相似三角形培优训练(含答案)

相似三角形分类提高训练

一、相似三角形中的动点问题

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动

点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C

沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作

EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着

AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的

速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线

段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿

着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点

B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交

y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A. B. C. D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

求证：

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。

求证：

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且

EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；

(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k

表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证：．

17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB

分别交AD、BC于E、F。求证：．

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC

上。

求证：．

19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．

五、相似之共线线段的比例问题

20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：

（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否

仍然成立？若成立，试给出证明；若不成

立，试说明

理由（要求

仅以图2为

例进行证明

或说明）；

21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长

BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

22.如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG•EH

23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.

求证：

24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·DH。