流体力学连续性方程微分形式
流体力学三大方程的推导
微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。
设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。
先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。
在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。
理解流体力学中的连续性方程
理解流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体静力学和流体动力学的学科，涵盖了许多重要的基本方程。
其中，连续性方程是流体力学中的基础之一，用于描述流体在宏观尺度上的连续性。
理解连续性方程对于研究流体运动和分析流体现象具有重要意义。
本文将介绍连续性方程的定义、推导与应用，并探讨其中的物理意义。
一、连续性方程的定义与推导连续性方程描述了流体运动时，质量守恒的性质。
在宏观尺度上，流体的质量保持不变，由此可以得到连续性方程的数学表达式。
假设流体流动方向为坐标轴方向，流体通过某一截面的流量为Q，流动截面面积为A，则单位时间内通过截面的质量为Δm。
根据质量守恒原理，Δm应保持不变。
考虑时间间隔Δt内，流体运动导致流量Q发生变化。
根据定义，Δt时刻通过截面的质量为Δm1，Δt+Δt时刻通过截面的质量为Δm2。
根据质量守恒原理，Δm1+Δm2应等于Δm。
Δm1+Δm2 = ρ1QΔt + ρ2QΔt (1)其中，ρ1和ρ2分别为Δt时刻和Δt+Δt时刻的流体密度。
将流体密度表示为单位体积的质量，即ρ = m/V。
在Δt时间间隔内，流体的体积可以表示为：Δt时刻的体积为V1 = QΔt (2)Δt+Δt时刻的体积为V2 = QΔt + AΔx (3)其中，Δx为流体运动方向上的位移。
将公式（2）和（3）代入公式（1），得到：ρ1QΔt + ρ2QΔt = ρ1V1 + ρ2V2 (4)根据密度的定义，可以将公式（4）进一步推导为：ρ1Q + ρ2Q = ρ1Q + ρ2(Q + AΔx) (5)化简后可简化为：d(ρQ)/dt + A(ρv) = 0 (6)其中，v为流体的流速。
以上就是连续性方程的定义与推导过程。
连续性方程的表达形式可以用偏微分方程来表示，常被称为连续性方程的微分形式。
二、连续性方程的物理意义连续性方程描述了流体在运动过程中的连续性。
通过分析连续性方程，我们可以进一步理解其中的物理意义。
在连续性方程中，d(ρQ)/dt表示单位时间内流体质量的变化率，A(ρv)表示单位时间内流体通过截面边界的质量变化率。
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
流体力学全部总结
（二）图解法
适用范围：规则受压平面上的静水总压力及其作用点的求解 原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用 线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便 是总压力的作用点（压心D）。
液体作用在曲面上的总压力
一、曲面上的总压力 • 水平分力Px
Px dPx hdAz hc Az pc AZ
z1
p1 g
u12 2g
z2
p2 g
u2 2 2g
上式被称为理想流体元流伯诺里方程 ，该式由瑞士物理学家 D.Bernoulli于1738年首先推出，称伯诺里方程 。
应用条件：恒定流 不可压缩流体 质量力仅重力 微小流束（元流）
三、理想流体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义
几何意义
p x p y p z pn
X
流体平衡微分方程 （欧拉平衡方程）
1 p x 1 p y 1 p z
Y Z
0 0 0
物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量
力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（ p , p , p ）等于该轴向单位体积上的 x y z 质量力的分量（X, Y, Z）。
u x x
u y y
u z z
0
适用范围：理想流体恒定流的不可压缩流体流动。
二、恒定总流连续性方程
取一段总流，过流断面面积为A1和A2；总流中 任取元流，过流断面面积分别为dA1和dA2，流速为 恒定流时流管形状与位置不随时间改变； u1和u2
考虑到： 不可能有流体经流管侧面流进或流出； 流体是连续介质，元流内部不存在空隙；
第三节 连续性方程
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
流体力学连续性方程的证明
两边同时除以dxdydzdt后得到
( u ) ( ) ( w) 0 t x y z
u v w d 0 dt x y z
0 对于不可压缩流体， dt d
于是，上式变为：
u v w 0 x y z
如图沿流道任取两个过流断面1为流入断面2为流出断面根据质量守恒定理则断面1上流入的流体质量应等于断面2上流出的流体质量即是
连续性方程的证明
如图所示，在流场中任取一点M，其在直角 坐标系中的位置为（x,y,z)，以M点为中心取 一微元六面体，六面体的边长dx,dy,dz分别 平行于坐标轴。 在x轴方向，dt时间内，通过表面EFGH 流入的质量是：
同理，在y方向和z方向上，时间内通过表面净流入的质量分别 为：
( ) dxdydzdt y
( w) dxdydzdt z
则在dt内通过该微元六面体的净流入的质 量为：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt
该六面微元体原来的总质量为
dxdydz
dt dxdydz t
经过时间dt后，平均密度变为
dt时间内，六面体因密度变 化引起的总质量变化为
dxdydzdt t
根据质量守恒定理有：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt t dxdydzdt
dx dx dydzdt x 2 x 2
由表面ABCD流出的质量是
dx dx 来自 dydzdt x 2 x 2
.
在dt时间内沿X轴方向净流入的质量为：
流体力学基础连续性方程、流体运动方程与能量方程.PPT
14
根据动量定理
ρd d ud x d y d z (F b P x x P y y P z z)d x d y d z
约去 dxdydz ，得
du x d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z d
Fbz
Pzx x
同理
y(ρuyu)dzdxdyΔ
z(ρuzu)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
xuxuy uyu zuzudxdydz
ux
x(u)uy
yuuz
uuux uuy
z
x y
uuzzdxdydz
u•uu•udxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流体力学3-3连续性方程
dxdydz
M x
同理可得：
( ux ) x ( u y ) y ( uz ) z
dxdydz dxdydz dxdydz
M y M z
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总
和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量
M x M y M z [
t
( ux ) x
( u y ) y
( uz ) z
]dxdydz dxdydz
t
流体的连续性微分方程的一般形式：
( u x ) x
( u y ) y
( u z ) z
0
物理意义：作为水力学三大方程之一，体现了运动与空 间的关系 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体或不可压 缩流体。
第三节 连续性方程
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体如图，边长为dx,dy,dz，中心点O’流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' 以x轴方向为例： 左表面流速 右表面流速
ux
1 u x 2 x
1 u x 2 x
u x dx x 2
A' M A o
dz o’ uy D dx
uz ux
B'
ux
N C
u x dx x 2
uM Байду номын сангаас x
dx
uN ux
dx
y
dy B
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差：
( ux ) x
( ux ) 1 ( ux ) M x M 右 M 左 [ u x 1 dx ] dydz [ u x 2 x 2 x dx]dydz
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
流体力学Ⅱ重要公式及方程式
(1) 雷诺准数 Re u l
(4) 付鲁德准数 Fr u 2 gl
《流体力学与流体机械》(下)主要公式及方程式
(7) 阿基米德准数 Ar gl T u2 T
2．气体等压比热和等容比热计算式： Cp
3．完全气体比焓定义式： i
4．完全气体状态方程式： p RT
i2
T1
q
u
R k 1
k
) k1 (
2
2 2
p2 2
i0
k k 1 RT0
p1
p2
(T2
T1
)]
g z2
(3) 牛顿准数 Ne F u2l 2
(6) 斯特罗哈准数 St u l
(9) 韦伯准数 We u 2l
)
k k 1
u
2
2 2
e2
w
2
k k 1 RT2
2 2
CpT
u12 2
u12 2
p2
Cv
g l3t 2
(2 )k
p1 1
R ln[(T2
e1
CpT0
u22 2
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学-05 微分形式基本方程
控制面净的质量流率
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
控制体内的质量变化率为
质量守恒的微分表达式
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
质量守恒定律表示为
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
为常数的线在该点处斜率的负倒数
Ψ 为常数的线与 Φ 为常数的线是正交的。 为常数的线是正交的
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
5-6.3 6 3 无旋流动和粘度
速度势只在无旋流动中存在，流函数满足连 续性方程，流函数不限定在无旋流动中。 在什么条件下能够形成无旋流动？ 开始不旋转的质点在没有角变形时将不会 发展成旋转运动。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Surface Left ( x) (Right (+x) = = = = = = = =
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Bottom = ( y) (Top (+y) Back ( z) (Front (+z) = = =
每一个面的性能参数通过相对于O点的 泰勒级数展开
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Surface Inside = (-r) ( Right = (+r) Front = ( θ) (Back = (+θ ) Bottom = ( z) (Top = (+z)
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
输出项
外力项 不包括惯 性力 输入项
恒定总流的动量方程
6
未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；
反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7
动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一， 必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。 当流体有分流或汇流时 当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不 同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。
横向边界：
恒定总流的动量方程 4
选择坐标轴，做出受力图。在图上画上所有受力、流量、 流速、压力等矢量。
凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。
5
动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2V2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
恒定总流的动量方程
二、应用恒定总流动量方程的注意事项
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
《流体力学》Ⅱ主要公式及方程式
《流体力学与流体机械》(下)主要公式及方程式1．流体力学常用准数： (1) 雷诺准数 μρlu =Re (2) 欧拉准数 2Eu u p ρ= (3) 牛顿准数 22Ne l u F ρ=(4) 付鲁德准数 lg u 2Fr = (5) 马赫准数 a u=M (6) 斯特罗哈准数 l u τ=St(7) 阿基米德准数 TTu l g ∆=2Ar (8) 格拉晓夫准数23G r νβt l g ∆= (9) 韦伯准数 σρl u 2We =2．气体等压比热和等容比热计算式：1p -=k Rk C ； 1v -=k R C 3．完全气体比焓定义式：T C RT e pe i p =+=+=ρ4．完全气体状态方程式：T R p ρ= 状态方程微分式：TT p p d d d +=ρρ 5．完全气体等熵过程方程式：C p=kρ等熵过程方程微分式：ρρd d kp p = 气体压力p 、密度ρ和温度T 之间的等熵关系：1k k12k 1212)()(-==T Tp p ρρ6．气体熵增计算式：)]()ln[(ln ln 211k k121212p 12p pT T R p p R T T C s s -=-=-7．热力学第一定律的能量方程式：we u z g p q e u z g p ++++=++++22222212111122ρρ 可压缩理想流体绝热流动能量方程式： 022221122i u i u i =+=+ 以温度和流速表述： 0p 222p 211p 22T C u T C u T C =+=+ 以温度和流速表述：022221112121T R k k u T R k k u T R k k -=+-=+-以压力、密度和流速表述： 002222211112121ρρρp k k u p k k u p k k -=+-=+- 以音速和流速表述： 121212022222121-=+-=+-k a u k a u k a 8．完全气体的音速公式：T R k pk pa ===ρρd d9．理想流体一维稳定流动连续性方程式：C uA Q ==ρ 连续性方程微分式：0d d d =++AA u u ρρ10．欧拉运动方程的积分式：C u z g p=++⎰2d 2ρ 或简化为 C u p=+⎰2d 2ρ 欧拉运动方程的微分式：0d d d =++u u z g pρ或简化为0d d =+u u pρ11．理想流体稳定流动的动量方程式： ⎪⎭⎪⎬⎫-=∑-=∑-=∑)()()(z1z2z y 1y 2y x1x2x u u Q F u u Q F u u Q F ρρρ一维稳定流动动量方程微分式：0d d x=++AR u u pρδρ12．气体极限速度及临界速度计算式：120m ax -=k T kR u ； 120*+=k kRT u 13．流动参量与滞止参量间的关系：20211M k T T -+=； 1k k20)211(--+=M k p p 1k 120)211(--+=M k ρρ； 2120)211(M k a a -+= 14．无因次速度Λ与马赫数M 间的关系： 222)1()1(2ΛΛ--+=k k M15．流速的计算式： ])(1[12k1k 00---=p pRT k k u ； 或 ])(1[12k1k 000---=p pp k k u ρ无因次速度计算式：k1k 00max)(11--=-=p p T T u u16．质量流量的计算式： ])()[(12k1k 0k 2000+--=p pp p p k k AG ρ1)2(k 1k 200)211(-+--+=M k M p k A G ρ 最大质量流量计算式：00*1)2(k 1k max )12(ρp k A k G -++= 或 00*1)2(k 1k max )12(T P A k R k G -++= 17．喷管出口马赫数计算式： ]1)[(12k 1k e0e --=-p p k M 18．正激波在静止气体中传播速度计算式： 121212w ρρρρ⋅--=p p u 19．正激波后气流速度计算式： 211212)()(ρρρρ--=p p u20．正激波前后速度关系式： 2*21a u u =21．正激波前后马赫数间的关系式： )1(2)1(2212112121212122---+=---+=k M k M k k M k M k M 22．正激波前后气流参量比与波前M 1数的关系式：2121212112)1(2)1(21121M k M k M k M k -++=-++=ρρ11122112+--+=k k M k k p p]1)1(2)[112()11(2121212+---+-=M k M k k k k T T11)1(22112+-++=k k M k u u1k 1211k k21210102)1112(])1(2)1([--+--+-++=k k M k k M k M k p p23．范诺流极限管长计算式： ])1(2)1(ln 211[21212121max M k M k k k M k M D L -++++-=λ24．范诺流参量变化关系式：2*)1(21M k k T T -++=； 2122*])1(2)1([Mk M k u u -++= 2122*])1()1(2[Mk M k +-+=ρρ； 212*])1(21[1M k k M p p -++= 1)2(k 1k 2*00)1112(1-++-++=M k k k M p p 25．瑞利流参量变化关系式：2*11M k k p p ++=；222*)11(M k k M T T ++= )11(122*kM k M ++=ρρ； )11(22*M k k M u u ++= ]1)1(2[)11(2222*00+-+++=k M k Mk k M T T 1k k 22*00]1)1(2[11-+-+++=k M k M k k p p 26．瑞利流能量方程式： 22222211u i q u i +=++ 27．等温流能量方程式： 0201i q i =+ 或 222221u q u =+ 28．等温流压降计算式：)ln2(1212112221Dl u u p u p p λρ+=- 等温流压降近似计算式：211211211M k Dlp T R u D l p p λλ-=-= 29．等温流质量流量计算式：)(16222152p p TR l D G -=λπ 30．等温流极限管长计算式： )]ln(1[212121maxM k M k M k D L +-=λ 31．等温流参量变化关系式：M k u u =∆； Mk p p 1==∆∆ρρ； T R u =∆32．等温流可能的最小压力： 11min M p k p p ==∆ 33．紊流射流主要参量计算式：35．阿基米德准数：对圆截面射流a 0200Ar T T u R g ∆=，对平面射流a200Ar T T u B g ∆=。
第3章-流体力学连续性方程微分形式
欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
( px
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dt
dx
duy d;
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件 1、恒定流
当为恒定流时
t
0
(ux
x
)
(uy
y
)
(uz
z
)
0
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时 Const
u x x
u y y
u z z
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
dt
p'xx 'xz 'xy
x
第三节 流体动力学基本方程式
考虑条件：
13
1）
不可压缩流体的连续性微分方程：uxx
uy y
uz z
0
2）切应力与主应力的关系表达式
• 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-
Stokes，N-S)方程：
X
1
p x
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程 三、粘性流体的运动微分方程
流体运动的连续性方程
在流场中取微小直角六面体空间为控制体，正交
三个边dx，dy，dz分别平行于x，y，z轴，如图所示。
首先计算dt时间x方向流出和流入控制体的质量差，
即x方向净流出质量为：
M x
(ux
(ux )
x
dx)dydzdt
uxdydzdt
(ux ) dxdydzdt
同理，y、x z方向的净流出质量如下：
x
M
y
少的质量，即
(ux
x
)
(uy
y
)
(uz
z
)
dxdydzdt
(ux ) (uy ) (uz ) 0
t
dxdydzdt （4-17）
t x
y
z
流体运动的连续性方程
1.1 连续性微分方程
式（4-17）即为可压缩流体非恒定流的连续性微分方程，它表 达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意 义是：流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流进的质量 差与其内部质量变化的代数和为零，即流体质量守恒。
流体运动的连续性方程
1.1 连续性微分方程
对于均匀不可压缩流体，ρ为常数，则
ux uy uz 0 x y z
（4-18）
式（4-18）即为不可压缩流体的连续性微分方程。该式说明：
对于均匀不可压缩流体来说，单位时间流出与流进单位体积空间的
流体体积之差等于零，即流体体积守恒。
上述形式的连续性微分方程是1755年欧拉首先建立的，是质量
1A1 2 A2
1 A2 2 A1
（4-20）
该式表明，在不可压缩流体的恒定流动中，总流沿程通
过各过流断面的体积流量都相等，因而总流过任意两流断
流体力学中的连续性方程与守恒
流体力学中的连续性方程与守恒流体力学中的连续性方程与守恒流体力学是研究流体运动及其力学性质的学科，而连续性方程和守恒定律是流体力学中的两个基本理论。
连续性方程描述了流体在运动过程中质量守恒的原理，而守恒定律则描述了流体力学中不同物理量的守恒规律。
连续性方程是描述流体质量守恒的基本方程。
它表明，对于一个封闭的流体系统，在任何给定的时间和空间点上，质量的净流入和净流出量应该是相等的。
换句话说，流体在任何一个点上的流入质量等于流出质量。
这个原理可以通过考虑流体的密度和速度来解释。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
这个方程可以解释为：流体质量的变化率等于流体质量通过单位面积的流入和流出速度的散度之和。
守恒定律是流体力学中描述物理量守恒的基本定律。
根据这个定律，对于一个封闭的流体系统，在任何给定的时间和空间点上，某一物理量的净流入和净流出量应该是相等的。
常见的守恒定律包括质量守恒、动量守恒和能量守恒。
这些守恒定律可以用微分形式和积分形式表示。
对于质量守恒定律，可以根据连续性方程推导出质量守恒方程：∂(ρA)/∂t + ∇·(ρAv) = 0其中，A是流体系统中的任意闭合面积，其边界为∂A，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量。
这个方程表示了质量的变化率等于通过边界∂A的质量流入和质量流出之差。
对于动量守恒定律，可以根据牛顿第二定律推导出动量守恒方程。
对于一个封闭的流体系统，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是流体的压力，τ是流体的应力张量，g是重力加速度。
能量守恒定律是描述能量守恒的基本定律。
根据能量守恒定律，对于一个封闭的流体系统，在任何给定的时间和空间点上，能量的净流入和净流出量应该是相等的。
流体力学 第四章 微分方程
dt时间内整个六面体流出与流进的流体质量之差： （u ) （v) （w) x y z dxdydzdt
2、六面体内流体质量的变化
在开始时，流体密度为，dt时间后流体密度变为＋ dt。 t 由于在dt时间内从六面体多流出到外部一定的流体质量，所 以内部质量要减少，这样在dt时间内六面体内流体密度变化 引起的质量减少为： dxdydz ( dt )dxdydz dxdydzdt t t
根据动量守恒 F t ( V ) x ( uV ) y ( vV ) z ( wV ) dxdydz u v w V V V V V V V V u v w dxdydz t x y z x y z t u v w V V V V V dxdydz t u x v y w z dxdydz x y z t dV dxdydz dt
对X方向，有 du u u u u u v w dt t x y z u u v w u u v w (u v w )v w v w t x x x y z x x u u 2 v 2 w2 u w v u ( ) w( ) v( ) t x 2 z x x y u V2 ( ) 2 w y 2v z t x 2
1 p du u u u u u v w x dt t x y z 1 p dv v v v v Y u v w y dt t x y z 1 p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
dx dy dz （ 1) u v w （2) x y z 0 （3) u v w 0 （4) （5) dx dy dz
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0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
[
•
( u x ) x
( u y ) ( u z ) y ]dxdydz dxdydz z t
流体的连续性微分方程的一般形式：
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
1
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：
p xx p p zz ) 3 u
x u y y u z z
x
p yy p 2 p zz p 2
第三节 流体动力学基本方程式
z
2、实际流体的运动微分方程式 同样取一微元六面体作为控制体。
质量力 x向受力
'zy xy xz
dz
p'zzx
’z
11
左右向压力
前后面切力 上下向切力
pxx
dy
x方向（牛顿第二运动定律
pxx X dxdydz [ pxx dydz ( pxx dx)dydz ] x yx [ yx dxdz ( yx dy )dxdz ] y zx [ zx dydx ( zx dz )dydx] z du x dxdydz dt
第三节 流体动力学基本方程式
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
5
p x p y pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
第三节 流体动力学基本方程式
三、粘性流体的运动微分方程
1、粘性流体的特点
10
（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。 该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定： u y u x xy ( ) yx y x u y u z yz ( ) zy z y u x u z zx ( ) xz x z （2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不
9
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。 du x du y duz 若加速度 等于0，则上式就可转化为 , , dt dt dt
欧拉平衡微分方程
1 p 0 X x 1 p 0 Y y 1 p 0 Z z
第三节 流体动力学基本方程式
2.质量力 单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，∴质量力为Xdxdydz x方向（牛顿第二运动定律
8
F ma ）：
du x p dx p dx (p )dydz ( p )dydz Xdxdydz dxdydz x 2 x 2 dt
u x u x u x p du x u x 1 X ux uy uz x dt t x y z
•
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
du x u x u x u x p 1 X ux uy u z u x z x dt t x y du y u y u y u y u y p 1 Y ux uy uz y dt t x y z du z u z u z u z u z p 1 Z ux uy uz z dt t x y z
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx PM pM A ( p )dydz 2 x 右表面 P p A ( p dx p )dydz N N 2 x
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
2
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
缩流体。（不可压 缩流体
0 ） t
第三节 流体动力学基本方程式
3 （1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程 当为恒定流时
( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z