三角恒等式ppt课件

Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
解：把
Sinα+Cosα=
1 5
代入
( Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα
得
SinαCosα=
12 25
∵
0º<α<180º，且
SinαCosα=
12 25
<0
∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0
知：Sinα Cosα>0
这两个等式联系着 Sinα和Cosα， Sinα+ Cosα， Sinα Cosα， SinαCosα关系。
本例解法多种：可以利用
Sinα+
Cosα=
1 5
Sin2α+ Cos2α=1
求Sinα
由于0º<α<180º可知
Sinα=
4 5
又如：
Sinα+
Cosα=
1 5
SinαCosα=
12 25
得：x2
有的特殊关系式也要记住：
11+ttggαα=tg
π 4
π
11+ttggαα=tg
π 4
+π
5、半角公式
Sinα2 =±
1
Cosα 2
Cos α2 =±
1+Cosα 2
tgα2 =±
1 Cosα 1+Cosα
5、半角公式
变形公式：
tgα2 =
Sinα 1+Cosα
=
1
Cosα Sin α
二、例题分析
tgα tgβ=tg(α β).(1 + tgαtgβ)
Sinα=
Sin2α 2Cosα
Cosα=
Sin2α 2Sinα
Cos2α Sin2α=1
Cos2α=
1+Cos2α 2
Sin2α= 1
Cos2α 2
4、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。 2α是α的二倍，α是α/2的二倍， 4α是2α的二倍，等等。
=2Cos2α 1
=1 2Sin2α

正切公式： tg2α=
2tgα 1- tg2α
(α≠Kπ+π2 且α≠
1 2
Kπ+π4 ,
K∈Z
)
4、二倍角公式 运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变 形十分重要，这是提高综合能力、提 高数学思维素质的有效手段和途径。
例如：
tgα+tgβ=tg(α+β).(1 tgαtgβ)
证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。
证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。
2、两角和与差的余弦、正弦
本节从证明两角差的余弦公式出发， 通过不同的变换，再逐步推导出两 角和的余弦及两角和与差的正弦， 说明公式间有密切的内在联系。从 这个角度准确理解，掌握好公式， 才能提高运用公式解决问题的技巧。
一、知识提要
1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系： SinαCscα=1 CosαSecα=1 tgαCtgα=1
1、同角三角比八个基本关系式 商数关系： SCionαsα=tgα CSionαsα=Ctgα
1、同角三角比八个基本关系式 平方关系： Sin2α+ Cos2α=1 tg2α+1 =Sec2α Ctg2α+1 =Csc2α
1、同角三角比八个基本关系式
平方关系： 三个阴影三角形上面顶点
平方和等于下顶点之平方 倒数关系：
对角线两顶点之积为1 商数关系：
相邻的三顶点中间一个是 两旁顶点的乘积。
附：图示分析
1、同角三角比八个基本关系式
一般的，如果已 知角α三角比，并 已知终边所在象限， 角α可唯一确定。 若未知α范围，可 根据终边象限讨论， 并相应求出三角比。
2、两角和与差的余弦、正弦 对于aSinα±bCosα这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。
即aSinα±bCosα= a2+b2 Sin(α+φ)。
其中φ由 a
Cosφ= a2+b2
b Sinφ=
a2+b2
0≤φ<2π来确定。
3、两角和与差的正切、余切
两角和的正切公式：
tg(α+β)=
而( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
=1
2152×2 =
49 25
∴ Sinα
Cosα=
7 5
联立：
Sinα+
Cosα=
1 3
Sinα
Cosα=
7 5
得： Sinα=45
Cosα=
3 5
注意：对于任意角α，总有 ( Sinα+ Cosα)2=1+2SinαCosα ( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
2、两角和与差的余弦、正弦
由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不 少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比 是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律： 对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公 式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及 2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角 比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角， 判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该 象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或 “－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看
分析：由已知条件tgα=3， 如果将已知式子变为只含式子， 就可以求得所需值。
例2：已知tgα=3，
求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
解：Sin2α + 2Cos2α + SinαCosα
=
Sin2α
+ 2Cos2α + SinαCosα Sin2α + Cos2α
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
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Cosα的值。
分析：若求出sinα cosα值，
将之与
Sinα+Cosα=
1 5
联立，
可以求出Sinα和Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
1 5
x
2125=0 则Sinα和Cosα是方程的解。
由本题可得启示：
Sinα+ Cosα值小于1时， α不在第一象限。
Sinα+ Cosα>0时， α不在第三象限。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
tgα+ tgβ 1 tgαtgβ
两角差的正切公式：
tg(α
β)=
tgα tgβ 1+tgαtgβ
这两式成立的条件是：正切符号“tg”
后面的角α、β、α+β、α β都不等
于kπ+π2 ( k∈Z )
4、二倍角公式
正弦公式：Sin2α=2SinαCosα
余弦公式：
Cos 2α=Cos2α Sin2α