考前三个月(江苏专用)2015高考数学压轴大题突破练数列

中档大题规范练——数列

1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18.

(1)若1

(2)设bn ＝n (2n ＋1)Sn

，是否存在一个最小的常数m 使得b1＋b2＋…＋bn

解 (1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，

又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x ＋65＝0的两个根，

又公差d>0，所以a2

所以⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝5，a1＋3d ＝13，①

所以a1＝1，d ＝4.所以an ＝4n －3.

由1

所以a1a21＝a2i ，

即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.

(2)由(1)知，Sn ＝n×1＋n (n －1)2×4＝2n2－n ，

所以bn ＝1

(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1

2n ＋1)，②

所以b1＋b2＋…＋bn

＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－1

2n ＋1)

＝n

2n ＋1，

因为n

2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③

所以存在m ＝12使b1＋b2＋…＋bn

2．设Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1≠0,2an －a1＝S1·Sn ，n ∈N*.

(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n 项和．

解 (1)令n ＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.

因为a1≠0，所以a1＝1.

令n ＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.

当n≥2时，由2an －1＝Sn,2an －1－1＝Sn －1，

两式相减得2an －2an －1＝an ，即an ＝2an －1.

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．

因此，an ＝2n －1.

所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1.

(2)由(1)知，nan ＝n·2n －1.

记数列{n·2n －1}的前n 项和为Bn ，于是

Bn ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n －1，①

2Bn ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②

①－②，得

－Bn ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝2n －1－n·2n.

从而Bn ＝1＋(n －1)·2n.

即数列{nan}的前n 项和为1＋(n －1)·2n.

3．设数列{an}的前n 项和为Sn ，满足2Sn ＝an ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn ＝an ＋2n.

(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

(2)若数列cn ＝6n －3bn ，Tn 是数列{cn}的前n 项和，证明：Tn<3.

(1)解 当n≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2Sn ＝an ＋1－2n ＋1＋1，2Sn －1＝an －2n ＋1

⇒2an ＝an ＋1－an －2n

⇒an ＋1＝3an ＋2n ，

从而bn ＋1＝an ＋1＋2n ＋1＝3(an ＋2n)＝3bn ，

故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，

bn ＝an ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，

an ＝3n －2n(n≥2)，

因为a1＝1也满足，于是an ＝3n －2n.

(2)证明 cn ＝6n －3bn ＝2n －1

3n －1，

则Tn ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －1

3n －1，①

13Tn ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，②

①－②，得23Tn ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n

＝1＋23·1－1

3n －11－13

－2n －13n

＝2－1

3n －1－2n －13n

＝2－2(n ＋1)3n ，

故Tn ＝3－n ＋1

3n －1<3.

4．已知单调递增数列{an}的前n 项和为Sn ，满足Sn ＝12(a2n ＋n)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1

a2n ＋1－1，n 为奇数，3×2an －1＋1，n 为偶数，

求数列{cn}的前n 项和Tn. 解 (1)n ＝1时，a1＝12(a21＋1)，得a1＝1，

由Sn ＝12(a2n ＋n)，①

则当n≥2时，Sn －1＝12(a2n －1＋n －1)，②

①－②得an ＝Sn －Sn －1＝12(a2n －a2n －1＋1)，

化简得(an －1)2－a2n －1＝0，

an －an －1＝1或an ＋an －1＝1(n≥2)，

又{an}是单调递增数列，故an －an －1＝1，

所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an ＝n.

(2)cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1

a2n ＋1－1，n 为奇数，

3×2an －1＋1，n 为偶数，

当n 为偶数时，

Tn ＝(c1＋c3＋…＋cn －1)＋(c2＋c4＋…＋cn)

＝(1

22－1＋1

42－1＋…＋1

n2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2

＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2

＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2

＝2n ＋1＋n2－2n －4

2(n ＋1).

当n 为奇数时，

Tn ＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn －1)

＝[1

22－1＋1

42－1＋…＋1

(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12

＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12

＝2n ＋n2－2n －9

2(n ＋2).

所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧

2n ＋n2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，

2n ＋1＋n2－2n －4

2(n ＋1)(n 为偶数).