大学物理 稳恒磁场

BP1 BP2 . [ C ]
如图，流出屏幕的电流为 2I，流进屏幕的电流 为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
(A) L1 B dl 20I
(B) L2 B dl 0I
(C) L3 B dl 0I (D) L4 B dl 0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
[D]
二、安培环路定理在解场方面的应用
0 I1L1 4R 2
A
I1
c o I2 D
B 方向：
R B
F
I2电流在O点的磁场：
B2
0I2
2R
L2
2R
0 I 2L2 4R 2
B 方向：
由电阻定理知, ACB 和 ADB的
E
电阻 R1 和 R2与其长度 L1 和 L2间
有
R L
c
S
A
I1 o I2 D
R B
F
又R1和R2并联,故有
R1I1=R2I2
(
A)
2
4l
0I
(B)
2
2l
0
I
① A
(C)
2
2l
0
I
(D)以上都不对
②
I④
I
③[ A ]
3．一载有电流 I 的细导线分别均匀密绕在 半径为 R 和 r 的长直圆筒上形成两个螺线 管 ( R=2r )，两螺线管单位长度上的匝数相 等．两螺线管中的磁感应强度大小 BR 和 Br 应满足：
(A)BR 2Br. (B)BR Br. (C)2BR Br . (D)BR 4Br.
L
i
L 在场中任取的一闭合线
任意规定一个绕行方向
dl L上的任一线元 B 空间所有电流共同产生的
I内
与L套连的电流
如图示的I1、 I2
I3
I1 I2
L dl
电流分布
Ii内 代数和：与L绕行方向成右螺旋，电流取正
i
；反之取负。如图示的电流I1取正，I2取负
讨论
B dl 0 Ii内
L
安培环路定理及应用
一、 安培环路定理
电磁规律比较：
E dS
S
qint
i
0
B dS 0
S
LE dl 0
LB
dl
?
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
闭合路径L的线积分，等于路径L所包围的电流强
度的代数和的 0 倍。
B dl L
o
Ii
i
B dl 0 Ii内
对于一些对称分布的电流 可以通过取合适的环路L 利用磁场的环路定理比较方便地求解场量 (类似于电场强度的高斯定理的解题)
以例题说明解题过程
1.通电密绕长直螺线管内部的磁感强度
设总匝数为N、总长为L 通过稳恒电流电流强度为I
分析对称性，知内部场沿轴向， 方向与电流成右手螺旋关系
l B
B外 0 I
螺线管均匀密绕无漏磁 B外 0
方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
结果
电流(线)密度为j的无限大均匀载流平面,在 其两侧产生大小相等、方向相反的匀强磁场
j•
•
B
•
•
B
•
B 0 j
• •
B 0 j
2
2
磁感强度 的计算
基本方法： 1.利用毕－萨－拉定律 2.某些对称分布，利用安培环路定理 3.重要的是典型场的叠加 注意与静电场对比
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 + ,其 余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 – ,当圆盘 以角速度 旋转时,测得圆盘中心点 o 的磁感应
强度为零, 问 R1 与 R2 满足什么关系？
解：当带电圆盘转动时,可 看作无数个圆电流的磁场 在 o 点的迭加,
R1
o R2
半径为 r ,宽为 dr 的圆电流
设圆柱体截面半径为R
I
磁场特点： 有轴对称性
同一圆周上各点B大小相等、 方向沿圆周切向
pr
取回路：过场点的圆周， 绕行方向与I成右螺旋
rp
则 B dl B 2r
L
r R
i
Ii
I
R2
r 2
r2 R2
I
r R
Ii I
i
B 2r
0
r2 R2
I
rR
I
0I r R
pr
B 0 Ir r R 2R2
磁感应强度。
解：如图所示的电流系统在 o 点激发的 B 为 5 段电流所 产生的 B 矢量的迭加。
o 点在直电流 IAE 与 IFB 所在 延长线上。
E
A
I1
c o I2 D
R
B F
B AE B FB 0
又O点离IEF很远，此电流的磁场可不计。
I1电流在O点的磁场：
E
B1
0 I1
2R
L1
2R
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
R
r
无限长通电柱面 0 rR
B 2r
0I r R
pr I
B 0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
Baidu Nhomakorabea
零，对吗？
R
r
通电环形螺线管磁场的磁感线
3.均匀密绕螺绕环
r dS=1×dr
B 0I rR 2r
dS 1 dr dr
dm B dS B dS B dr
dr r dS=1×dr
m
B dS
Bdr
R 0
0 I 2R 2
rdr
2R 0I dr R 2r
0 I 2R 2
1 2
R2
0 I 2
ln
2
0I 0I ln 2 4 2
例 一长直电流I在平面内被弯成如图所示的形状
(A) L1 B d l L2 B d l , (B) L1 B d l L2 B d l , (C) L1 B d l L2 B d l , (D) L1 B d l L2 B d l ,
I1 I2
P2 I3
(b)
B P1 B P2 . B P1 B P2 . B P1 B P2 .
i
1）安培环路定理只适用于闭合恒定电流,是 稳恒电流磁场的性质方程。（对一段恒定电 流的磁场，或变化电流的磁场不成立）
2） B d l 0 说明磁场为非保守场（涡旋场）
L
3）
B
dl
积分中
B为空间所有的稳恒电流共
同激L发的。但其沿环路的积分却只与环路所包
围的电流有关。
P1
L1
I1 I2
L2
(a )
B
B1
B2
0 4R
2
( I 1 L1
I 2L2
)
0
1.电流由直导线 1 沿平 1 I
a
行 bc 边方向经过点a流
入一电阻均匀分布的正
三角形线框,再由 b 点
o
沿 cb 方向流出，经长
直导线2返回电源(如图). 2
I
b
c
已知直导线上的电流为 I , 三角框的每一边长 为 l，令长直导线 1、2 和导线框在线框中心 点 O产生的磁感应强度分别为 B1、B2 和 B3则 点O的磁感应强度大小 :
b
o 1 Ia
2 I
c
(A)B 0,因为B1 B2 B3 0. (B)B 0,因为B1 B2 0, B3 0. (C)B 0,因为虽然B1 B2 0,但B3 0. (D)B 0,因为虽然B3 0,但B1 B2 0.
b
o 1 Ia
2 I
c
[D]
7.取一闭合积分回路 L ，使三根载流导线穿 过它所围成的面．现改变三根导线之间的 相互间隔，但不越出积分回路，则 (A)回路L内的 I 不变，L上各点的B不变． (B)回路L内的 I 不变，L上各点的B改变. (C)回路L内的 I 改变，L上各点的B不变. (D)回路L内的 I 改变，L上各点的B改变.
1I
a
o 2I
b
十七章 作业：9
c
(A)B 0,因为B1 B2 B2 0.
(B)B 0,因为B1 B2 0, B3 0.
(C)B 0,因为虽然B1 B2 0.B3 0
(D)B
0,因为虽然B3
0, B1
B2
0. [D
]
2.边长为l的正方形线圈中通有电流,此线圈 在A点（见图）产生的磁感应强度B为
dI= 2rdr / 2 = rdr
磁场
dB = 0dI/2r =0dr/2
R1
o R2
阴影部分产生的磁场感应强度为
B
R1
0
1 2
0dr
0R1
2
其余部分：
十七章 作业：2
B
R2
R1
1 2
0dr
1 2
0
(
R
2
R1 )
已知：B B则有R2 2R1
例2：在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线
沿半径方向引到很远的电源上,求：环中心处 o 点的
安培环路定律求得。一般只是具有一定对称 性的或分段均匀的
L
aP
I
➢磁通量：穿过磁场中某一面的磁力线条数
m B dS 单位：1Wb（韦伯）=1Tm2 S
例1. B
m BR2
R
例.载流长直导线的电流为I，它与一矩形共 面，试求通过该矩形的磁通量？
B 0I 2x
dS hdx
b
Ia
x
h
dx
其中
直电流 ab和cd的延长 线过o
电流bc是以o为圆心、 以R2为半径的1/4圆弧
o dc
fI
R1 R2
eI
b
I
电流de也是以o为圆心、
但，是以R1为半径的 1/4圆弧
a
求：场点o处的磁感强度 B
直电流ef与圆弧电流
de在e点相切
解：场点o处的磁感强度是由五段 o d c
特殊形状电流产生的 场的叠加，即
fI
R1 R2
eI
B Bab Bbc Bcd Bde Bef
b
I
由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是
Bbc
1 4
0I
2R2
Bde
1 4
0I
2R1
方向：
Bab 0 Bcd 0
a
Bef
1 0I 2 2R1
B
0I
0I
0I
8R1 4R1 8R2
例. 一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
B dl L
B2l o jl
l dc
ab
B o j
2
x
m
ab
0I 2x
hdx
a
0 Ih ln a b
2
a
cd h
I
I
m
0 Ih 2
ln d c
m 0
例．一无限长圆柱形铜导体（磁导率μ0)，半径为R， 通有均匀分布的电流I，今取一矩形平面S（长为1m，
宽为2R），位置如图所示，求通过该矩形平面的磁
通量。
R dr
B 0 Ir r R 2R2
B
R2
R1 L
对细螺绕环
B 0nI
在细螺绕环的情形下，其内部的磁感强度大小处处 相等，但各处的方向并不相同，故不是均匀磁场。
例: 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导 体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
设通有的电流强度为I，总匝数为N
磁场特点：
同一圆周上各点B大小相等、
R1
R2 o
方向沿圆周切向
取回路：过场点的圆周，
绕行方向与I成右螺旋
B dl B 2r 0 NI
B 0NI 2 r
场点距中心
的距离r
B
R2
R1
以r<R1或r>R2 为半径作
圆形安培回路 L，得外
部磁场分布
外部： B 0
I a1
o
I 2b
（A）B=0，因为B1=B2=B3=0。 （B）B=0，因为虽然B10、B2 0、
B3 0，但B1+B2+B3=0。 （C）B 0，因为虽然B1+B2=0，但B3 0 （D）B 0，因为虽然B3=0，但B1+B2 0
I a1
o
I 2b
[A]
6.有一边长为 l 电阻均匀分布的正三角形导线框 abc，与电源相连的长直导线1和2彼此平行并分 别与导线框在 a 点和 b 点相接，导线 1 和线框 的 ac 边的延长线重合。导线 1 和 2 的电流为 I， 如图所示。令长直导线 1、2 和导线框在线框中 心点 o 产生的磁感应强度分别为 B1、B2 和 B3， 则点 o 的磁感应强度大小：
l
取过场点的每个边都相
B
当小的矩形环路abcda
B外 0 I
B dl B内 dl B dl B外 dl Bdl
L
ab
bc
cd
da
由安培环 B内ab
路定理
0
N l
abI
n N l
b B内a
c d
B 0nI 均匀场
2.无限长通电流I的圆柱导体内外的B
思考
一无限长任意导线中通以电流I，有人运用安培环路
定律计算空间P点的磁感应强度，由，
Bdl
L
μ0
I
得到 B μ 0I 2πa，与无限长载流直导线的磁场
一样。这样处理对吗？
分析：这样处理显然是错误的。使用安培环 路定律计算磁感应 强度时，是有一定条件的， 即B可以从积分 式中作为常量提出 来，因为,所以在积分路径L或各个分段路 径上，应保证B为常量，而且为已知。本题 中给出的电流形 状是任意的，积分路径L上各处的B及都无 法确定，故不能用
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直 放置,且两接触点A、B连线为环的直径,现 有电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端 流出,则环中心处的磁感应强度大小为:
(A) 0
( B ) 0I 4R ( C ) 20I 4R ( D ) 20I R ( E ) 20I 8R
A o B
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小