高等代数习题解答

教材部分习题解答
高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.1
1．证明两个数域之交是一个数域。

证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。

又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。

从而证得A B 是数域。

2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。

证明：000,110,
0,1i i A =+=+∈
,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈
()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈
设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以
2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b
++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。

习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤
⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ ()21231
34142(1)
3(1)5(1)12
3
2123212
3
2214103230323231210775077550
62010912010
912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥−−−→−−−→⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
----⎢
⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12
32
32422321032123
212
3
21
34032301310131013103230076010
912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥−−−→↔−−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
4343
103
41
03
41
0301
0300131013101300130113()()00760
0760
0700
010*******
0010
0010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
----⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
习题1.3
()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。

()21
31
41
32
324242
23412222314124512321245231
4077142382133821301414284196419
60771412320771400000000r r r r r r r r r r r r r r r r ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥↔−−−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦12212321
052011201120000000000000000r r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥−−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
所以，方程组有无穷多解，通解为
2. 解下列齐次线性方程组：
3.讨论a , b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？
1231232
1232,23,(5).
x x x x x x x x a x a ⎧++=⎪
++=⎨⎪++-=⎩ 习题2.1
3、证明多项式的乘法消去律:()()()(),()0()()f x g x f x h x f x g x h x =≠⇒=
证明：()()()()()()()()0()[()()]0f x g x f x h x f x g x f x h x f x g x h x =⇒-=⇒-=， 现在()0f x ≠，所以必有()()0g x h x -=，即()()g x h x =。

（注：这里运用了乘法性质：若()()0f x g x =，则()0()0f x g x ==或至少有一个成立。

）
习题2.2
1、求()g x 除()f x 所得的商和余式并用综合除法求 f (2), (1) ()()43241,31,f x x x g x x x =-+=-+
4
3224
32323
22
24131431344124
115
x
x x x x x x x x x x x
x
x
x x
x x x --+---+---+--+-+--+()()2(4)
115
f x
g x x x x ∴=---+
2、证明：2|()|()x f x x f x ⇔
证明：先证2|()|()x f x x f x ⇒, |()|()()x f x x f x f x ⇒⋅,即2|()x f x . 再证""|()x f x ⇐若，()()f x xq x r =+，r 是零次多项式，
222222()()2()[()2()]f x x q x rxq x r x xq x rq x r =++=++ ，r 2是零次多项式， 222()[()2()]r f x x xq x rq x =-+，而2|()x f x ，2|x r ，矛盾！故|()x f x 。

补充题 q p m ,,适合什么条件时，有
1）q px x mx x ++-+3
2
|1， 2）q px x mx x ++++2
4
2
|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2
=-+++m q x m p ，
所以当⎩⎨⎧=-=++0
012m q m p 时有q px x mx x ++-+3
2|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--0
10
)2(2
2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当
022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨
⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=2
12
m p q 时，皆有q px x mx x ++++2
42|1。

习题2.3
P28 1、求((),())f x g x ，并求(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+ (1) ()f x = x 4－ x 3＋x 2＋4x ＋1，()g x = x 2－x －1； (2) ()f x = x 5－5x 3＋5x ＋1，()g x = x 3－2x －1；
(1) 由((),())1f x g x =可得32()1,()32u x x v x x x x =--=+--。

2、假设()|(),()|()d x f x d x g x ，且有()u x ，()v x 使()d x ()()()()u x f x v x g x =+，证明：
()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。

证 由题设，()d x 是()f x 与()g x 的公因式。

另设()x ϕ是()f x 与()g x 的任一公因式，下证()|()x d x ϕ，然后由定义就能得到()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式的结论。

()d x ()()()()u x f x v x g x =+，从而由()|(),()|()x f x x g x ϕϕ可得()|()x d x ϕ，得证。

3、求证：((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，则((),()())1f x g x h x =．
证: (),()(),()f x g x u x v x ⇒∃()=1，使()()()()1u x f x v x g x += (1)
(),()(),()f x h x m x n x ⇒∃()=1，使()()()()1m x f x n x h x += (2)
得 ()()1()()u x f x v x g x =-，()()1()()m x f x n x h x =-，有
()()()()[1()()][1()()]
1()()()()()()()()
1[1()()][1()()]()()()()
u x f x m x f x v x g x n x h x v x g x n x h x n x v x g x h x u x f x m x f x n x v x g x h x ⋅=--=--+=----+
移项整理，得，[()()()()()]()()()()()1u x m x u x m x f x f x n x v x g x h x +-+=， 令 ()()()()()(),
()()()s x u x m x u x m x f x t x n x v x =+-=
于是有 ()()()[()()]1s x f x t x g x h x +=，从而有 ((),()())1f x g x h x =．
或证：将（1）（2）两式左右分别相乘，得下式即证得：
[()()()()()()()()()]()()()()()1u x m x f x u x n x h x m x v x g x f x n x v x g x h x +++=。

再证：由（1）两边乘h (x )，得 ()()()()()()()u x h x f x v x g x h x h x +=，
((),()())|(),((),()())|()()((),()())|()f x g x h x f x f x g x h x g x h x f x g x h x h x ⇒
((),()())f x g x h x 是(),()f x h x 的公因式，所以((),()())f x g x h x |((),())f x h x ，
现在，((),())1f x h x =，显然有((),()())1f x g x h x =。

补充题 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +=。

证 由题设知((),())1f x g x =，所以存在(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=， 从而()()()()()()()()1u x f x v x f x v x f x v x g x -++=， 即[()()]()()[()()]1u x v x f x v x f x g x -++=， 所以((),()())1f x f x g x +=。

同理((),()())1g x f x g x +=。

再由上题结论，即证得 (()(),()())1f x g x f x g x +=。

习题2. 4
1．求在有理数域和实域上的标准分解式。

解：在有理数域上，x 3
＋x 2－2x －2 = x 2（x +1）－2 (x +1) =（x 2－2）(x +1)
实域上的标准分解式是x 3
＋x 2－2x －2 =（x 2－2）(x +1) =(1)x x x -+
2．设p (x ) 具有性质：若()|()(),p x f x g x 则必有()|()p x f x 或()|(),p x g x 证明：p(x )是不可约的．
证 （反证法）设()p x 可约，则有12()()()p x p x p x =⋅，那么由假设可得1()|()p x p x 或
2()|()p x p x ，这是不可能的，因为1(())(())p x p x ∂<∂且2(())(())p x p x ∂<∂。

于是得证。

习题2. 5
1． 证明sin x 不能是一个多项式.
证：因为()x k k Z π=∈都是sin x = 0的根，有无穷多个，所以sin x 不能是一个多项式.
习题2. 7
1. 求下列多项式的有理根：1）2x 4－3x 3－10x 2＋17 x －3
1）的多项式的最高次项系数2的因数是1,2±±, 常数项－3的因数是1,3±±, 所以可能的
有理根是. 因为各项系数之和不为0所以1不是f (x )的根。

而奇次项系数之和不等于偶次项系数之和，所以－1不是f (x )的根。

由于f (1)=3，f (－1)=－25
333325,,,,1311313
111222--++++
都不是整数，所以13
3,,22
±±
-都不是f (x )的根。

但
325
6,
1033112
2
-=-=--+ 都是整数，所以有理数3/2在试验之列。

应用综合除法：
32|2310
173301532
010
2
-----
所以3/2是多项式的一个有理根。

2）x 3－6x 2＋15 x －14
由定理，多项式只能有整数根±1，±2，±7，±14，由于f (1)= －4，f (－1)=－36，而
444
,,1217114
---+±±都不是整数，所以－2，±7，±14都不是f (x )的根。

只要试验2即可。

代入计算得f (2)=0，所以2是多项式的一个有理根。

2．设()f x 是整系数多项式且f (0)，f (1) 都是奇数，证明: ()f x 没有有理根．
此题错误！反例2
()41,(0)1,(1)3f x x f f =-=-=都是奇数，有有理根12
±。

可证没有整数根：
证 设a 是()f x 的一个整数根，则1()()()f x x a f x =-，由综合除法知，商式1()f x 也为整系数多项式，于是 11(0)(0)
(1)(1)(1)
f af f a f =-⎧⎨
=-⎩
又因为a 与1a -中必有一个为偶数，从而(0)f 与(1)f 中至少有一个为偶数，与题设矛盾。

故()f x 无整数根．
或设()f x 是首项系数为一的整系数多项式且f (0)，f (1) 都是奇数，证明: ()f x 没有有理根．
证：因为()f x 是首项系数为一的整系数多项式，则有有理根，必为整数根．同上可证， 下面的方法稍繁，用到奇偶数的性质，可参考：
设-1
-110()n n n f x x a x a x a =++⋅⋅⋅++，且m 是 f ( x ）的一个整数根．∵ f ( 0 ）是奇数，
∴ a 0 是奇数，注意到m | a 0 ，从而m 是也是奇数．又因为 f ( l ）也是奇数，即 -110(1)1n f a a a =++⋅⋅⋅++是奇数．所以 -111n a a ++⋅⋅⋅+是偶数．
由于m 是奇数，,1,2,,k
k a m k n =⋅⋅⋅与k a 奇偶性相同，所以-111n a a ⋅⋅⋅，，
，中奇偶数的个数与1
11n n n m a m a m --⋅⋅⋅，，
，中的奇偶数的个数相同，所以111n n n m a m a m --++⋅⋅⋅+仍是一个偶数。

从而
-1-110()n n n f x m a m a m a =++⋅⋅⋅++是奇数．矛盾．所以 f ( x ）没有有理根． 口
习题3.2 (P42)
1. 计算行列式
0001002003004000
由定义
410001001
0020=4(1)020*********
4000
--=
=
2. 用行列式的定义证明：若行列式的一行或一列的元素都为零，则行列式为零.
证明：用数学归纳法：n=2时
121112
22121112221111212221212122
0000,000
000000
000,0000a a a D a a D a a a a D a a D a a a a a ==⋅-⋅===⋅-⋅==
=⋅-⋅===⋅-⋅=
设n －1时成立. n 时,设第 i 行或列的元素都为零，若 i =1，显然。

若 i ≠1，展开的n
－1阶子式中的原第 i 行或列的元素都为零，而 n －1时命题成立, 故证得. 口
习题3.3 (P55)
1. 利用行列式的性质计算行列式：
1）
1
11222333121212a a a a a a a a a ++++++ 解：21
31
11112222333312
12
121201212
C C C C a a a a a a a a a a a a --++++==++
2）
22222
22222222
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++++++++=
2222
214469214469214469214469
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d ++++++++++++
3242
22232
2
21262126=021262126
C C C C a a b b c c d d --++=
++ ，因为右边两列对应成比例。

3）
解：n=1时，1111=a b a b --；
11121112
21222121
=
a b a b a b a b a b a b a a a a -------- ()
()()1112
212121==1
1
a b a b a a a a b b -----；
n ≥3时，原式
211
1112121212111
1
n R R n R R n n n a b a b a b a a a a a a a a a a a a -----------=
()()
11
12
1211111=1
1
1
n
n a b a b a b a a a a -----=0
或 112122222
n n n
n n n
a a
b a b a a b a b a a b a b ------1121122212
n n n n n
b a b a b b a b a b b a b a b -------12222
=
n n n
n
a b b a b b a b b ------11
221
111n
n
a a a a
b a a - n=1时，原式11=a b - n=2时，原式=()()2121a a b b -- n ≥3时，原式=0 2. 用行列式的性质证明
1111111
1122
22
22
2
2
2
2b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证：原式左边
123
1
11112
22
22
2C C C a
c a a b a c a a b a c a a b --++-++++=
2131
1
112
2
2
2C C C C a c b a c b a c b ---=
32
1112
2
2
2C C a b c a b c a b c ↔=
习题3.4（60页）
1、计算行列式：
1）
00
00
0000
0x y x y x y y x
解：设行列式为n
阶，按第一列展开，即根据定义，有
原式=x
000000
x
y
x y x
+(
－1)
n －
1y
000000
y
x y x
y
=x n +(－1)n －
1y n .
2) 12
2222222232222
n 解：原式2100
022*******
00010
00
2
002
n n -==-
--各行按第减第1行行
展开
=－2(n －2)! (因为上三角行列式，所以等于主对角线上的元素相乘的积)。

3. 证明
12
2
1
1
00
00
1
00
0001n n n x x
x a a a a x a -----+111n n n n x a x a x a --=++⋅⋅⋅++.
证一：按第n 行展开，有
等式左边=()
()1
1
1
00000010
010
110
10
1
n n
n
n x x a a x x +-----+---
()
()
()1
21
2
2
2110010
00
010110
1
1
1000101()
n n n n
x x x x a a x x x x a x
------+-+
+-----+-+
()()()()()()11213
212111111n n n n n n n n n a a x a x +------=--+--+--+⋅⋅⋅+
()()21
212111()n n n a x x a x ---+--++111n n n n x a x a x a --=++⋅⋅⋅++ 口
证二：用数学归纳法。

⑴ n = 2时，等式左边=
2122
1
1x x a x a a x a -=+++，等式成立。

⑵ 设n －1时，等式成立。

n 时，按第一列展开，
等式左边=12
2
1
100001n n x
x
x a a a x a ----
+()1
1
00010
10
1
n n
x a x +--+--
由假设，n －1阶行列式
12
2
1
1
0001n n x
x a a a x a ----+12121n n n n x a x a x a ----=++⋅⋅⋅++
所以等式左边1
11n n n n x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，综合⑴⑵可得等式成立。

口
证三：x =0, 按或第一列展开，即 (－1)n －
1a n 与一n －1阶上三角行列式相乘，等于a n ，证得。

x ≠0, 可将行列式化成下三角形，具体方法是由左向右将第j 列除以x 加到第j+1列上，
从而，等式左边=
112212
2
1
320000000
00000+++++n
n
n
n n
i
i n
n n i i i i x x x
x a
a a a a a a a
a
x a
x
x x x
x ----
-==+∑∑
=1
11
2
(+)n
n i i i a x
x a x
--=+∑
1
11n n n n x a x a x a --=++⋅⋅⋅++． 口 习题3.3 (P66)
1、用克莱姆法则解下列方程组：
1）1234123412341234231,
324,
236,23 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪---=-⎪⎨+--=-⎪⎪++-=-⎩ 2）12341234123412342326,2238,3224,2328.
x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪---=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩
解：1）D=
1
123
31121530,23111
2
3
1
---=-≠---类似可得D 1=153，D 2=153，D 3=0，D 4=－153，
所以方程组的唯一解是12341,1,0, 1.x x x x =-=-==
2）D=324≠0，D 1=324，D 2=648，D 3=－324，D 4=－648，
所以方程组的唯一解是12341,2,1, 2.x x x x ===-=-
习题4.1
1. 设m ，n 是不同的自然数，A 是m×n 矩阵．B 是n×m 矩阵，下列运算式有定义的有几个? A ＋B ， AB ， BA ， AB T ， A －B T ． 解：有定义的有AB ， BA ， A －B T ． 2． 计算
1)43131171431317123127142)1231757023229570222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3) (11) 4）()()()()331233691123112312322123246⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
5）[]11
121311
2
321
2223231
32
333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
[]12
3x x x 111122133211222233311322333a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++⎡⎤
⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
111112213322112222333311322333()x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x =++++++++(
)() 222
111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x =++++++++
3. 设A=1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1013⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
计算：1)(A ＋B)2 2) A 2＋2A B ＋B 2
解：1)(A ＋B)2=2
22816261640⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
2) A 2＋2A B ＋B 2=2
1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦+21213⎡⎤⎢⎥⎣⎦1013⎡⎤⎢⎥
⎣⎦+2
1013⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
38612411818⎡⎤⎡⎤=+⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+1049⎡⎤⎢⎥⎣⎦=10201638⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
4. 求所有的与A=1101⎡⎤⎢
⎥⎣⎦可交换的矩阵。

解：与A=1101⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
可交换的矩阵必为2阶方阵，设为B=a b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，AB=1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a c b d c d ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦，BA=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a
a b c
c d +⎡⎤
⎢⎥+⎣⎦
， 由矩阵相等得,a c a +=,b d a b d c d +=+=+解之可得0,,c a d b ==为F 上任意常数。

5．设A ，B 是n×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵． 证：（B T AB ）T =B T A T （B T ）T =B T AB ，由对称矩阵定义知B T AB 是对称矩阵． 口 6. 设A 0b a b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，求A 2, A 3, …, A k . 证二：用数学归纳法。

⑴ k = 2
时，A 2
2202b ab b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， A 323222300022b b b a b ab b ab ab b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦3
2
303b ab
b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， ⑵ 由此假设k －1时，A
k －1
()12
101k k k b k ab b ---⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，则 A k ()()1
2
11100011k k k k k k k b b b a b k ab
b k ab ab b -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦10k k k b kab b -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦。

综合⑴⑵，可知A k 10k
k k b kab
b -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦. 习题4.2（78页）
1.求下列矩阵的逆矩阵：
1) 2111⎡⎤⎢⎥
--⎣⎦ 2) 257634523⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
--⎝⎭
解：
1112212221
10111211
,,,,.A A A A A ==-≠=-==-=--
∴ A*=1112--⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，所以A 的逆矩阵*1
1112A A A -⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦。

此题还可用待定系数法，初等变换法求解。

2)解一：
257
63410523,A ==-≠-- 而11121334
1382723
,,,A A A ==-==---
21222331323357
141291342423
,,,,,,A A A A A A =
==-==-==---
∴ A*=111384134272924--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，所以A 的逆矩阵*
1
111384134272924A A A
---⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦。

解二：257100634010523001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭2131
322571000121731011217201C
C C C --⎛⎫ ⎪
-→--- ⎪ ⎪---⎝⎭
32
13
205712201217310100111C C C C ----⎛⎫ ⎪-→--- ⎪ ⎪-⎝⎭2113
1001110710432057122C C C C +↔-⎛⎫ ⎪-→---- ⎪ ⎪--⎝⎭
23
2*(3)100111100111023554069151512057122057122C C C +---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→----−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
23325100111100111012161714012161714057122003818772C C C C ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→-−−→- ⎪ ⎪
⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭
323(1/3)
2100111100111012161714010384134001272924001272924C C C ⋅----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
257100634010523001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭23257100157011523001C C -⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭
12
157011257100523001C C ↔-⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭2131
2515701105712202738056C
C C C ---⎛⎫ ⎪−−→--- ⎪ ⎪---⎝⎭
12
32
2353100111100111057122012161714023554023554C C C C C C +----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→---−−→- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭
32
23
22100111100111012161714010384134001272924001272924C C C C +---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
2. 设P 是可逆矩阵．证明：线性方程组AX β=与线性方程组PAX P β=同解。

证：η是线性方程组AX β=的解，即A
PA P ηβηβ=⇒=，η也是PAX P β=的解. 反过来，ξ是线性方程组PAX P β=的解，即()()11
PA P P P PA P ξξξξ--=⇒=
()()11A A P P P P ξξξξ--⇒=⇒=，ξ也是AX β=的解.
3. 设P 是n ×n 可逆矩阵, C 是n ×m 矩阵. 证明：矩阵方程PX C =有唯一解． 解：先证有解，P 是n ×n 可逆矩阵,所以1
X P C -=存在。

代入方程有
11()()P P C PP C C --==，所以1X P C -=是方程的解。

若方程有解为Q ，则1
1
PQ C P PQ P C --=⇒=，即1
Q P C -=，所以解唯一。

4．设A 是n×n 矩阵，证明：如果A 3＝O ，则12
E A E A A --=++（）. 证明：
2
2
2
()()()E A E A A E E A A A E A A -++=++-++（） 2233E A A A A A E A =++---=-，因为A 3＝O ，所以2
()E A E A A E -++=（）。

A 是n×n 矩阵，所以E A -也是n×n 矩阵，由逆矩阵定义可知
12
E A E A A --=++（） 6. 设A 是n ×n 矩阵。

1) 证明：如果A 是可逆的，则A*也是可逆的。

2) 证明：|A*|=|A|n －
1。

证明：1) 如果A 是可逆的，由充分必要条件知，|A|≠0，由引理4.2, A A*=|A|E n ,
所以，|A| |A*| = ||A| E n | = |A|n ≠ 0. 可得|A*| ≠ 0，故A*也是可逆的。

2) 若A 可逆，则由1）即得|A*|=|A|n －
1。

如果A 不可逆，则|A|=0，只要证也有|A*|=0即可。

证法一：（反证法）假设 |A*|≠0，则A*－1存在。

由引理4.2 A A* = |A|E n 和 |A|=0可得， A=|A|E n A*－
1=O （零矩阵），那么A*也是零矩阵，与假设|A*|≠0矛盾。

因此只能是|A*|=0。

证法二：ⅰ）若A 是零矩阵，则A*也是零矩阵，显然|A*|=0。

ⅱ）若A 至少有一个元素不为零，不妨设为a 11≠0，则令|A*|的第1行乘以a 11,并将第i 行乘以a 1i 加到第1行上去(i=2，3，…，n)， 即
111211
1
1
1222212*n
n
n
k
k
k
k
k
nk
k k k n n
n
nn
a
A a
A a
A A A A A A A A ====
∑∑∑
则由行列式按行展开的性质，得1222
21222212120
00000
0*.n n n
n
nn
n
n
nn
A A A A A A A A A A A A A A A =
==
习题4. 3（84页）
1. 用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：
1）1
1
1122311221102
2
A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
2）1
8291`1518713
1A ---⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
2. 解下列矩阵方程：1）25111111⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
X 解：12212251111111111111125110733↔-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r r r r 21
1274411111077
333
301017777÷+⎡
⎤----
-⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦r r r ，所以解为4
4773
377⎡⎤
--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
X 。

3、1
000
111
1
0A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2
010200
1
1B ⎡⎤
⎢⎥=-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
， 又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程2=AX B XB ，求矩阵X
解：2
01
400
200
1
1
B ==-≠-，所以B 也是可逆矩阵， XB 是可逆矩阵，所以由 2=AX B XB 可得=AX E ，即，矩阵X 是A 的逆矩阵，由
3221
1001001
001001
001000110101
100010
1010
11
1
10
1
1
1
00
1
1
1
0r r r r ↔-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
32
100100010101001111r r -⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，所以X =100101111⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
4、设A =(a ij )是⨯n n 矩阵， 2）B=12(,,
)n diag b b b 是一个对角矩阵，若i ≠j 时P n (i ,j ) B= B P n (i ,j )，则B 是数量矩阵.
证：由教材定义，i ≠ j 时P n (i , j )是对换i , j 两行的初等矩阵.
P n (i , j )B =100
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭j i
n b b b b ，BP n (i , j )= 1
00
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
i j
n b b b b ， 由两者相等即得b i =b j ，由i , j 的任意性得主对角线元素都相同，所设对角矩阵即数量矩阵. 3）证明：如果矩阵A 与所有的⨯n n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵（即A ＝cE n ,∈F ）. 证：用E ij 表示第i 行第j 列的元素为1，而其余元素为零的矩阵。

因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E ij 可交换。

由AE ij =E ij A 得i≠j 时a ij =0，i=j 时a ii =a jj ，故A 是数量矩阵.
为了帮助理解上面的证明过程，我们以n = 4为例，取E 23印证一下：
230
0000010,00000000E ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦则11
12
131421
2223242323
3132333441
42
43
44⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦a a a a a a a a E A E a a a a a a a a =31
3233340
000,000000
0a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11121314122122
2324222331323334324142
43
4442
000
0000000010,0
0000000
000000a a a a a a a a a a AE a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 由2323E A AE = 得a 22 = a 33，a 12=a 32=a 42=a 31= a 34=0。

习题5.1
1. 如果212434115016k a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，求k , a , b .
解：由3×2 + 4－2k = 4，得k = 3，又3×1 + 4 +3 a = 5，得a =23-
，－4+3 b = 6, b =10
3
. 2. 证明：如果11
12131121
22232231
32
3333a a a k b a a a k b a a a k b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则111213112122232323132333a a a b k a k a k a b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 证：由矩阵乘法，有11
12131212223231
32
333a a a k a a a k a a a k ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
111122133211222
233311322333a k a k a k a k a k a k a k a k a k ++⎡⎤
⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
=111122133211222233311322333a k a k a k a k a k a k a k a k a k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=111213112122232323132333a a a b k a k a k a b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得结论成立。

习题5.2
2. 设V 是全体实数的二元数列所构成的集合，证明：V 对于下面定义的运算：
2()(,)()
1()2
a b c d a c b d ac k k k
a b ka kb a
⊕=+++-=+,，（）,（，
构成实数域上的向量空间。

证明：由定义可知，两种运算的结果仍是实数的二元数列。

因此集合对运算封闭。

①也显然成立。

现在验证②：
()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,.a b c d e f a b c e d f ce a c e b d f ce a c e a c e b d f ce a c e a c e b d ac f a c e a c b d ac e f a b c d e f ⊕⊕=⊕+++=+++++++=+++++++=+++++++=+++⊕=⊕⊕显然是满足的。

零元是o =(0, 0), 可验证()(),(0,0)(0,00),.a b a b a a b ⊕=+++⋅=③也满足。

由()(),(,)(,)0,0a b c d a c b d ac ⊕=+++=可解得(a , b )的负元是（－a , a 2－b ）。

由定义()(
)()211,(1,1111),.2
a b a b a a b Θ=+⋅⋅-= 可见④，⑤满足。

对于实数kl ，
()22222111
(),(,(1))(,),
222kl a b kla klb kl kl a kla klb k l a kla Θ=+-=+- ()()()2
22111,(,(1))(,((1))(1))
222
k l a b k la lb l l a kla k lb l l a k k la ΘΘ=Θ+-=+-+-222222222222111111
(,)(,).222222
kla klb kl a kla k l a kl a kla klb k l a kla =+-+-=+-
因此⑥满足。

⑦，⑧验证如下：
()()()2222211
(),((),()()(()1))(,(()())),
2211
,,(,(1))(,(1))
22k l a b k l a k l b k l k l a ka la kb lb k l k l a k a b l a b ka kb k k a la lb l l a +Θ=+++++-=++++-+Θ+Θ=+-++-而 ()()()22222211
(,(1)(1))
22
1
(,()),(),,,2
ka la kb k k a lb l l a kala ka la kb lb k k l l a kla k l a b k a b l a b =++-++-+=+++-+-++Θ=Θ+Θ可见。

()()()()()()2
1(,,),(,(1))
2
Θ+=Θ+++=++++-+k a b c d k a c b d ac k a c k b d ac k k a c
()()221
(,(1)(2))
2
=++++-++k a c k b d kac k k a c ac ()()()()22222221
(,(1)()),
21
(,(1)())
2
11
(,(1))(,(1))
22
,,.
=+++-++=+++-++⋅=+-++-=Θ+Θk a c k b d k k a c k ac ka kc kb kd k k a c ka kc ka kb k k a kc kd k k c k a b k c d 3.设V {(,)|,}a b a b F =∈，现在取加法为通常加法，而数量乘积重新定义为
(,)(,)k a b a kb Θ=
证明：V 关于加法和新定义的数量乘法，不是F 上的向量空间. 证：验证第7条:()(,)(,())k l a b a k l b +Θ=+，而(,)(,)k a b l a b Θ+Θ
(,)(,)a kb a lb =+=(2,())a k l b +，不满足第7条故不是F 上的向量空间.
4. 1）{(,,)|,}a b a b a b F +∈是不是F 3
的子空间，为什么？ 2）{(1,,3)|}a a a F ∈是不是F 3
的子空间，为什么？
3）设()n m A Mat F ⨯∈，{|}m
A F ∈αα是不是n
F 的子空间，为什么？
解：1）记A ={(,,)|,}a b a b a b F +∈，A 非空；又(,,),(,,),a b a b A c d c d A +∈+∈有
(,,)(,,)(,,),a b a b c d c d a c b d a c b d A +++=+++++∈(,,)k a b a b +=
(,,),ka kb ka kb A =+∈ A 是F 3的子集，对定义的两种运算封闭，故为F 3的子空间。

2）不是，因为对定义的运算不封闭，集合中两个3维向量相加得（2，*，*）。

3）是，因集合显然非空，又()1212αααα+=+A A A ，()αα=kA A k ，12,ααα+k 都属于m
F ，集合对n F 上定义的加法与数乘运算封闭。

由定义5.5即知所给集合是n
F 的子空间. 5. 不是，因为一个对称矩阵加一个反对称矩阵，由结果主对角线上的元素可知一般不是反对称矩阵，由其他位置上的元素可知一般也不是对称矩阵，即集合对加法不封闭。

反例如下：
101001000,000102100A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 是对称矩阵B 是反对称矩阵，100000202A B ⎛⎫
⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭
习题5.3
1. β能不能由1234,,{,}αααα线性表示？
12342111132232,,,,5112121134ααααβ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解：令()[]
41
32121
1234,ααααβ----=r r r r r r r A A 432111121111133411334102244022440224300001+--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
r r 对应的方程组β=AX 无解，所以，β不能由1234,,{,}αααα线性表示。

2. 设. 123100100,,001001A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 证明: 任意2×2实对称矩阵都能由{}123,,A A A 线性表出；
证：100100001001a b A a b c b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
∀
==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

a , b , c ∈R ，故题设结论成立。

习题5.4
1. 1） × 因为线性相关要求12,,
n k k k 不全为零；2）× 应该是F 中任意不全为零的
12,,n k k k ，使1122s s k k k o ααα+++≠，只有不全为零的12,,
n k k k 不行！
2. 由教材例7，求线性系数就是解线性方程组β=AX ，因此定理5.10指出讨论线性相关性考虑齐次线性方程组=AX o 有无零解， 1）的齐次线性方程组对应的系数矩阵为
3110
170
170
101021021021002500
540
0310
0142302110025000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，齐次线性方程组只有零解故线性无关。

2）因系数矩阵为方阵，故可通过计算系数行列式知方程组只有零解故线性无关。

3 . 由1
2340000k k k k ⎡⎤⎡⎤
=⇒⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦12340.k k k k ====证得。

4. 1)有零向量，2)有重复元素，由推论可知是线性相关的；
3)由定理5.15知线性相关。

或解：记四个向量为1234,,,ββββ，由题设
()123412341001,,,(,,,)21140311ββββαααα⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
设常数1234,,,k k k k 使1231234k k k k o ββββ++=+，即
11221234123433441001(,,,)(,,,)21140311k k k k o k k k k ββββαααα⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

12
34100121140311k k o k k ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭⎝⎭
是4个未知数而只有3个方程构成的齐次方程组，必有非零解。

从而存在不全为零的1234,,,k k k k ，使1231234k k k k o ββββ++=+，所以1234,,,ββββ线性相关
4) 由定义解方程组，系数行列式显然非零。

故线性无关。

5) 设有123,, x x x 使1122330x b x b x b ++=，即112223331()()0,x x x αααααα+++++=（） 亦即
131122233 )()()0,x x x x x x ααα+++++=（ 由题设123},{,ααα线性无关，得 131223
0,
0, 0.x x x x x x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 对应的行列式10111020011=≠，所以123,,x x x 只能皆为0，故线性无关。

5. 否。

12{,}αα线性相关，若2α为零向量，1α非零，则等式不能满足。

6. 由定理5.15和练习5.2的第二题即得。

习题5.5
1. 证明：123},{,ααα是F 3的一个基，其中
123100,,.111111ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
证：由定理5.10，123},{,ααα线性无关的充要条件是齐次线性方程组123,,{}X o ααα=只
有零解，此由10
112011
1111
=--=-≠-得以满足。

又dim F 3=3, 由定理 5.21即知
123},{,ααα是F 3的一个基。

2. 123122391,,.251140ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
证明12{,}αα是123},{,ααα的一个极大线性无关组。

证：1212,39αα⎡⎤⎡⎤''==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
是删掉第3，4分量得到的，显然线性无关，由定理5.13知12
,αα线性无关，又由矩阵410
1221221
2
2339101550
31101.32510930000001400620
00
00⎡⎤
⎢
⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦知
3124
133
ααα=+，即123},{,ααα中每一个向量都可由12{,}αα线性表出，所以12{,}αα是
123},{,ααα的一个极大线性无关组。

4. 设（Ⅱ）：12,,},{n ααα是的一个向量组，证明：如果n 维单位向量组12,,},{n εεε都
能由（Ⅱ）线性表出，则（Ⅱ）是F n 的一个基。

证：因为n 维单位向量组12,,
},{n εεε是F n 的一个基，所以（Ⅱ）都能由12,,},{n εεε线
性表出，由题设得，（Ⅱ）与12,,},{n εεε等价，由定理5.13知rank （Ⅱ）= n , 所以（Ⅱ）
线性无关, 由定理5.21即知（Ⅱ）是F n 的一个基。

6. 设A 是m × n 矩阵，（Ⅱ）：12,,
},{t βββ是F n 的(列)向量组．
1) 证明：如果（Ⅱ）线性相关，则向量组(Ⅲ)：12,,
{},t A A A βββ线性相关。

2) 证明：(Ⅲ) 的秩 ≤ (Ⅱ) 的秩．
3) 证明：如果A 可逆 ( 这时，当然 m ＝n )，则 (Ⅲ) 的秩＝(Ⅱ) 的秩． 证：1) 如果（Ⅱ）线性相关，则12(,,,)t X o βββ=有非零解，即X 为非零t 维向量，其
必为12,,
,()t A A A X o βββ=的解，因为 121212,,
,,,
()(),,((,
,))t t t A A A X X X A A βββββββββ===Ao o =。

2) 设(Ⅱ) 的秩为r, 并设(Ⅲ) 的一个极大线性无关组为12,,
,{}r i i i βββ，则k A β∀∈(Ⅲ) ：
12,,{},t A A A βββ，必存在一组数12,,
r k k k ，使得1212r k i i i r k k k ββββ+=++。

等
式两边同时左乘A ，则有1212r i i r k i k A k A k A A ββββ+++=即k A β∀∈必能被相应的
12,,{},r i i i A A A βββ线性表出，因而(Ⅲ)中的极大线性无关组含有的元素不可能大于r.
即证得(Ⅲ) 的秩 ≤ (Ⅱ)的秩． 3) 如果A 可逆, 记(Ⅲ);12,,{},t A A A βββ为12,,},{t γγγ，则
(Ⅱ): 12,,
},{t βββ=12111,,,{}t A A A γγγ---，由2)的结论，则(Ⅲ) 的秩 ≤ (Ⅱ) 的秩，
(Ⅱ)的秩 ≤(Ⅲ) 的秩．因而, (Ⅲ) 的秩＝(Ⅱ) 的秩．
习题5.6
2. 1) 111111
6021
10311
1
1002
--==≠--，由定理5.25，矩阵的秩=3.
2) 311232
34
20
2
2
2000
2
410011*********
1011
111
10101
10
10
2
04r r r r r r c c ↔-+↔-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--−−→--−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
化为阶梯形，有三个非零行。

故秩为3.
2. 以所给三个向量为行向量得矩阵：
2132
4121312131
21341560991801121
3
4
70
5
5
100
0r r r r -+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−→---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦
知所求秩为2. 3. 证：设A 的列向量组的一个极大无关组为12,,
,{}(rank )s A s ααα=，B 的列向量组
的一个极大无关组为12,,
},{t βββ(r(B)＝t )．()A B 的列向量组或是A 的列向量或是B
的列向量，故可由向量组1212,,
,,},,{,
s t αααβββ线性表示，所以 r ()A B ＝ ()A B 的列秩 ≤ 1212,,
,,},
,{,s t r αααβββ≤ s+t ＝r(A)+ r(B)。

4. 证明：rank (A B ) ≤ rank A + rank B.
证：易知，A B 的列向量组是由A 的列向量组和B 的列行向量组的并集．设A 和B 的列
行向量组的一个极大无关组分别是（Ⅱ）12,,
,{}(rank )s A s ααα=和(Ⅲ)
12,,},{t βββ ( rank B ＝t )．显然A B 的一个极大无关组是（Ⅱ与(Ⅲ)的并集的子集，故
必有rank (A B ) ≤ rank A + rank B. 5. 证明：rank (A+B ) ≤ rank A + rank B.
证：证法一 易知，A+B 的行向量组可由A 的行向量组和B 的行向量组线性表示．设A 的行向量组一个极大无关组为12,,
,{}(rank )s A s ααα=，B 的行向量组的一个极大无关组
为12,,},{t βββ(r ank B ＝t)．由于一个向量组与它的极大无关组等价，由传递性可知，
A+B 的行向量组可由向量组1212,,
,,},,{,
s t αααβββ线性表示，所以
r (A+B) ＝(A+B )的行秩 ≤1212,,,,},
,{,s t r αααβββ≤ s+t ＝r(A)+ r(B)
证法二 对分块矩阵作初等变换（初等变换不改变矩阵的秩），得
000A A B A B B B B B
B +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由于A+B 是子块，子块的秩不会大于矩阵的秩，所以
r (A+B) ≤()()00A B B A r r r r A B B B B +⎛⎫⎛⎫
==+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

7.* 设A 是n 阶矩阵，证明：如果对任意n
F ∈β线性方程组AX =β都有解，那么A 可逆。

（此题与习题6.3的第3题等价，请看那里的证明）
习题5.7
1. 求2
()31g x x x =-+在基{}
2(2),2,3x x -+下的坐标。

解：设22
123()31(2)(2)3g x x x k x k x k =-+=-+++⋅，显然11,k =再取x =0,1代入上式，
得,234231k k ++⋅=，231331k k ++⋅=-解得2351,3k k ==-。

故所求坐标为5
(1,1,)3
-。

习题5.8
1. 设V=Mat (),n n F A V ⨯∈。

对任意B V ∈，令()σ=B AB ，证明：σ是V 的一个线性变换。

证：,∀B C ,V ∈A ,V ∈，都有：()()()(),+=+=+=+σσσB C A B C AB AC B C
k F ∈，()()().===σσkB A kB kAB k B 因此，σ是V 的一个线性变换． 2. 在V =F 3中，
（1）令12312312312(,,)(33,44,2)σ=--+---a a a a a a a a a a a ，证明：σ是V 的一个线性变换。

（2）123121323(,,)(3,4,)σ=--a a a a a a a a a ，证明：σ不是V 的线性变换。

证：（1）由题设，123123312(,,)(,,)141340σ-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭a a a a a a ，令312141340-⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，
3,,∀∈∈αβF k F ，都有：()()()(),+=+=+=+σαβαβαβσασβA A A
()()()().===σααασαk k A k A k 因此，σ是V =F 3的一个线性变换． （2）举一反例即可，设123(,,)(0,1,2)=≡a a a ，(0,1,2)(1,8,2)σ=--，
[2(0,1,2)](0,2,4)(2,16,8)σσ==--，
而2(0,1,2)2(1,8,2)σ=--(2,16,4)[2(0,1,2)]σ=--≠，故σ不是V 的线性变换。

3. 由线性变换的定义直接可得。

4. 设V 是F 上的n 维向量空间，设{12,,
,ηηηn }是V 的一个基， 12,,,∈αααn V 。

证
明：存在V 的一个线性变换σ，使对任意1,2,,=j n 都有()=σηαj j 。

证明：因为{12,,
,ηηηn }是V 的一个基，所以矩阵()12,,,=ηηηn B 满秩，对应的行列
式0≠B ，令C 是以12,,,∈αααn 为列向量的矩阵，则满足=BA C 的A 必存在，A 就
是σ在基{12,,
,ηηηn }下的矩阵。

从而证得题设的结论。

习题6.1
2. 证：充分性：由向量组的一个极大无关组与向量组等价，()A B 的列向量都可以A 的
列向量组线性表示，B 的列向量组可由A 的向量组线性表示，由引理5.1，方程有解。

必要性：由引理5.1，方程有解B 的列向量组12,,},{t βββ可由向量组12,,},{s ααα线
性表示，故可由向量组1212,,
,,},,{,s t αααβββ线性表示 r ()A B ＝ rankA.
习题6.2
1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并且用它来表示解空间:
(1)x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++-=⎨⎪++-=⎩123412341
23481020245038620
;
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
A = //~r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
181********
5101341438620000 , 于是得
x x x x x =-⎧⎪
⎨=+⎪⎩1323443144
.。