【优质】艺术生高考数学专题讲义：考点37直线及其方程

2． 直线的斜率 (1) 定义：当直线 l 的倾斜角 α≠2π时，其倾斜角 α的正切值 tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan α.
(2) 过两点的直线的斜率公式：经过两点
＝
y2－ x2－
y1 x1.
P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) (x1≠x 2)的直线的斜率公式为 k
3， 2
此时直线
l 的方程为
y＝－
3 2x，即
3x＋2y＝ 0.
综上，直线 l 的方程为 x＋y－ 1＝ 0 或 3x＋ 2y＝ 0.
变式训练 过点 M (－3， 5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为
________．
答案
y＝－
5 3x
或
x－ y＋8＝ 0
解析 (1)当直线过原点时，直线方程为
3．已知 A(3,4) ，B(－ 1,0)，则过 AB 的中点且倾斜角为 120 °的直线方程是 __________． 答案 3x＋ y－ 2－ 3＝ 0
解析 由题意可知 A、 B 两点的中点坐标为 (1,2)，且所求直线的斜率 k＝ tan120 °＝－ 3
∴直线方程为 y－ 2＝－ 3( x－1) ，即 3x＋ y－ 2－ 3＝0.
(3) BC 边的垂直平分线 DE 的方程．
解析
(1)因为直线
BC 经过 B(2,1)和 C(－ 2,3)两点，由两点式得
BC
的方程为
y－ 3－
1 1＝
－x－2－22，
即 x＋ 2y－ 4＝0.
(2) 设 BC 边的中点
D 的坐标为
(x， y)，则
x＝
2－ 2
2 ＝
0，y＝
1＋ 2
3 ＝2.
BC 边的中线 AD 过点 A(－ 3,0)，D (0,2) 两点，由截距式得
a 12－ a
故所求直线方程为 4x－ y＋ 16＝0 或 x＋ 3y－ 9＝ 0.
(3) 当斜率不存在时，所求直线方程为 x－ 5＝ 0； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y－ 10＝ k(x－ 5)，即 kx－ y＋ (10－ 5k)＝ 0.
由点线距离公式，得
|10－ 5k| k2＋ 1 ＝ 5，解得
称性，知反射光线一定过点 (2，－ 3) ．设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直
线的方程为 y＋ 3＝ k(x－ 2)，即 kx－ y－ 2k－3＝ 0.由反射光线与圆相切，则有 d＝
|－
3k－ 2－ k2＋
2k－ 1
3|＝
1，解得wenku.baidu.com
k＝－
43或
k＝－
3 4.
5．过点 (2,1) 且在 x 轴上截距与在 y 轴上截距之和为 6 的直线方程为 ________． 答案 x＋ y－3＝ 0 或 x＋2y－ 4＝ 0
y＝－
5 3x；
(2) 当直线不过原点时，设直线方程为
ax＋
y －
a＝
1，即
x－y＝ a.代入点 (－ 3， 5)，得
a＝－ 8.
即直线方程为 x－ y＋ 8＝ 0.
解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与
y
轴交点的纵坐标值， 横截距是直线与 x 轴交点的横坐标值． 截距可为一切实数， 而距离是一
y－
1 ＝
x－
－1
3－ 1 0－ － 1
，即 y＝ 2x＋ 3，令 y＝ 0 得 x＝－ 32，
即为所求．
2．已知直线 l 1： (a－1) x＋2y＋ 1＝ 0 与 l2： x＋ay＋ 3＝ 0 平行，则 a 等于 __________． 答案 － 1 或 2
解析 由 l1∥ l2，得 (a－ 1)× a－ 2× 1＝ 0，即 a2－ a－ 2＝0，解得 a＝－ 1 或 a＝ 2. 当 a＝－ 1 时， l1：－ 2x＋ 2y＋1＝ 0，即 2x－ 2y－ 1＝0， l 2： x－ y＋3＝ 0，显然 l 1∥ l 2. 当 a＝ 2 时， l 1： x＋2y＋ 1＝ 0， l 2： x＋ 2y＋3＝ 0，显然 l 1∥l 2， 综上， a＝－ 1 或 2.
解析
由题意可设直线方程为
a＋ b＝6，
x＋ y＝ 1.则 ab
2＋ 1＝ 1，
ab
解得 a＝b＝ 3，或 a＝ 4， b＝2.
课后作业
一、 填空题
1．过两点 (－ 1,1)和 (0,3)的直线在 x 轴上的截距为 __________． 答案 － 3
2
解析
过两点 (－ 1,1)和 (0,3)的直线方程为
答案
π 4
解析
∵ k＝ 1.故倾斜角为
π 4.
2．过点 (－ 1,3)且垂直于直线 x－ 2y＋ 3＝ 0 的直线方程为 __________． 答案 2x＋y－ 1＝ 0
解析 因所求直线与直线 x－ 2y＋ 3＝ 0 垂直，故可设为 2x＋ y＋m＝0. 又因为所求直线过点 (－1,3)，所以有 2× (－ 1)＋ 3＋ m＝ 0，解得 m＝－ 1.
4． 过 P1(x1， y1)，P2(x2 ， y2 )的特殊直线方程
(1) 若 x1＝ x2，且 y1 ≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝ x1；
(2) 若 x1≠ x2，且 y1 ＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝ y1；
(3) 若 x1＝ x2＝ 0，且 y1≠ y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x＝ 0；
AD 所在直线方程为
x －
3＋
y2＝
1，
即 2x－ 3y＋ 6＝ 0. (3) 由 (1)知，直线 BC 的斜率 k1＝－ 12，则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2＝ 2. 由(2) 知，点 D 的坐标为 (0,2)． 由点斜式得直线 DE 的方程为 y－ 2＝ 2(x－ 0)，即 2x－ y＋ 2＝ 0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程：
k＝
3 4.
故所求直线方程为 3x－ 4y＋ 25＝0.
综上知，所求直线方程为 x－ 5＝ 0 或 3x－4y＋ 25＝ 0.
解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条
件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，
截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．
个非负数．
2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距
为零的情形，导致产生漏解．
3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”
等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用
.
当堂练习
1．已知直线 l ：y＝ x，则直线 l 的倾斜角为 __________．
答案 － 3
解析
由
2y＋ 1－ － 4－ 2
3
＝
2y＋ 2
4 ＝
y＋
2，
得 y＋ 2＝ tan3π＝－ 1.∴ y＝－ 3. 4
解题要点 求斜率的常见方法：
1．若已知倾斜角 α或 α的某种三角函数值，一般根据 k＝ tan α求斜率．
2．若已知直线上两点
A(x1， y1) ，B(x2， y2)，一般根据斜率公式
所以 0<k3<k2，因此 k1<k3<k 2. 4．（ 2015 山东理）一条光线从点
(－ 2，－ 3)射出，经 y 轴反射后与圆 (x＋ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 1 相
切，则反射光线所在直线的斜率为 __________．
答案
－ 43或－
3 4
解析 由已知，得点 (－2，－ 3)关于 y 轴的对称点为 (2，－ 3) ，由入射光线与反射光线的对
典例剖析
题型一 直线的倾斜角和斜率 例 1 已知两点 A(－ 3， 3) ，B( 3，－ 1)，则直线 AB 的倾斜角等于 __________ ．
答案
5 6π
解析
斜率 k＝ － 1－
3 ＝－
3－ －3
33，
又∵ θ∈ [0， π，）
∴θ＝
5 6π．
变式训练 经过两点 A(4,2y＋ 1)， B(2 ，－ 3)的直线的倾斜角为 34π，则 y＝ __________．
解析 (1)当截距不为 0 时，设所求直线方程为 x＋ y＝ 1，即 x＋ y－a＝ 0. aa
∵点 P(－ 2，3)在直线 l 上，∴－ 2＋ 3－ a＝ 0，
∴a＝ 1，所求直线 l 的方程为 x＋ y－ 1＝ 0.
(2) 当截距为 0 时，设所求直线方程为
y＝ kx，则有
3＝－ 2k，即
k＝－
(1) 直线过点 (－ 4,0)，倾斜角的正弦值为
10； 10
(2) 直线过点 (－ 3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3) 直线过点 (5,10) ，且到原点的距离为 5. 解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为
α，则
sin α＝
10 10 (0<α<π），
考点三十七 直线及其方程
知识梳理
1． 直线的倾斜角
(1) 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与
x 轴相交的直线 l，把 x 轴( 正方向 )按逆时针方
向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角．当直线 l 和 x 轴平行或重
合时，规定它的倾斜角为 0°.
(2) 倾斜角的范围为 [0 °， 180 °)．
k＝
y2－ x2－
y1 x1(
x1≠
x2)求斜率．
a 3．若已知直线的一般式方程 ax＋ by＋ c＝ 0，一般根据公式 k＝－ b 求斜率．
题型二 直线方程的求解 例 2 已知△ ABC 的三个顶点分别为 A(－ 3,0)，B(2， 1)， C(－ 2,3)，求：
(1) BC 边所在直线的方程；
(2) BC 边上中线 AD 所在直线的方程；
(4) 若 x1≠ x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，方程为 y＝ 0.
5． 线段的中点坐标公式 若点 P1、 P2 的坐标分别为 (x1， y1)、 (x2，y 2)，且线段 P1 P2 的中点 M 的坐标为 (x， y)，则
x1＋ x2 x＝ 2
y1＋ y2 y＝ 2
，此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式．
不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线
两点式 截距式
yy2－－yy11＝
x－ x1 x2－ x1
xa＋ yb＝ 1
不含直线 x＝ x1 (x1 ≠ x2)和直线 y＝ y1 (y1 ≠y2 )
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋ By＋ C＝ 0 (A2＋ B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
故在解题时， 若采用截距式， 应注意分类
讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
题型三 直线的截距式方程有关的易错题 例 3 过点 P(－ 2， 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线
l 的方程为 __________________．
答案 x＋ y－1＝ 0 或 3x＋ 2y＝ 0
从而
cos
α＝
±3
10 10
，则
k＝ tan α＝ ±13.
故所求直线方程为 y＝±13(x＋ 4)．
即 x＋ 3y＋ 4＝0 或 x－ 3y＋ 4＝ 0.
(2) 由题设知截距不为
0，设直线方程为
x＋ y ＝ 1，又直线过点 a 12－a
(－ 3,4)，
－3 从而 ＋
4 ＝ 1，解得 a＝－ 4 或 a＝9.
(3) 直线的倾斜角 α和斜率 k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是 间的关系如下：
90°的直线斜率不存在．它们之
α 0° 0°<α<90 ° 90°
k0
k>0
不存在
90°<α<180 ° k<0
3． 直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
y－ y0＝ k(x－ x0) y＝ kx＋ b
4．直线 l： ax＋ y－ 2－ a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是 __________ ． 答案 － 2 或 1
解析
由题意，知
a≠ 0，令
x＝0，得
y＝2＋ a；令
y＝ 0，得
x＝
a＋ a
2，故
2＋
a＝
a＋ a
2，
解得 a＝－ 2 或 a＝ 1.
5．直线 xcos140 °＋ysin40 ＋° 1＝0 的倾斜角是 __________ ． 答案 50°
故所求直线方程为 2x＋ y－ 1＝ 0. 3. 如图中的直线 l1、l2、l 3 的斜率分别为 k1、k2、k3 ，则 k1、k2、k3 的大小关系是 __________ ．
答案 k1<k3<k2
解析 直线 l 1 的斜率角 α1 是钝角，故 k1<0，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2>α3，
解析
将直线 xcos140°＋ ysin40 °＋ 1＝ 0 化成 xcos40°－ ysin40 °－ 1＝0，其斜率为
k＝
cos40 sin40
°°＝
tan50 ，°倾斜角为 50°.
6．直线 l 过点 (－ 1,2)且与直线 2x－ 3y＋ 4＝0 平行，则 l 的方程是 _________________ ． 答案 2x－3y＋ 8＝ 0