利用二次函数解决抛物线问题解析
二次函数抛物线型问题
1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米C ．6米D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。
【方法规律】在二次函数顶点式2()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。
当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。
【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。
【关键词】二次函数、最大值【推荐指数】★★☆☆☆【题型】常规题，好题，易错题2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米【答案】A【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为2244(1)04444(1)ac b a -⨯-⨯-==⨯-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可．【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误．【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C【思路分析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a x 2＋05，将（1，0）代入得a ＝－05，所以抛物线的解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5，分别将x ＝0.2和0.6代入，求得y 值为048，032，所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2（048＋032）＝16，所以则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为16×100＝160【方法规律】先计算一个抛物线左边或右边需要不锈钢支柱的长度，根据抛物线的对称性来解【易错点分析】1、不能正确求出抛物线的解析式；2、不能利用抛物线的对称性【关键词】抛物线 【难度】★★★☆☆ 【题型】好题4. （2011广西梧州，11，3分）20XX 年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线21b c 4y x x =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A ． 213144y x x =-++ B ．213144y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．213144y x x =---【答案】A【思路分析】根据出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，所以A ，B 两点坐标分别为（4，0），（0，1），在抛物线抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 上．将A（4，0），（0，1）代入抛物线解析式，得c ＝1，b ＝43，故选A ． 【方法规律】首先把实际问题转化为二次函数的数学问题，求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后在接方程组，求出待定系数，从而求出函数解析式．【易错点分析】一是不能数形结合看出点B 、点A ．坐标，二是计算错误．【关键词】二次函数解析式 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，易错题5. （2011青海西宁，7，3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图3所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是A ．y =﹣（x ﹣12 ）2+3B ．y =﹣（x +12）2+3 C ．y =﹣12（x ﹣12 ）2+3 D ．y =﹣12（x +12）2+3【答案】C 【思路分析】根据题意知，抛物线的顶点坐标为（12，3）可设抛物线的解析式为1()32y a x =-+，又抛物线经过点（0，0）代入可求得a=12-，所以抛物线的解析式为y =﹣12（x ﹣12）2+3． 【方法规律】待定系数法求函数解析式．【易错点分析】颠倒横纵坐标．【关键词】待定系数法【推荐指数】★☆☆☆☆【题型】常规题6. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是A ．第3秒B ．第3.5秒C ．第4.2秒D ．第6.5秒【答案】C【思路分析】由题意知，当t＝4时小球的高度最高，当t＝3与t＝5时小球高度相等，当t＜4时，h随t的增大而增大；当t＞4时，h随t的增大而减小，∴四个选项中，当t＝4.2时，小球高度最高．【方法规律】本题考查二次函数图象的对称性，这类问题最好结合图象来解决．【易错点分析】学生不易想到利用对称性来判断点的位置．【关键词】二次函数【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题，新题，好题．7. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒【答案】C【思路分析】由题意可知：h（2）=h（6），即4a+2b=36a+6b，解得b=﹣8a，函数h=at2+bt 的对称轴t=﹣2ba=4，故在t=4s时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高．故选C．【方法规律】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【易错点分析】不能根据二次函数图象的对称性得到函数的性质【关键词】二次函数的应用【推荐指数】★★★☆☆【题型】好题，难题．8.9.8. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省h/mt/sO 2 6（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【解】（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，……………1分设抛物线的函数解析式为y＝ax2，………………2分由题意知点A的坐标为（4，8），且点A在抛物线上．………………3分所以8=a×42，解得a=12，故所求抛物线的函数解析式为212y x=．………………4分（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，………………5分则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．………………6分（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为（2，2）．………………7分又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（－4，8）．………………8分设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9分则有2248k bk b+=⎧⎨-+=⎩………………10分解得k=－1，b=4．故直线BD的函数解析式为 y=－x+4．………………11分把x=0代入y=－x+4，得点P的坐标为（0，4）．两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．………………12分【思路分析】(1)以点O为原点，OC为y轴的正半轴建立坐标系，则可以设二次函数的解析式为y＝ax2，同时易确定A点的坐标为(4，8)，代入即可求出二次函数的解析式．(2)由用料最省，可确定点A关于y轴的对称点D，连结对称点D和点B，连线与y轴的交点就是点P的位置．(3)用待定系数法求出直线BD的解析式，把x＝0代入求得的解析式，求出点P的坐标，即求出O、P之间的距离．【方法规律】建立适当的坐标系时，可以以顶点为原点，对称轴为y轴，则二次函数的解析式为最简单的y＝ax2的形式，求解析式较为方便．两个点在直线的同侧，在直线上求一个点到两个点的距离之和最小，确定动点的方法是轴对称．【易错点分析】确定点P位置时，不能联系轴对称知识是导致错误的最根本原因．【关键词】二次函数，一次函数，待定系数法，轴对称【推荐指数】★★★★★【题型】新题，好题，难题，压轴题16. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。
30.4.1用二次函数解决抛物线形问题
倍 速 课 时 学 练
如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平 距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮 球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m ，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运 动员出手时的高度是多少米？
30.4.1二次函数的应用
用二次函数解决抛物线形问题
如图是一个二次函数的图像，现在请你根据给
出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类
型. y
y
y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问 题转化为二次函数问题．
（1）卡车可以通过.
倍 提示：当x=±1时，
速
课 时
y =3.75,
学
练
3.75＋2>4.
隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的
长是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4
表示.
4
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车 是否可以通过？
（2）卡车可以通过.
提倍速 示：当x=±2时， y课时=3,
倍 速 课 时 学 练
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在 最 大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
y
倍
速
课
时
学
练
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为
专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)
专题五：利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）➢知识指引拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：➢知识要点：解决抛物线型问题的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.➢知识小结：（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.➢典型例题：类型一：与拱桥有关的水位升降问题【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入，得{b=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y=ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m－3），由抛物线经过点D和点B，可得{25a＝m，100a＝m−3，解得{a＝−125，m＝−1，∴抛物线的解析式为y=－125x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为10.2=5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．类型二：与拱桥有关的方案设计选择问题【例2】某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．（1）求该抛物线的解析式（2）计算所需不锈钢管的总长度．【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2＋c，代入得{c=0.5，a+c=0，解得{a=－0.5，c=0.5，故解析式为y=－0.5x2＋0.5；（2）如图：∵当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32，∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4=2×（0.48＋0.32）=1.6米∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．【变式】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数解析式；（2）求支柱EF的长度.（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m ），行车道最宽可以铺设多少米？【解析】（1）根据题意，设拱桥抛物线的函数解析式为：y=a x 2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m ，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，∴400200,10010 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,506.5a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴236505y x x =-+． （2）设点F 的坐标为（15，y ），∴236915155052y =-⨯+⨯=．∴EF=8m －92m=72m=3.5m ． （3）当y=3＋0.3=3.3（m ）时，有2363.3505x x -+=， 化简，得220550x x -+=，解得x 1=10+3√5, x 2=10-3√5， ∴x 1− x 2=6√5≈13.4．答：行车道最宽可以铺设13.4米．➢ 跟踪训练：1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=－－14x 2，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为（ ）A ．－6mB ．12mC ．16mD ．24m【解析】依题意，设A 点坐标为（－8，y ）， 代入抛物线方程得：y=－14×64=－16，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=－16x 2＋bx ＋c 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是（ ）A ．2mB ．4mC ．4√2 mD ．4√3m【解析】根据题意，得OA=12，OC=4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即－b 2a =b13=6．∴b=2．∵C （0，4），∴c=4．∴抛物线解析式为y=－16x 2＋2x ＋4=－16（x －6）2＋10． 当y=8时，8=－16（x －6）2＋10．解得x 1=6＋2√3，x 2=6－2√3． 则x 1－x 2=4√3．所以两排灯的水平距离最小是4√3． 故选：D ．3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面上升1.5m ，水面宽度为 m ．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，由已知可得，点（2，－2）在此抛物线上，则－2=a×22，解得a=－12，∴y=－12x 2，当y=－0.5时，－12x 2=－0.5，解得x=±1，此时水面的宽度为2m ， 故填：2．4.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【解析】以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（－2，－4.4），B（2，－4.4），设这个函数解析式为y=kx2．将A的坐标代入，得y=－1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是－1.2和1.2，∴当x=1.2时y=－1.584，∴GH=CH－CG=4.4－1.584=2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．5.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m．（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？【解析】（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x－h）2＋k，∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=－0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=－0.04（x－10）2＋4；（2）由题意得可设E （1，y ），把E 点坐标代入抛物线的解析式为y=－0.04（x －10）2＋4， 解得：y=－0.76， ∴DF=0.76m ．6.某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点． （1）B 点的坐标为 ； （2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解析】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，－5），故答案为（4，－5）；（2）设抛物线的解析式为y=ax 2，将点B 的坐标代入上式得－5=a×42，解得a=－516，∴该抛物线的解析式为y=－516x 2；（3）将x=2代入上式，得y=－516x 2=－54，∵54＋34=2，而1.8＜2， 当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．7.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解析】（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，－1.5），可设拱桥侧面所在二次函数解析式为：y 1═a 1x 2．将F （6，－1.5）代入y 1═a 1x 2有：－1.5═36a 1，求得a 1═−124， ∴y 1═−124x 2，当x═12时，y 1═−124×122═－6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y 2═a 2（x －6）2＋1，将H （0，4）代入其解析式有：4═a 2（0－6）2＋1，求得a 2═112，∴右边钢缆所在抛物线解析式为：y 2═112（x －6）2＋1，左边钢缆所在抛物线解析式为：y 3═112（x ＋6）2＋1②设彩带的长度为Lm ，则L═y 2－y 1═112（x －6）2＋1－（−124x 2）═18x 2−x ＋4═18(x −4)2＋2，∴当x═4时，L 最小值═2， 答：彩带长度的最小值是2m ．。
二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴水面宽度将增加 2 6 4米.
8．如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，OM 为 12 米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道 C，D 处装两个路灯，且路灯的高度为 4 米，求 C， D 之间的距离．
解：（1）由题意，得 M 12,0，P6,6
设抛物线的解析式为 y a x 62 6
设抛物线的解析式为 y a x 2 x 2
∵过点C(0,2)
∴2=a0 20 2
，a 1
2Байду номын сангаас
∴抛物线的解析式为y 1 x 2 x 2 ,即 y 1 x2 2
2
2
（2）由题意，得 1= 1 x2 2
2
解得 x1 6，x2 6
(1)求这条抛物线的函数关系式； (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池 外？
（1）顶点 A1, 4
设抛物线的函数关系式为 y a x 12 4
∵过(0,3) ∴ 3=a 0 12 4 ∴ a 1
∴抛物线的函数关系式为 y x 12 4
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第二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线 y＝x2－8x 与 x 轴的交点坐标． 解：令 y 0 ，得 0=x2 8x 解得 x1 0，x2 8
∴该抛物线与x轴的交点坐标为0，0，8，0
2．抛物线的顶点为(6,3)且过点(0,0)，求它的解析式．
(2)当 x＝9 y＝－112(9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门
5．(例 2)如图，铅球在 A 点被推出，出手时球离地面 1 米， 铅球飞行轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为 4 米时达到最高 点 B，最高点离地面 3 米．
《用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题》PPT课件
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20 m；②足球飞行路 线的对称轴是直线 t＝92； ③足球被踢出 9 s 时落地； ④足球被踢出 1.5 s 时，距离地面的高度是 11 m. 其中正确结论的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照 图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y＝ax2＋bx(a≠0) 表示．已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为34 m，到墙 边 OA 的距离分别为12 m，32 m.
A．此抛物线对应的解析式是 y＝－15x2＋3.5 B．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D．篮球出手时离地面的高度是 2 m 【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， ∴可设抛物线对应的函数解析式为 y＝ax2＋3.5. ∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，
∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是 2.25 m．故本选项错误．
7．(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢 出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球 距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单 位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
*4.(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y＝60t－32t2.在飞机着陆滑行中，最 后 4 s 滑行的距离是___2_4____m.
【点拨】当 y 取得最大值时，飞机停下来．因为 y＝60t－32t2＝－32(t －20)2＋600，所以 t＝20 时，飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来．
沪科九年级数学上册第21章4 第3课时 用二次函数解决抛物线形运动问题
在平面直角坐标系中，描出各组数据对应 4
3
的点，如图.
2
1
O
x/km·h1
10 20 30 40 50 60 70 80
典型例题
制动时车速/km·h1 0
制动距离/m
0
10 20 30 40 50 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
观察图中描出的这些点的整体分布， y/m
9
9
解得 a 1 .
9
3.在篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
20 9
米，与篮圈
中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，
设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？
所以抛物线的解析式为 y 1 (x 4)2 4. 9
当x=8时，则 1 (8 4)2 4 20 3.
它们基本上都是在一条抛物线附近，因此， 8
7
y与x之间的关系可以近似地以二次函数来 6
模拟，即设y=ax²+bx+c.
5 4
在已知数据中任选三组，如取(0，0)，
3 2
(10，0.3)， (20，1.0)，分别代入所设函数 1
x/km·h1
的表达式，得
O 10 20 30 40 50 60 70 80
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初
始速度为10 m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少？
分析
h 10t 1× 10t2 (t≥0)
2
h为关于t的二次函数
排球上升的最大高度 t≥0时h的最大值
上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式：
h
v0t
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章 二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
二次函数在几何问题中的应用解析
二次函数在几何问题中的应用解析二次函数是一种常见的数学函数形式，它在几何问题中扮演了重要的角色。
本文将探讨二次函数在几何问题中的应用，并对其解析进行分析。
1. 抛物线的性质抛物线是二次函数的图像，其标准形式为y = ax² + bx + c。
在几何中，抛物线具有以下性质：- 对称轴：抛物线的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求抛物线的顶点坐标得到。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，可以通过求导数等方法求得。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项的系数决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程求得。
2. 抛物线在几何中的应用抛物线在几何问题中的应用广泛，以下是其中几个典型的应用示例。
2.1 求解最值问题抛物线的顶点即为其最值点，可通过二次函数的最值性质求解几何问题。
例如，在确定水平距离为d的情况下，求抛物线y = ax² + bx + c的最大值或最小值。
我们可以通过求导数找到使得导数为0的x坐标，再代入函数得到对应的y坐标。
2.2 确定几何形状抛物线的开口方向可以用来确定几何形状。
若抛物线开口向上，则形状类似一个U；若开口向下，则形状类似一个倒置的U。
这在建模物体的运动轨迹、桥梁设计等问题中有广泛的应用。
2.3 优化问题二次函数可以被用于解决优化问题。
例如，当我们需要绘制一个围起来面积最大的矩形时，可以通过分析矩形的边长与面积的关系，建立二次函数模型，并通过求解最值问题得到最大面积。
3. 示例分析假设有一块长为L的铁板，要制作一个没有顶盖的长方体盒子，使得盒子的体积最大。
设长方体的底边宽度为x，高度为h，由此可以得到体积函数V(x) = x( L - 2x )h。
我们可以通过建立函数模型并求解最值问题来解决这个几何问题。
对于函数V(x)，我们首先计算其导数V'(x)，然后令导数为0，解得x = L/4。
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题 -2020年中考数学专项突破课之二次函数
中考专项突破课 二次函数第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题一、典例分析例1：羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度是多少？【解析】22 1.5h t t =-++Q ， 1t ∴=时，12 1.5 2.5h m =-++=.例2：如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系是21251233y x x =-++，则此运动员把铅球推出多远？【解析】令212501233y x x =-++= 则：28200x x --= (2)(10)0x x ∴+-= 12x ∴=-（舍)，210x =由题意可知当10x =时，符合题意.例3：一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手球出手时，他跳离地面的高度是？【解析】Q 当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5)， ∴设抛物线的表达式为2 3.5y ax =+．由图知图象过以下点：(1.5,3.05)． 2.25 3.5 3.05a ∴+=，解得：0.2a =-，∴抛物线的表达式为20.2 3.5y x =-+．设球出手时，他跳离地面的高度为hm ， 因为20.2 3.5y x =-+，则球出手时，球的高度为 1.90.25( 2.15)h h m ++=+，22.150.2( 2.5) 3.5h ∴+=-⨯-+， 0.1()h m ∴=．二、知识点小结：适当建立平面直角坐标系求解与二次函数相关的抛物线型问题的步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出表达式； (5)利用表达式求解问题． 三、知识点检测1．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为( ) A ．35mB ．3mC ．10mD ．12m【解析】令函数式21251233y x x =-++中，0y =， 即212501233x x -++=， 解得110x =，22x =-（舍去）， 即铅球推出的距离是10m ． 故选：C ．2．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数表达式为：21(25)1250y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．14【解析】21(25)1250y x =--+Q ， 顶点坐标为(25,12)， 1050-<Q ， ∴当25x =时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．3．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线20.2 3.5y x =-+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l 是( )A ．3mB ．3.5mC ．4mD ．4.5m【解析】如图，把C 点纵坐标 3.05y =代入20.2 3.5y x =+中得： 1.5x =±（舍去负值），即 1.5OB =，所以 2.5 1.54l AB ==+=． 故选：C ．4．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为( )A ．2316h t =-B ．2316h t t =-+ C ．2118h t t =-++D ．21213h t t =-++【解析】根据题意，设二次函数的表达式为2(4)3h a t =-+， 抛物线过(0,1)即代入，解得18a =-．这个二次函数的表达式为：21(4)38h t =--+2118t t =-++．故选：C ．5．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4,3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为 21(4)332y x =--+ ．【解析】根据题意，得设抛物线对应的函数式为2(4)3y a x =-+ 把点5(0,)2代入得：51632a +=，解得132a =-， ∴抛物线对应的函数式为21(4)332y x =--+. 6．铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，铅球推出后最大高度是 3 m ，铅球落地时的水平距离是 m ． 【解析】21251233y x x =-++Q ，21(4)312y x ∴=--+ 因为1012-< 所以当4x =时，y 有最大值为3． 所以铅球推出后最大高度是3m ． 令0y =，即210(4)312x =--+， 解得110x =，22x =-（舍去） 所以铅球落地时的水平距离是10m ． 故答案为3、10．7．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度()h m 与时间()t s的关系式为212h v t gt =-，一般情况下，29.8/g m s =．如果09.8/v m s =，那么经过 1 s 竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m ． 【解析】由题意，得当 4.9h =时， 214.99.89.82t t =-⨯，解得：121t t ==．故答案为：1．8．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y （米)关于水平距离x （米)的函数解析式2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米．【解析】Q 函数解析式为：2113822y x x =-++，223114()428221448ac b y a ⎛⎫⨯⨯-- ⎪-⎝⎭∴===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最值．故答案为：2．9．一斜坡上有一高尔夫球场．斜坡的坡度为1:10i =．一球从斜坡底部O 点被击起，飞行轨道是一条抛物线，轨迹最高点H 离开O 点的水平面高度是8米，离O 点的水平距离是4米．则该球落地点A 与O 点的距离为3910150（结果保留根号）【解析】Q 抛物线顶点坐标为(4,8)，∴设抛物线解析式为2(4)8y a x =-+，把(0,0)代入得：1680a +=，解得：12a =-，∴抛物线解析式为2211(4)8422y x x x =--+=-+，Q 斜坡的坡度为1:10i =，∴设A 的坐标为(10,)b b ，代入抛物线得：21100402b b b -⨯+=，解得：3950b =或0b =（舍去）， 由勾股定理得：2239101(10)101OA b b b =+==； 故答案为：39101． 10．如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：437)≈ （1）求足球的飞行高度()y m 与飞行水平距离()x m 之间的函数关系式；（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）（3）若对方一名1.7m 的队员在距落点3C m 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？【解析】（1）当4h =时，2(6)4y a x =-+， 又(0,1)A ，21(06)4a ∴=-+， 112a ∴=-，21(6)412y x ∴=--+； （2）令0y =，则210(6)412x =--+， 解得：143613x =≈，2360x =-<（舍去）∴球飞行的最远水平距离是13米；（3）当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球．11．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度()y m 与它的飞行时间()x s 满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示： ()x s0 0.5 1 1.5 2⋯()y m0 8.75 15 18.75 20⋯（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由． 【解析】（Ⅰ）0t =Q 时，0h =，∴设h 与t 之间的函数关系式为2(0)h at bt a =+≠，1t =Q 时，15h =；2t =时，20h =， ∴154220a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得520a b =-⎧⎨=⎩，h ∴与t 之间的函数关系式为2520h t t =-+；（Ⅱ）225205(2)20h t t t =-+=--+，∴小球飞行的最大高度为20m ，2220>Q ，∴小球的飞行高度不能达到22m ．12．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x 轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 【解析】（1）依题意得抛物线顶点为(4,4)， 则设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+ 依题意得抛物线经过点(0,2)2(04)42a ∴-+= 解得18a =-∴抛物线的解析式为21(4)48y x =--+（2）当7x =时，2123(74)4 3.1988y =--+=≠ ∴这个球员不能投中．13．在一次高尔夫球的练习中，小成在O 处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的顶点坐标． （2）请求出球洞离击球点的距离．（3）若小成再一次从O 处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【解析】（1）2218116(4)5555y x x x =-+=--+∴抛物线21855y x x =-+的顶点为16(4,)5；（2）令0y =，得：218055x x -+=解得：10x =，28x =，∴球飞行的最大水平距离是8m ， ∴球洞离击球点的距离为8210m +=；（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为直线5x =，顶点为16(5,)5 设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+又Q 点(0,0)在此抛物线上，162505a ∴+=，16125a =-， 21616(5)1255y x ∴=--+，即其解析式为2163212525y x x =-+．。
二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析
练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。
二次函数的应用抛物线的实际应用
二次函数的应用抛物线的实际应用二次函数的应用：抛物线的实际应用引言：二次函数是数学中重要的一种函数形式，它的图像为一个抛物线。
抛物线在现实生活中有着广泛的应用，无论是物理学、经济学还是工程学，都离不开对二次函数的应用。
本文将重点介绍抛物线的实际应用，并探讨二次函数在这些应用中的角色。
一、抛物线在物理学中的应用1. 自由落体运动自由落体运动是我们熟知的物理现象，物体在重力作用下自由下落。
这一过程可以用二次函数来描述。
假设物体从高度 h0 自由下落，高度随时间的变化可以用二次函数 h(t) = -gt^2 + h0 来表示，其中 g 是重力加速度，t 是时间。
抛物线的开口向下，表达了物体的下降趋势，通过解析二次函数，我们可以计算物体的下落时间、最大高度等重要物理量。
2. 抛物线弹道在射击或投掷物体时，抛物线弹道也是常见的现象。
例如，运动员射击目标、棒球手投掷棒球等。
这些抛物线弹道可以利用二次函数进行建模。
通过观察抛物线的顶点和开口方向，我们可以分析射击或投掷的角度、速度等因素，帮助运动员准确命中目标。
二、抛物线在经济学中的应用1. 成本与收益在经济学中，成本与收益是决策的重要因素。
当生产或经营某种产品时，成本和收益之间往往存在着二次函数关系。
成本一般随着产量的增加而呈抛物线增长，而收益则随着产量的增加而呈抛物线增长，二者的交点即为盈亏平衡点。
通过分析二次函数的图像，我们可以找到最大化收益、最小化成本的最优产量或定价策略。
2. 市场供需市场供需关系也可以用二次函数进行建模。
供需的交点是市场均衡点，也就是商品的实际价格。
市场需求一般随着价格的下降而增加，而市场供应一般随着价格的上升而增加，二者的交点即为市场均衡。
通过分析二次函数的图像，我们可以预测市场的价格波动和供需的变化趋势。
三、抛物线在工程学中的应用1. 科学研究在科学研究中，抛物线的应用非常广泛。
例如，在天体力学中，通过二次函数可以描述天体的轨迹；在工程力学中，通过二次函数可以建立材料的变形模型，以便研究材料的受力行为。
二次函数的应用 (抛物线型)
抛物线的解析式为y=
-
1
1 6
（x-4）2+3
OC 4 4 3
y
10.928 10.9
2A
C精选Oppt源自7x例2.在体育测试时，初三的一名高个子男生推 铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数 的图象的一部分（如图），如果这个男生的出 手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处 B的坐标为（6，5）。
（1）求这个二次函数的解析式。
y
B(6,5)
2A C
O
x
实际问题
数学问题
实际问题------求铅球所精经选ppt过的路线。
8
数学问题:
已知：抛物线的顶点坐标（6，5），并 经过A（0，2）.
求：抛物线的解析式.
y
2A
O
精选ppt
B(6,5)
C x
9
解:（1）∵抛物线的顶点为（6，5）
∴可设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5.
∵抛物线经过点A（0，2）
∴2=a（0-6） 2 +5
∴a=- 1
12
故抛物线的解析式为y= - 1 12（x-6）2+5
即 y= - 1 12x2+x+2 y
B(6,5)
2A
精O选ppt
C x
10
例2. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推 铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数 的图象的一部分（如图），如果这个男生的出 手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处B 的坐标为（6，5）.
（2）该男生把铅球推出去多远？（精确到0.01
米) 15 3.87
y
（2）当y=0时，
B(6,5)
高中数学中的二次函数与实际问题解析
高中数学中的二次函数与实际问题解析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度，探讨二次函数在实际问题中的解析。
一、抛物线与抛射问题抛物线是二次函数的图像，它在物理学中有着重要的应用。
例如，当我们研究一个物体的抛射问题时，可以利用二次函数来描述物体的运动轨迹。
假设一个物体以初速度v0从地面上抛出，忽略空气阻力的影响，那么物体的运动轨迹可以用二次函数y = ax^2 + bx + c来表示。
其中，a是抛物线的开口方向和形状的参数，b是抛物线在x轴上的平移量，c是抛物线在y轴上的平移量。
通过解析这个二次函数，我们可以得到物体的最高点、最远点以及落地点等关键信息。
这些信息对于物体的抛射问题非常重要，可以帮助我们预测物体的轨迹和落地点。
二、二次函数与经济学二次函数在经济学中也有着广泛的应用。
例如，当我们研究一个企业的成本和利润问题时，可以利用二次函数来描述成本和利润之间的关系。
假设一个企业的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x表示生产的数量，C(x)表示成本的金额。
通过解析这个二次函数，我们可以得到企业的最低成本点、最大利润点以及产量与成本之间的关系等重要信息。
这些信息对于企业的经营决策非常重要，可以帮助企业实现最大化的利润。
三、二次函数与建筑设计在建筑设计中，二次函数也有着重要的应用。
例如，当我们设计一个拱门或者一个桥梁时，可以利用二次函数来描述其形状和结构。
拱门和桥梁的形状往往是由二次函数来决定的，通过解析这个二次函数，我们可以得到拱门或者桥梁的最高点、最宽点以及强度等关键信息。
这些信息对于建筑设计师非常重要，可以帮助他们确定结构的稳定性和美观性。
四、二次函数与自然科学二次函数在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，当我们研究一个物理过程或者化学反应时，可以利用二次函数来描述其变化规律。
通过解析这个二次函数，我们可以得到物理过程或者化学反应的最高点、最低点以及变化趋势等关键信息。
22.3.3二次函数的应用(3)(实物抛物线)详解
y 1
面下降1m，水面宽度增加多少？当 y 1 时， x 6 2
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
探究3： y
(0,2)
●
(-2,0)
●
0
(2,0)
●
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y ax2 2
由抛物线经过点（2，0），可得
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
●
0
(2,0)
●
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)(x 2)
由抛物线经过点（0，2），可得
a1 2
所以，这条抛物线的二次函数为：
x
y 1 (x 2（) x 2)
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
y1
拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 当 y 1 时，x 6
将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下
垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，
其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。
解 此：抛建物立线如解图析所式示为的y坐标a系x，2 设bx（0c，2.A2） y
（1.6，2.2）
1.6
B
（0.4，0.7） 2.2
F
0.7
E
0C
0.4
x
y 1 x2 2
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
y1
拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 当 y 1 时，x 6
面下降1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的宽
度为 2 6m.
九下数学课件 利用二次函数解决抛物线形问题(课件)
数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物
线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)．
知识点一 抛物线形建筑物问题
【例1】如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4
m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.
1
由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－ .
2
1 2
这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x .
2
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3.请你根据上面的
函数解析式求出这时的水面宽度．
1 2
当y=-3时,- x =-3,解得x1= 6,x2=- 6(舍去).
2
所以当水面下降1 m时，水面宽度为 2 6 m.
1
当x=9时, y=(x-6)2+2.6=2.45>2.43,
60
所以球能过球网;
当y=0时, - 1 (x-6)2+2.6=0,
60
解得: x1=6+2 39>18, x2=6-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39(舍去),故会出界.
知识点二 运动轨迹问题
(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围 是多少?
(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2), 代入解析式得
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
知识点二 运动轨迹问题
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a、b，要使两孔
射出水的射程相同，求a、b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b·(20－b)，
用二次函数解决“抛物线”形问题教学课件
2 熔化
5 (1)0 (2)4 8 非晶体；升高
3 凝固；放出 6 见习题
9C
习题链接
11 见习题 12 见习题 13 C
14 C 15 见习题
答案呈现
基础巩固练
6.下图是某物质熔化时温度随时间变 化的图像。请按图回答下列问题：
(1)该物质熔点是________℃。 (2)熔化过程持续的时间大约是_____min。 (3)在第20 min时，该物质处于__________
基础巩固练
3．小刚舔从冰箱冷冻室里拿出的冰糕，舌头往往会被冻 在冰糕上。这是因为舌头上的水发生了__凝__固____(填 物态变化名称)，这一过程要__放__出____热量。
基础巩固练
9．下表列出了几种晶体的熔点，下列说法错误的是( ) A.在－268 ℃时，氢是固态 B．灯泡的灯丝用钨制成，不容易熔化 C．纯金掉入钢水中不会熔化 D．水银温度计在－40 ℃时不能使用
向活动范围是 3 m. 【答案】 3
5．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 ACB，其横截面如图所 示，在图中建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为 y＝－210 x2＋c，其顶点为 C(0，5)．(长度单位：m)
(1)直接写出c的值；
解：(1)c＝5.
(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度 为1.5 m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需 要多少元．
基础巩固练
【点拨】钛合金粉末在高温下由固态变成液态，是熔 化现象，需要吸热；然后按构件形状重新凝固成型， 需要放热。 【答案】熔化；凝固
能力提升练
【点拨】由图知B在凝固过程中温度保持不变，所以 B是晶体。B从第4分钟开始凝固，到第8分钟凝固完， 所以凝固过程所用时间为8 min－4 min＝4 min。晶 体在凝固过程中处于固液共存状态，在凝固过程不断 放热，但温度不变。从图中可以看出，B在凝固过程 中保持50 ℃不变，所以其凝固点为50 ℃。 【答案】B；4；固液共存状态；放热；不变；50 ℃
二次函数应用(运动中的抛物线问题)
(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果
她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣
球最佳？（精确到0.1s） 解：当h=2.5 m时，得
h
v0t
1 2
gt 2
10t 5t2 2.5
解得 t1 0.3s, t2 1.7s
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度， 但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻， 选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为y 1 x2 1 x 3 ，
8 22
那么铅球运动过程能达到的最大高度是 2 米.铅球成绩
是__6___米
y
O
x
课堂小结
运动中的抛 物线问题
转化
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
y=－0.2x2+3.5.
y
当 x=－2.5时，y=2.25 .
答：该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度
解：如图，建立如图所示的坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.则点C表示运动员投篮球 的出手处.
根据题意可设抛物线的解析式为 y=ax2+3.5.点A（1.5,3.05）
在抛物线上，代入有
2.25a+3.5=3.05，
九年级 下册 数学 PPT课件 第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物 线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
0 a22 2
a 0.5 ∴这条抛物线所表示的二次函数为:
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：
(5+x)(200－10x)=1 500，
解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10 所以 x=5.
答：每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 (2 6 4)m
一般步骤:
(1)建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的 坐标,
(2)合理地设出所求的函数的表达式,并代入已知条 件或点的坐标,求出关系式,
(3)利用关系式求解实际问题.
当x=
时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
探究3
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离 水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 增加了多少？
解一 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平
面直角坐标系，如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
9
所以可求出抛物线的解析式为
y 1 (x 4)2 4
x
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利用二次函数解决抛物线问题
第周星期班别：姓名：学号：
环节一：知识回顾
已知二次函数y=x2+2x-3
（１）求它与Y轴的交点
（２）求它与X轴的交点
（３）求它的顶点，说出它的最值
（４）当x=－１时，求y 的值
（５）当y=5时，求x的值
环节二：例题学习
例１：有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。
①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
环节三：课堂练习
１、如图，有一个抛物线的拱形立交桥，•这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②若要在离跨度中心点M 5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？
２、如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标
原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．
３、圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.
４、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？
环节四、作业
１、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )
A．4米 B．3米 C．2
米 D．1米
２、如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16m，•跨度为•40m，• 现把它的示意图放在平面直角坐标系中••，••则此抛物线的函数关系式为__________．
３、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外．
４、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．
５、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉．已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主
拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线为x轴，的中点为原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式．
②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的渔船，试探索此船能否开到桥下?说明理由
６、某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的
喷水管所喷出水柱的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米。
若水柱是抛物线形，在如图所示的坐标系中。
求：（1）这支喷泉的函数关系式；(2) 这支喷泉最多能喷多远？
７、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图像的一部分(如图1)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为B(6，5)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远(精确到0.01米)？
如图26-3-2所示，一位运动员
２、在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？
王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线
，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴。
（2）请求出球飞行的最大水平距离。