《数学分析下册》期末考试卷

数学分析下册期末考试卷 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知xy u e =，则u x ∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。 2、设:L 224x y +=，则L xdy ydx -=⎰ 。 3、设 :L 229x y +=，则曲线积分ds ⎰22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分b a dy f dx ⎰⎰b y （x ，y ）的次序为 。 5、设2D y ax +≤2：x ，则 D dxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，

y ）在区域

D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上的二重积分必存在。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。

( ) 3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。 ( ) 4、第二型曲线积分与所沿的曲线L （A ，B ）的方向有关。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在点00(,)x y 连续，则函数f （x ，y ） 在点00(,)x y 必存在一阶偏导数 。 ( )

三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、用格林公式计算曲线积分

22()L

I x y dx xy dy =-+⎰ ，

其中 L 是圆周222x y a +=

2、计算三重积分

222()V x

y z dxdydz ++⎰⎰⎰，

其中2222:V x y z a ++≤。

3、计算第一型曲面积分

S

I zdS =⎰⎰ ，

其中S 是上半球面2222x y z R ++=（0z ≥）。

4、计算第二型曲面积分

S

I xdydz ydzdx zdxdy =++⎰⎰，

其中S 是长方体[][][]0,10,20,3V =⨯⨯的外表面。

5、计算四个平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成的四面体的体积。

四、证明题(每小题7分，共14分)

1、验证曲线积分

2()xy xy xy L

e xye dx x ye dy ++⎰，

与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,)u x y 。

2、证明：若函数f （x ，y ）

在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得

(,)(,)D D f x y d f S σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。

参考答案及评分标准

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）

1、xy ye ；xy xe ；xy xy ye dx xe dy +。

2、8π；

3、54π ；

4、(,)b X a a dx f x y dy ⎰⎰ ；

5、24a π。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

1、○；

2、○；

3、×；

4、○ ；

5、× .

三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、解：由格林公式，有

=22222:()D x y a I y x dxdy +≤=

+⎰⎰-----------------------------5分

=34:0,022D r a r drd a θππθ≤≤≤≤=

=⎰⎰------------------------------------------------------------9分

2、解：作球面坐标变换：cos sin ,sin sin ,cos x r y r z r θϕθϕϕ===， 则2(,,)sin J r r θϕϕ= 且

:0,0,02V V r a ϕπθπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分 2

2222224005()6sin 8495

V

V a

r x y z dxdydz

r r drd d d d r dr a ππϕθθϕϕπ'

∴++=⋅--------------------=------------------=--------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分

分

分

3

、解：2S Z R =∈≤22：x ，y ）D ：x +y

.

dS =

= ----------------------------------5分

S D I zdS ∴==⎰⎰------------8分

=3D

dxdy R π=⎰⎰ -----------------------------9分

4、解：用高斯公式，得

3I dxdydz

=⎰⎰⎰V

------------------------------------6分 =3dx dy dz ⎰⎰⎰123000

----------------------------------8分 =18-------------------------------------------------9分 解5、设:01,01D y x x ≤≤-≤≤，则所围成的四面体的体积

(1)D

V x y dxdy =--⎰⎰-----------------------------------4分

=1100(1)x dx x y dy ---⎰⎰---------------------------------6分 = 16

-----------------------------------------------9分 四、证明题(每小题7分，共14分)

1、证明：2,xy xy P e xye Q x =+=xy ，e

2xy P Q xe y x

∂∂==∂∂2xy +x ye ，，∈2（x ，y ）R . ∴曲线积分与路线无关。-----------------------------------4分 取000x y ==，则

y

u P dx Q dy =+⎰⎰x 0（x ，y ，z ）（x ，0）（x ，y ）

=200

y

x xy dx x e dy +⎰⎰-------------------------------7分

=xy xe -------------------------------------------9分

2、证明：由 最值定理，函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小

值m ，且∀∈（x ，y ）D ，有