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3，O 为AB 的中点，则|PO|的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
3 C ．2 D ．
4 3．双曲线12222=-b
y a x 的离心率为1e ，双曲线122
22-=-b y a x 的离心率为则21e e +的最小值是（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
4．已知双曲线122
22=-b
y a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在若||2||||22AB BF AF =+，双曲线的一支上，则|AB|等于（ ）
A ．2a
B ．3a
C ．4a
D ．不能确定
5．椭圆和双曲线有相同的中心和准线，椭圆的焦点1F 、2F 三等分以双曲线点1F '、2F '为端点的线段，则双曲线的离心率e ′与椭圆的离心率e 的比值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
6．已知两点)45
,1(M ，)4
5,4(--N ，给出下列曲线方程 ①4x+2y-1=0 ②32
2=+y x ③1222=+y x ④1222
=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
二、填空题
7．过双曲线122
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有_________条。
8．设1F 、2F 是双曲线222a y x =-的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程是__________。
三、解答题新课标第一网
9．在双曲线113
122
2=-x y 的一支上不同的三点),(11y x A ，)6,26(B ，),(22y x C 与焦点F （0，5）的距离成等差数列
（1）试求21y y +；
（2）证明线段AC 的垂直平分线经过一个定点，并求出该定点坐标。
10．设双曲线中心是坐标原点，准线平行于x 轴，离心率为
2
5，已知点P （0，5）到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程。
11．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线C ：122=-y x 相交于A 、B 两点，若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程。
答案与提示
一、1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D
二、7．3条 8．222a y x =+ 三、9． 1221=+y y （2）必过定点)2
25,0( 10．方程为149
4492
2=-x y 11． l ：x=-2或013=-±y x。