2019届高三文科数学一轮复习策略
高三数学一轮复习计划和进度安排
高三数学一轮复习计划和进度安排（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2018-2019届高三数学(文)一轮复习课件：第9章 统计、统计案例、概率 第3节
中a，b是待定数． n n xi－ x yi－ y xiyi－n x y i＝1 ∧ i＝1 ＝ ， b＝ n n 2 2 2 x － n x x － x i i i＝1 i＝1 ∧ ∧ a＝ y －b x .
(3)回归分析
②如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误 的概率不超过 P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”．
质疑探究 2∶k2≥3.841 和 k2≥6.635 分别说明了什么问题？
提示：独立性检验得出的结论带有概率性质，只能说结论 成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了 临界值，3.841 和 6.635 就是两个常用的临界值，一般认为当 k2≥3.841 时， 则有 95%的把握说事件 A 与 B 有关； 当 k2≥6.635 时，则有 99%的把握说事件 A 与 B 有关．
[ 答案] B
2．下面是 2×2 列联表： y1 x1 x2 总计 a 22 b y2 21 25 46 ) B．52,50 D．74,52 总计 73 47 120
则表中 a，b 的值分别为( A．94,72 C．52,74
[ 解析] 选 C.
[ 答案]
∵a＋21＝73， ∴a＝52， 又 a＋22＝b， ∴b＝74. 故
近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回 归直线． (2)回归方程 ①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线
距离的平方和 最小的方法叫做最小二乘法． 的________________
∧
∧
∧
②回归方程：方程 y ＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变 量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其
高考数学复习阶段安排计划7篇
高考数学复习阶段安排计划7篇高考数学复习阶段安排计划【篇1】一、目的：在学校高三毕业班教学备考的指导下，根据学科的特点与历年的高考说明及高考中数学的地位，使数学复习有一个依据顺序，协调班级之间的教学复习工作,使与教师充分发挥各自特长、特点、优点，出色完成高三数学复习的教学任务，让学生得到应有的数学知识，在知识的海洋中遨游，达到理想的彼岸。
二、指导思想：针对高三学生现有的真实水平及实际情况，以课本内容为基础，新课程标准及高考说明为依据，选择适合的复习资料，运用恰当的途径，熟读、细读高考说明，准确把握高考的信息、动向，规范复习，夯实基础，充分发挥本学科的科任教师的特长、特点，协调与其他学科间的横向关系，让各位老师都舒畅、乐意、轻松、出色的完成高三数学复习教学任务。
三、复习安排：1、第一轮（9月初至明年3月中旬）基础复习（课本为主，蓝本资料为辅助）。
夯实基础，让学生弄清楚所学知识的基本结构，基本技能，重视知识结构的先后顺序及掌握基础知识的方法并赋以应用。
具体课时安排：知识内容课时数1、集合与常用逻辑用语62、平面向量83、不等式的性质与解法包括基本不等式和简单的线性规划。
104、函数的概念及性质105、幂函数、指数函数、对数函数66、导数及其应用67、函数与方程，函数的综合应用48、等差数列与等比数列49、递推数列与数学归纳法410、三角函数811、三角恒等变换412、解三角形413、平面解析几何初步1014、圆锥曲线方程1015、立体几何初步1216、空间中向量与立体几何617、计数原理与概率1018、随机变量及其分布619、算法初步、统计、统计案例1220、推理与证明及复数8第二轮：（明年3月下旬到4月下旬）专题复习（视情况有机选择）。
教师以方法、技巧为主线；主要研究数学思想方法，不断提高学生分析问题、解决问题的能力，强调通性通法，系统全面地复习，灵活运用通法，培养学生的思维能力和思想方法，注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。
大冶市华中学校高三数学第一轮复习学法指导
2019届高三数学第一轮复习学法指导大冶市华中学校高三年级数学组自湖北省高考实施全国卷以来，数学试题愈加成熟稳定，只要大家积极的在科任老师的带领下，主动地做好每一个阶段的复习工作，务求落实，相信大家2019年高考一定能取得好成绩！为了提高第一轮复习的效率，在此就第一轮复习进行学法上的指导，但是真正的方法应该是你自己已经有的而且很适合的方法。
首先，备考必须知道高考考什么?怎么考?如何考?这样我们才会思考怎么备考.高考应该说是一种综合能力的选拔性考试. 分析近几年高考还是①立足基础，信守考纲，调整结构，稳中求变；②突出重点，强化主干，突出考查数学核心素养；③注重数学思想方法，突出理性思维的考查；④新旧内容有机整合，突出考查数学知识的工具作用和应用功能；⑤体现常规，适度创新，突出实际应用和能力立意；⑥注重通法，兼顾知识、方法和能力的深广度，强化区分度和选拔功能。
高三复习一般经过三个阶段, 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注重知识的完整性、系统性，初步建立明晰的知识网络. 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段.指导思想是巩固、完善、综合、提高，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力.然后，备战高考，我们如何做？在第一轮复习中要做到:三种复习，四个超前，五项要求。
第一，课下要学会“三种复习”。
提前预习――第一轮复习中，必须先练后讲，当堂巩固，这就要求同学们先于老师前一节做完，主动地将问题暴露出来，为老师教学提供问题。
在做题过程中，要注意几点：①基本题型程序化，不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练；②基本方法最优化，提高准确率，优化解题方法，提高解题质量。
高三数学备考策略-
月考
2019届高三，年级准备全年进行七次大考： 第一学期举行四次月考： 第1次月考(9月17～18日) ，第2次月考(11月5～6日)，
第3次月考(12月17～18日) ，第4次月考（四校联考） (1月25～26日)
第二学期举行三次大考： 第5次广州市一模(3月20日左右) ，第6次广州市二模 (4月20日左右)，第7次华附三模(5月20日左右)
点评-----科代表将收回的试卷 清点后交给教师，老师进行清点， 然后交给科代表发回给全班同学， 再由命题的同学在班里公布答案并 行讲解。
概率 统计
立体 几何
科代表
解析 几何
三角、 向量、 其它
数列不 等式
函数 导数
2019
8 下学
月 期5
份 月下
数
暑 旬到 假 6月
学 补 高考
备课
考到
策 略
下 学 期
极性；从同学中来到同学中去，进行有 效训练。
出题 精选 双日练 点评
操作过程是：
出题-----以数学科代表为组长， 成立了数学命题组，成员由6个人组 成（分成两个小组），全部由学生 自愿参加。提出命题要求（时量控 制在半小时内），进行合理分工 （适当按知识块分），然后由这6名 学生按要求找自己最喜欢的题，并 配有详细解答；
三
（一轮用书） 1、知识方法技能;
数
2、习题限时训练.
学 第二轮 优化设计
复
（二轮用书）
自自 主学
习
资
1、看做“知识方法技
自编“纵横 能”内容，与课堂内
料 第三轮 交错训练” 容互补；
与 使 用
及广州市 查漏补缺
2、对训练题，限时完 成，自阅总结； 3、老师课外同步辅导。
2019届高三数学一轮复习课件(文数) 第九章解析几何9-6
椭圆的弦长 AB 为椭圆的一条弦， A(x1， y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0)． (1)弦长 l＝|x1－x2 | 1＋k2＝|y1－ y2| b2x0 (2)kAB＝－ 2 . a y0 b2x0 (3)直线 AB 的方程： y－ y0＝－ 2 (x－ x0)． a y0 a2y0 (4)线段 AB 的垂直平分线方程： y－ y0＝b2x (x－ x0)． 0 1 1＋k2.
第6课时
椭
圆(二)
…2018 考纲下载… 1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程 解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 请注意 作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直 线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌 握，并适度强化．
x2 y2 1．(课本习题改编)直线y＝2x－1与椭圆 9 ＋ 4 ＝1的位置关 系是( ) B．相切 D．不确定
A．相交 C．相离
答案 A 解析 方法一：∵直线方程y＝2x－1过点(1，1) ，而(1，1) 在椭圆内部，故选A. 方法二：由 y＝2x－1， 2 2 x y ＋ ＝1 9 4 得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－
1 5．(2018· 安徽安庆六校联考)已知斜率为－2的直线 l 交椭圆 x2 y2 C： 2 ＋ 2＝1(a>b>0)于 A， B 两点，若点 P(2，1)是 AB 的中点， a b 则 C 的离心率等于( 1 A. 2 3 C. 4 ) 2 B. 2 3 D. 2
答案 D 解析 1 1 b2 1 1 kAB＝－ ， kOP＝ ，由 kAB· kOP＝－ 2 ，得 ×( － ) 2 2 a 2 2 b2 3 1－ 2 ＝ . a 2
2019届高三数学第一轮复习(文)第7讲 函数的图象
(4)伸缩变换 1 a＞1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变 a 1
①y＝f(x)
→y＝f(ax)．
0＜a＜1，横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变 a ②y＝f(x) a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 →y＝af(x)． 0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
判断正误(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象相同．( ) (2)函数 y＝af(x)与 y＝f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同．( ) (3)函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于原点对称．( ) (4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．( ) (5)将函数 y＝f(－x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y＝f(－x－1)的图象．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (教材习题改编)下列图象是函数 y＝ 2，x < 0， 的图象的是( ) {xx－ 1，x ≥ 0)
A．甲是图①，乙是图② B．甲是图①，乙是图④ C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④ 答案：B (教材习题改编)点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周，O，P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P 所走的图形是( )
答案：C (教材习题改编)已知三个函数①y＝ax；②y＝logbx；③y＝logcx 的图象如图所示，则 a、b、c 的大小关系为( )
x＋2 向上平移 1 个单位长度，即得 y＝ 的图象，如图所示． x－1
高三文科数学复习计划
高三数学（文科）教学计划一. 背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。
数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。
二、.课程目标（一）知识目标1. 系统性：贯通各模块相关知识。
通过纵向延伸和连接，构建完整、系统的知识结构。
2. 综合性：建立不同知识，不同方法、不同学科之间联系。
通过横向拓展、问题解决等，综合所学知识。
3. 灵活性：通过对重点知识的讲解和变式训练，加深理解，掌握本质和内在联系，能灵活应用知识解决问题。
4. 严谨性：通过讲解、讨论、辨析，克服学习难点、易错点和容易混淆的知识点，形成严谨、准确的知识体系。
（二）能力目标核心为数学思维能力：会对问题和资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地、准确地表达。
1. 运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
是思维能力和运算技能的结合。
2. 空间想象能力：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
3. 抽象概括能力：对具体、生动的实例能在抽象、概括的过程中，发现对象的本质；从给定的大量信息材料中，能概括出一些结论，并能将其用于解决问题或做出判断。
4. 推理论证能力：能根据已知事实或命题，论证教学命题的真实性。
包括归纳、演绎、猜想、证明。
5. 数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从数据中抽取对研究、解决问题有用的信息，并做出判断6. 数学应用意识：能综合应用所学知识、思想、方法解决问题，能理解问题所陈述的材料，并对提供的信息资料归纳、整理和分类，将实际问题抽象为教学问题；能用相关教学方法解决问题并会验证，能用数学语言正确地表达和说明。
2019届高三文科数学第一轮复习之微专题
2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题01：分段函数中的取值范围问题【学习目标】1.复习巩固分段函数的概念；2.通过分段函数中的取值范围问题研究，体会分段函数，分段处理的解题对策；3.让学生体会数形结合及分类讨论等数学思想方法在解题中的应用，从而提高分析问题与解决问题的能力.课前热身（1）知识回顾： 分段函数定义：（2）基础练习：1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=2,2,2)(2x a x x a x f x ，若函数)(x f 的值域是R ，则实数a 的取值范围是 .2.已知函数，则满足不等式的x 的取值范围是 .3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=-6,4)24(6,)(5x x ax a x f x ，若)(x f 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ；*追问：若数列{})(n f 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 . 4.已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 .典型例题例1.已知函数421,(0)()3,(1)k kkx x k f x x x k x -<<⎧=⎨-≤<⎩，满足27()8f k =-. （1）求常数k 的值；（2）若()20f x a -<恒成立，求a 的取值范围.2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩(())1f f x >例 2.函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,)(2x x x m x x f ，且0>m ，若函数1))((-=x f f y 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .例3.若函数⎩⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x x x f ，若函数a x f x g -=)(2)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .变题1.若函数⎩⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x x x f ，若函数ax x f x g -=)(2)(恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .变题2.函数⎩⎨⎧<-≥=a x x x ax x x f ,3,)(3，若函数x x f x g +=)()(恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .变题3.若函数⎩⎨⎧<-≥=ax x x ax x x f ,3,)(3，若函数ax x f x g -=)(2)(恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .专题总结巩固练习1.设函数⎩⎨⎧>-≤-=ax x ax x x x f ,2,3)(3．（1）若0=a ，则)(x f 的最大值是 ；（2）若)(x f 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．2.已知函数⎩⎨⎧≥-<+=ax x x ax x x f ,2,4)(2，若对任意的实数b ，总存在实数0x ，使得b x f =)(0，则实数a 的取值范围是 .3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=a x x a x e x x f x ,1,1)(，b x f x g -=)()(，若存在实数b ，使得函数)(x g 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 .2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题02：平面向量数量积的计算【学习目标】（1）复习平面向量的数量积的计算方法；（2）通过对数量积的计算方法的研究，感悟数学思想方法．问题1.如图，⊙O 半径为4，AB 是⊙O 的一条弦，且30OAB ∠=︒，求OA AB ⋅的值.问题2．在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，7,5AB AC ==，求AD BC ⋅的值．D C BA D CB A D CB A问题3、（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅= .巩固练习1．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则 ．AP AC ⋅=P A B C D2．（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5， CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是_______．3．如图所示，半径为6的半圆中，点,E F 为半圆弧的三等分点，,M N 为直径AB 的三等分求EM FN ⋅的值为 ．4．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB ==，则HG BC ⋅的值为 ．AGBHC2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题03：平面向量数量积的解题策略【学习目标】基底法、坐标法、几何法是处理平面向量问题的三个纬度，本节主要从基底和坐标角度研究几何图形中向量数量积的问题．例1 如图，在ABC △中，23BAC π∠=，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= ．变式1 如图，已知在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= ．例2 如图，在ABC △中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，4BA CA ⋅=，1DC DB ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．ABCDCDBADCB变式1 如图，在四边形ABCD 中，5AB AD ⋅=，4BD =，O 为BD 的中点，且3AO OC =，则CB CD ⋅= ．变式2 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．1．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅= ．2．如下图，在ABC △中，AB AC =，2BC =，AD DC =，12AE EB =．若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ．ABCDOBA B CDE2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题04：三角函数的图像与性质应用【学习目标】高考的命题方向：1．求三角函数的周期及解析式；2．求三角函数的单调区间；3．考查三角函数的图象的变换和对称性．1.函数()()sin 24f x x x ππ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭0的单调增区间是 ； 2. 函数()2sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0的值域是 ； 3.已知函数()()()2sin f x x ωϕω=+＞0，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为 ；4.将()()sin 2y x ϕϕπ=+≤0＜图像向左平移6π个单位后，得到的函数恰好是偶函数，则ϕ的值为 ；典型例题例1 函数sin()3y x π=在区间[0，t ]上恰好取得2个最大值，则t 的取值范围为____________.变题 1 函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的范围为___________________________.例2 已知函数22()sin ()cos ()sin cos 63f x x x x x ππ=-+-+⋅. (1) 求()f x 的最大值及取得最大值时的x 值；(2) 求()f x 在[0,]π上的单调区间.变题2 已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++⋅. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的单调增区间；(3)当[0,]4x π∈时，求()f x 的值域.、巩固练习1.()()sin f x x x x R ωω=∈满足()2fα=-，()0f β=，且()αβ-最小值为2π，则正数ω的值为 ；2.()()2sin 3f x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞0图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为 ； 3.已知()()()sin 0,f x A x A ωϕω=+＞＞0的图像与直线()0y b b A =＜＜的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则()f x 的单调增区间为 ；4.已知函数()2sin 2cos 22cos 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （3）求()f x 在[]0,π的单调增区间；2019届高三文科数学第一轮复习之微专题专题05：利用函数的性质和构造函数研究不等式问题分类剖析题型一：利用函数性质解决与抽象函数有关的不等式问题1.设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f ,则a 的取值范围为 .2.设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又 0)123()12(22<-+-+++a a f a a f ，则a 的取值范围为 .3.设函数)(x f 是定义在区间[]1,1-的奇函数，任意的[]1,1,-∈b a ，当a+b 0≠时，都有0)()(>++b a b f a f ，则不等式)41()21(-<-x f x f 解 .4.已知函数)(x f y =是),0(+∞的增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=,1)2(=f ,不等式3)2()(<-+x f x f 的解集 .题型二：直接利用函数图像与性质研究不等式问题5.定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为 .6.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 . 7. 已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围 .8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(21x x x x x f a ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围 .题型三：利用构造新函数研究不等式问题9.已知函数x ax x g x x f +==2)(,ln )(，若对任意的[)恒成立)()(,,1x g x f x ≤+∞∈，则a 的取值范围 .10已知函数),0(,1ln )(<--=a x a x x f 若对任意的[])(1)(1)()(),(4,3,12122121x g x g x f x f x x x x -<-≠∈恒成立，求a 的最小值 . 11设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 .12.函数的定义域是R ，，对任意，则不等式的解集为 .专题总结巩固练习1.定义在[]2,2-的偶函数)(x g ，当0≥x 时，)(x g 单调递减，)()1(m g m g <-成立，则m 的取值范围 .2.已知⎩⎨⎧>+-≤-=02602)(2x x x x x x f ,则关于x 的不等式2(3)(2)-<f x f x 的解集为 . 3.已知函数,sin 11ln )(x xx x f +-+=则关于a 的不等式0)2()2(2<-+-a f a f 的解集 . 4.己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 .5.已知不等式a x x >12对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围 .6.已知函数x x g mx x x f ln )(,)(2=-=，若对任意有意义的x ，不等式)()(x g x f >恒成立，求m 的取值范围 .'()f x ()()f x x R ∈(1)0f -=0x >'()()0xf x f x -<()0f x >x ()f x ()02f =()(),1x R f x f x '∈+>()1x x e f x e ⋅>+R ()f x ()f x '()()f x f x '<(2)f x +(4)1f =()x f x e <。
高三数学复习计划
高三数学复习计划高考数学复习是一项系统工程，如何进行有效的复习，针对我校的实际情况，下面谈谈我们的做法。
一、夯实解题基本功高考数学题很多源于课本，因此要依据教学大纲和考试大纲，强化基础知识的落实和巩固。
注重对课本例题、习题的演变训练，将课本内容延伸、提高。
数学高考历来重视运算能力，运算要熟练、准确，运算要简捷、迅速，运算要与推理相结合，要合理，并且在复习中要有意识地养成书写规范，表达准确的良好习惯。
二、不依靠题海取胜，注重题目的质量和处理水平由于复习的时间紧任务重，要避免题海战术，教学要精心备课，选择典型例题，使学生少走弯路。
对立意新颖、结构精巧的新题予以足够的重视，要保证有相当数量的这类题目，但也不一味排斥一些典型的所谓“新题”、“热题”。
传统的好题，应足够重视，陈题新解、熟题重温可使学生获得新的感受和乐趣。
要特别重视讲评试卷的方法和技巧。
三、分层辅导，强化训练1.对于优生(90分以上)，我们组建了培优班，由6个文科班中的数学前40-50名同学组成，培优的目的主要是能使这些优秀的学生在高考中数学成绩稳定在115分左右，部分学生能超过125分。
培优是对重点知识内容深化，是使他们既能熟练掌握，又能灵活应用，并在解题过程中，不断强化、固化。
同时还要培养他们的应试技巧。
2.对于中等生(65-90分，比例较大)，我们组建了两个提高班。
主要针对中上等学生和只有数学单科较弱的中等学生群体，帮助他们树立学习数学的兴趣并改变数学拖后腿的现象。
中等生的提高意味着上线率的提高，对此我们十分的重视。
提高班的主要目的是加强对“基本知识、基本技能、基本方法”能力培养，以强化解题方法、解题思路为主，讲解选择题、填空题、解答题中的基础题得分技巧。
对重点、难点、疑点、误点、弱点、考点进行强化训练。
3.对于学数学有困难的学生(主要集中在2，5，6班，数学成绩在30分以下)，我们本着“不抛弃，不放弃”的原则，以课本为主，强化数学知识的概念、定理、公式、法则，加以理解，要求记忆、默写，并会简单应用。
2019年高三文科数学一轮复习：算法与程序框图(解析版)
2019年高三文科数学一轮复习：算法与程序框图（解析版）A组基础达标一、选择题1．(2017·北京高考)执行如图9-1-13所示的程序框图，输出的s值为()图9-1-13A．2B．3 2C．53 D.85C[开始：k＝0，s＝1；第一次循环：k＝1，s＝2；第二次循环：k＝2，s＝3 2；第三次循环：k＝3，s＝53，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为5 3.故选C．]2．(2018·榆林模拟)执行如图9-1-14所示的程序框图，输出S的值为()图9-1-14A．－3115B．－75C．－3117D．－2117C[由程序框图可知i＝1，S＝1 3；i＝2，S＝－1 7；i＝3，S＝－9 13；i＝4，S＝－31 17，此时不满足条件，退出循环，输出S＝－31 17.]3．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图9-1-15所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()图9-1-15A．35 B．20C．18 D．9C[由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次：v＝4，i＝1；第二次：v＝9，i＝0；第三次：v＝18，i＝－1.i＝－1<0，结束循环，输出v＝18，故选C．]4．(2018·黄山模拟)随机抽取某产品n件，测得其长度分别是a1，a2，…，a n，如图9-1-16所示的程序框图输出样本的平均值为s，则在处理框①中应填入的式子是()图9-1-16A．s＝s＋a ii B．s＝is＋a ii＋1C ．s ＝s ＋a iD ．s ＝(i －1)s ＋a i iD [设a 1＋a 2＋…＋a i ＝S i ，则在第i －1次时S i －1＝(i －1)s ，在第i 次时S i ＝S i －1＋a i ，∴s ＝S i i ＝S i －1＋a i i ＝(i －1)s ＋a i i，故选D.] 5．(2016·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )图9-1-17A ．2B ．4C ．6D ．8B [S ＝4不满足S ≥6，S ＝2S ＝2×4＝8，n ＝1＋1＝2；n ＝2不满足n >3，S ＝8满足S ≥6，则S ＝8－6＝2，n ＝2＋1＝3；n ＝3不满足n >3，S ＝2不满足S ≥6，则S ＝2S ＝2×2＝4，n ＝3＋1＝4； n ＝4满足n >3，输出S ＝4.故选B ．]6．(2018·河南百校联盟模拟)《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图9-1-18所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )图9-1-18A．4 B．5C．7 D．11A[由程序框图知m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2；m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3；m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4，接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a －93，跳出循环，输出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4.]二、填空题7．(2017·江南名校联考)某程序框图如图9-1-19所示，判断框内为“k≥n？”，n为正整数，若输出的S＝26，则判断框内的n＝________.4[依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26.因此当输出的S＝26时，判断框内的条件n＝4.]图9-1-19图9-1-208．执行如图9-1-20所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为________．4[执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414＞0.005，a＝32，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086＞0.005，a＝75，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014＞0.005，a＝1712，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|＜0.005，输出n＝4.]9．执行下边的程序，输出的结果是________．S＝1i＝3WHILE S＜＝200S＝S*ii＝i＋2WENDPRINT iEND11[根据循环结构可得：第一次，S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由于3≤200，则循环；第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由于15≤200，则循环；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由于105≤200，则循环；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由于945＞200，则循环结束，故此时输出i＝11.]10．(2018·资阳模拟)MOD(m，n)表示m除以n的余数，例如MOD(8,3)＝2.如图9-1-21是某个算法的程序框图，若输入m的值为48，则输出i的值为________．图9-1-219[由程序框图可知，该程序框图计算输入值m除去自身的约数的个数.48的非自身的约数有1,2,3,4,6,8,12,16,24，共9个，易知输出i的值为9.]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()图9-1-22A．3B．4C．5D．6B[开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B．]2．(2018·长沙模拟)给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图9-1-23所示，那么判断框①处和执行框②处应分别填入()图9-1-23A．i≤30？；p＝p＋i－1 B．i≤31？；p＝p＋i＋1C．i≤31？；p＝p＋i D．i≤30？；p＝p＋iD[由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初始值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i≤30；第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即为1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即为2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即为4＋3＝7；……故②中应填写p＝p＋i.故选D.]3．(2018·江西宜春模拟)若开始输入x的值为3，则输出的x的值是()图9-1-24A．6 B．21C．156 D．231D[∵x＝3，∴x(x＋1)2＝6，∵6＜100，∴当x＝6时，x(x＋1)2＝21＜100，∴当x＝21时，x(x＋1)2＝231＞100，停止循环，则最后输出的x的值是231，故选D.]4．(2018·石家庄模拟)如图9-1-25所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝－12，则输出的S的值为________．图9-1-258[由程序框图知，初始值：S＝－12，n＝1；第一次循环，S＝－10，n＝2；第二次循环，S＝－6，n＝3；第三次循环，S＝0，n＝4；第四次循环，S＝8，n＝5，此时S＞n，退出循环，输出S＝8.]。
2019届高考文科数学一轮复习讲义：第3章 导数及其应用 全套打包可编辑
第三章导数及其应用§3.1导数的概念及运算1．平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝ΔyΔx，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．4．基本初等函数的导数公式表5.导数的四则运算法则 设f (x )，g (x )是可导的，则 (1)(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 知识拓展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二 教材改编2．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 3．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程为______________． 答案 x ＋πy －π＝0解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π＝－ππ2＝－1π， ∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.题组三 易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134答案 D6．(2018·青岛调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)等于( )A ．2 018B ．－2 019C ．2 019D ．－2 018答案 B解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x ，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018， 即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.7．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 答案 1解析∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又点(2,7)在切线上，可得a＝1.题型一导数的计算1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于()A．e2B．1C．ln 2 D．e答案 B解析f′(x)＝2 018＋ln x＋x×1x＝2 019＋ln x，故由f′(x)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于() A．－1 B．－2C．2 D．0答案 B解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.答案－4解析∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.思维升华导数计算的技巧求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程典例 (1)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为__________________．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x (x －1)2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)． 命题点2 求参数的值典例 (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b ＝________. 答案 1解析 由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y ＝4x －x 2上两点A (4,0)，B (2,4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是( ) A ．(3,3) B ．(1,3) C ．(6，－12) D ．(2,4)答案 A解析 设点P (x 0，y 0)，∵A (4,0)，B (2,4)， ∴k AB ＝4－02－4＝－2.∵在点P 处的切线l 平行于弦AB ，∴k l ＝－2. ∴根据导数的几何意义知，曲线在点P 的导数 y ′|0x x ＝＝(4－2x )|0x x ＝＝4－2x 0＝－2，即x 0＝3，∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x －x 2上， ∴y 0＝4x 0－x 20＝3，∴P (3,3)． 命题点3 导数与函数图象典例 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()答案 B解析 由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝______.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎨⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练 (1)(2017·孝义模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________． 答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2， ∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. (2)设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1 解析 ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示：现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝y ′|0x x ＝＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164. 综上，a ＝1或a ＝164. 纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)答案 C解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a ) ＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.3．(2017·西安质检)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.4．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.5．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|0x x ＝＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .6．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2 017 D ．－2 017答案 B解析 ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.7．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为______． 答案 3解析 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )， 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是____________． 答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，故f ′(1)＝2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3， 所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 10．(2018·成都质检)已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________________．(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ， g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2， 故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．11．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.12．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x －，g ′(x )＝a x ，由f ′⎝⎛⎭⎫14＝g ′⎝⎛⎭⎫14，得12×⎝⎛⎭⎫1412－＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．14．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为________． 答案2解析 由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.15．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．16．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0， 得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17； 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.§3.2 导数的应用1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．知识拓展1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)题组二教材改编2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值 答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立， ∴f (x )是增函数．3．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案 D解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x >0)，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0， ∴x ＝2为f (x )的极小值点．4．函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________． 答案 (0,4)解析 f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)， 由f ′(x )<0，得0<x <4，∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．5．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值分别为__________．答案 4，－43解析 由f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )>0，得x >2或x <－2；令f ′(x )<0，得－2<x <2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增； 在(－2,2)上单调递减，而f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，故f (x )在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.题组三 易错自纠6．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点答案 C解析导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．7．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为____________．答案(1，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.∴不等式的解集为(1，＋∞)．8．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－e x<－1，∴a＝－e x<－1.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 答案 B解析 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选B. 2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 答案 D解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二 含参数的函数的单调性典例 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增． 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练 已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性． 解 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2a a. ①当0<a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ； ②当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a >1时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0.题型三 函数单调性的应用问题命题点1 比较大小或解不等式典例 (1)(2017·南昌模拟)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3 答案 A解析 令g (x )＝f (x )sin x ， 则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x， 由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3， 即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332， ∴3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. (2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________．答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0， ∴φ(x )＝f (x )x在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0， ∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2 根据函数单调性求参数典例 (2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)． (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)， 所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解， 即a >1x 2－2x有解． 设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x恒成立． 由(1)知G (x )＝1x 2－2x， 所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0， 所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．解 因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立， 又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则h ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解， 又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．解 (1)因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号．所以f (x )＝x 3－1在R 上是增函数．所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．(2)f ′(x )＝3x 2－a .当a ≤0时，f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a ≤0不合题意．当a >0时，令3x 2－a <0，得－3a 3<x <3a 3，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， 由题意知，3a 3＝1，即a ＝3.用分类讨论思想研究函数的单调性典例 (12分)已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．规范解答解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝(2ax －1)(x －1)x.[2分] ∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1.[4分]当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，[6分] 若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a， 由g ′(x )<0，得12a <x <1；[8分] 若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a或0<x <1， 由g ′(x )<0，得1<x <12a ， 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0.[10分] 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[12分]1．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的递增区间是( ) A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)答案 D解析 由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的递增区间是(e －1，＋∞)．2．(2018·济南调研)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )答案 C解析 由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C.3．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2mx ，∴f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2，∴由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 4．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立， 故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．5．(2018届广东珠海二中月考)若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≤1D ．0<a <1 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由已知3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，即a ≥32x －12x恒成立， 又当x ∈(0,1)时，t ＝32x －12x的值域为(－∞，1)， ∴a ≥1.6．若f (x )＝ln x x，e<a <b ，则( ) A ．f (a )>f (b ) B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1 答案 A解析 f ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，所以f (a )>f (b )． 7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________.答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解，∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根，∴b ＝－3，c ＝－9，∴b ＋c ＝－12.8．(2018·昆明调研)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________________．答案 {x |x <－1或x >1}解析 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12， ∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0， 即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知函数f (x )＝－13x 3＋mx 2－x ＋2在区间(1,2)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫54，＋∞解析 f ′(x )＝－x 2＋2mx －1，由题意知f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，∴m ≥12⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在(1,2)上恒成立， 又当x ∈(1,2)时，12⎝⎛⎭⎫x ＋1x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 故m ≥54. 10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x， 则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′ ＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0， 故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，由g (x )＞g (1)＝0，得f (x )x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f (x )x＜0，所以f (x )＞0.综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．11．(2018·大理质检)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x(x >0)． 又由题知f ′(1)＝1－k e＝0，所以k ＝1. (2)f ′(x )＝1x －ln x －1e x(x >0)． 设h (x )＝1x－ln x －1(x ＞0)， 则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，所以f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，所以f ′(x )＜0.综上，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．12．(2017·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x .试讨论f (x )的单调性．解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(1)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减．(2)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．(2017·承德调研)已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)答案 D解析 令g (x )＝f (x )e x ， 则g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )e x ′＝f ′(x )e x －f (x )e xe 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 017)<g (0)，即f (1)e 1<f (0)1，f (2 017)e 2 017<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)．14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________． 答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－(x －1)(x －3)x， 由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.16．已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )，①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增；②当a >0时，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调减区间为(0，a )；③当a <0时，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，单调减区间为(a,0)．综上可知，当a ＝0时，f (x )在R 上单调递增；当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调减区间为(0，a )；当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，单调减区间为(a,0)．(2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，∃x 0∈(－2，－1)，使不等式g ′(x 0)＝x 20－ax 0＋2<0成立，即当x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22即可． ∴满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．第2课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值典例 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．命题点2 求函数的极值典例 (2017·泉州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x . 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－a e＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－a e x ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．命题点3 根据极值求参数典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为_______． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1，由f ′(x )＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c )2－12>0，∴c >32或c <－32. (2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 C解析 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a <103， 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0答案 C解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．(2)函数y ＝2x －1x 2的极大值是________． 答案 －3解析 y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1. 当x <－1或x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0.∴当x ＝－1时，y 取极大值－3.题型二 用导数求函数的最值典例 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值． 解 f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. ①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．②若k ≠0，则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.(ⅰ)若k <0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0.所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，(ⅱ)若k >0，由k <1e， 得1k >e ，则x －1k<0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立， 所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．综上，当k <1e时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1e＋k －1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.引申探究本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值如何？ 解 由f (x )＝ln x －12x 2， 则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 因为当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1； 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝－12. 思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．跟踪训练 设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，72 解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23， 又f (1)＝72，f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727， f (－1)＝112，f (2)＝7， 故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三 函数极值和最值的综合问题典例 (2018·珠海调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.。
高中数学一轮复习计划
高中数学一轮复习计划高三文科数学一轮复习计划一、指导思想按照新课程标准的要求，根据数学高考试题“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点和本校学生的实际，在高三数学复习中我们以潜心钻研新课标、仔细研究新考纲、有效落实双基、科学组织备考为指导思想，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益，以加强双基教学为主线，以提高学生数学能力为目标，加强学生对知识的有效理解、联系应用，同时，结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力，力争我校2016年高考数学成绩上一个新台阶。
二、复习依据根据新课程指导实施意见，以人教社新教材、2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲(数学)及湖北省的补充说明为复习依据，仔细阅读研究新课程标准，同时参考近几年高考试题及新课程标准和教材。
三、时间安排2015年7月10日至2016年4月1日(见后面) 四、近几年来高考数学试题特点1、以考查基础为主体2、突出主干内容及新增内容3、突出学生的应用意识和创新能力4、突出数学思想方法5、灵活多变、全面五、复习重点一阶段复习，基础知识复习阶段，要体现基础性、全面性、熟练性，有效性。
(1)基础性:根据数学新课程标准，强调复习内容应是数学课程标准要求的数学基础知识，它包括数学基础知识、基本技能和基本方法。
(2)全面性:根据考纲的要求，对高中数学中的每个知识点进行全面的复习，对常用数学方法进行全面的总结。
(3)熟练性:即指通过复习，学生对数学基础知识和基本数学方法要熟练地掌握和运用，要加强运算求解、数据处理的能力，为以后进一步复习打下扎实的基础。
(4)有效性:即指通过复习，学生能够科学有效的解答试题，得到试卷的有效分数。
要到达目的:(1) 深化对“双基”的掌握和运用;(2) 形成有效的知识模块(3) 归纳总结常用的数学思想方法;(4) 帮助学生积累解题经验，提高解题水平;训练学生的数学运算求解、数据处理能力，特别是有条理的书面表达能力。
六、复习方法与措施1、深化集备，发挥群体优势通过讨论，确定要讲内容，重在实效性，一轮资料合理使用，有效增减，删补，注重通解通法，落实高效课堂，高效训练，提高评讲，练习的针对性。
2019届江苏高三数学一轮复习讲义+课时作业第四章三角函数第19讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求 1.同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α(B级要求)；2.π2±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式(B 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修4P23习题11改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________.解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案 33.(2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 答案 154.(2018·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________.解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29， ∴sin θ－cos θ＝23或－23.又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.答案 －235.(2017·泰兴中学检测)已知3sin α＋4cos α＝5，则tan α＝________. 解析 由3sin α＋4cos α＝5，两边平方得9sin 2α＋24sin αcos α＋16cos 2α＝25， 即9sin 2α＋24sin αcos α＋16cos 2α＝25(sin 2α＋cos 2α)， 从而16sin 2α－24sin αcos α＋9cos 2α＝0. 故(4sin α－3cos α)2＝0， 所以4sin α＝3cos α， 故tan α＝34. 答案 34知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式考点一同角三角函数基本关系式及其应用【例1】(1)(教材改编)已知cos θ＝35，且3π2<θ<2π，那么tan θ的值为________.(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________.解析(1)因为θ为第四象限角，所以tanθ<0，sin θ<0，sin θ＝－1－cos2θ＝－45，所以tanθ＝sin θcos θ＝－43.(2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝3 2.答案(1)－43(2)32规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)(2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋2sin αcos α＝________.(2)(2018·苏州模拟)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析(1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－1 3，1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝1＋tan2α1＋2tan α＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.(2)由sin θ－2cos θ＝－25及sin2θ＋cos2θ＝1得：(2cos θ－25)2＋cos2θ＝1⇒5cos2θ－85cosθ－2125＝0⇒cosθ＝35或cosθ＝－725，因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sinθ＝－2425，∴sinθ＋cos θ＝－31 25.答案(1)103(2)－3125考点二诱导公式的应用【例2】(1)(2018·连云港模拟)计算：sin 116π＋cos103π＝________.(2)(2017·宿迁模拟)已知f(x)＝sin()2π－x·cos⎝⎛⎭⎪⎫32π＋xcos（3π－x）·sin⎝⎛⎭⎪⎫112π－x，则f(－21π4)＝________.解析(1)∵sin 116π＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π＋56π＝－sin5π6＝－12，cos 103π＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＝cos4π3＝－12，∴sin 116π＋cos103π＝－1.(2)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·（－cos x ）＝－tan 2 x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π4＝－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π4＝－tan 234π＝－1. 答案 (1)－1 (2)－1规律方法 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练2】 (1)(2018·扬州中学开学考试)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1，2)，则cos(π－α)的值是________.(2)(2017·南通一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2(π3－x )的值是________.解析 (1)由已知及三角函数定义可得cos α＝55， 由cos(π－α)＝－cos α得cos(π－α)＝－55. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59. 答案 (1)－55 (2)59考点三 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 (1)(2018·泰兴模拟)设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________；(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 (1)由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. 答案 (1)m ＋1m －1(2)－223 规律方法 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响，注意常见互余与互补的角：①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等. ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等.【训练3】 (1)(2017·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. (2)(教材改编)化简：tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos （2π＋α）＝________.解析 (1)由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(2)因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α. 所以原式＝－tan αsin α（－cos α）＋－sin α（－sin α）－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 答案 (1)0 (2)1一、必做题1.(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝________. 解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513， 故tan α＝sin αcos α＝－125. 答案 －1252.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝________.解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55. 答案 －553.(必修4P19例1改编)sin(－585°)的值为________.解析 sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225° ＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22. 答案 224.(教材改编)已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________.解析 原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案 125.(2017·泰州模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________.解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 答案 26.(2017·如东中学期中)若sin α＝2cos α，则sin 2α＋2cos 2α的值为________. 解析 由sin α＝2cos α得tan α＝2，因此sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan 2α＋1＝4＋24＋1＝65.答案 657.若f (cos x )＝cos 3x ，那么f (sin 30°)的值为________.解析 因为sin 30°＝sin(90°－60°)＝cos 60°，所以f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos(3×60°)＝cos 180°＝－1. 答案 －18.(2018·扬州中学质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 －139.(1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)求值： 设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6的值. 解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.10.(2016·淮阴中学期中)已知tan α是关于x 的方程2x 2－x －1＝0的一个实根，且α是第三象限角. (1)求2sin α－cos αsin α＋cos α的值；(2)求cos α＋sin α的值.解 ∵2x 2－x －1＝0，∴x 1＝－12，x 2＝1，∴tan α＝－12或tan α＝1，又α是第三象限角，所以tan α＝1. (1)2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×1－11＋1＝12.(2)∵⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝1，sin 2α＋cos 2α＝1且α是第三象限角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－22，cos α＝－22，∴sin α＋cos α＝－ 2. 二、选做题11.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 019)的值为________.解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3， ∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－3. 答案 －312.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________. 解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4. 又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 1－ 5。
文科备战一轮复习：第6章 第1节 数列的概念与简单表示法
①②两式相减，得 nan＝(n＋1)－n＝1，
所以
an＝1n，又当
n＝1
时，1≠a1，不满足此式，所以
2，n＝1， an＝1n，n≥2.
2，n＝1， [答案] (1)A (2)an＝1n，n≥2
►名师点津 ———————————————————
1．已知 Sn 求 an 的三个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系式，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 的表达式合并．
解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－ 1，当 n＝1 时，2－1＝1≠a1，不满足此式，
故 an＝22， n－n＝ 1，1， n≥2，n∈N*. 答案：22， n－n＝ 1，1， n≥2，n∈N*
2
课 堂 ·考 点 突 破
4．已知数列{an}为12，14，－58，1136，－2392，6614，…，则数列{an}的一个通项公式是 ________________．
解析：各项的分母分别为 21，22，23，24，…，易看出从第 2 项起，每一项的分子 都比分母少 3，且第 1 项可变为－2－2 3，
故原数列可变为－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，… 故其通项公式可以为 an＝(－1)n·2n2－n 3.
考点 由数列的前几项求数列的通项公式
|题组突破|
1．数列 0，23，45，67，…的一个通项公式为( )
A．an＝nn－ ＋12(n∈N*)
B．an＝2nn－＋11(n∈N*)
高三数学复习备考计划安排(7篇)
高三数学复习备考计划安排（7篇）高三数学复习备考计划安排精选篇1一复习的指导思想第一轮复习中我们坚持贯彻落实“全面系统扎实灵活创新”的总体指导思想，根据本校学生实际，立足基础，构建知识网络，形成完整的数学知识体系，面向低中档题目抓训练，提高学生运用知识的能力，要突出抓思维教学，强化数学思想的运用，要研究高考题，分析相应的应考对策，优化复习过程，提高复习效率。
二复习的时间根据本校实际，一轮的复习时间：__年9月初——__年2月初三复习措施高三数学复习时间紧内容多任务重，为科学有效的进行一轮复习，我们决定采取以下措施：1研究高考吃透大纲，明确复习方向我们组要充分利用集体备课和教研活动时间，组织老师认真学习将近三年的课程标准考纲和考试说明，精心研究近几年的高考试题，对每节的考试要求认真研究准确把握，明确复习方向，根据近几年高考试题的难度，确定复习的广度和深度。
2团结协作，群策群力，扎实教研一是加强备课，发挥集体智慧，让集体备课落到实处。
全体备课组成员要统一思想，心往一处想，劲往一处使，针对复习中存在的突出问题，加强集体研究，共同寻找对策，加强相互交流，尽心筛选各类高考信息。
其次，让听评课制度化。
我们鼓励老师之间互相听课评课。
听课要听出经验，听出问题;评课要评出信心，评出不足，评出改进措施，让讲课老师讲出激情发现问题提高素质，越讲越好。
3重视“三基”作用，强调通行通法，淡化特殊技巧高中数学的考试宗旨是测试数学基础知识基本技能基本思想和方法，以及学生的后继学习能力。
因此，复习中要使学生熟练掌握“三基”，认真体会通行通法在解题中的作用，只有基础打牢了，同形同法掌握了，能力的.形成才会水到渠成。
为此，在平时复习中，我们加强了数学基本方法的归纳和总结，注重了通行通法的训练。
在解决问题的探索过程中，激活学生的思维，在知识归纳的过程中，概括出数学思想方法，当然，在方法的总结过程中，充分发挥学生的主体性，教学相长，让学生对各部分的基本方法形成清晰的方法网络。
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 4-4 三角恒等变换讲义 文
π4＋α＝π2－π4－α等；2.将三角变换与代数变换密切结合：三角变 换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分 解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x＋ cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
考点突破 提能力
5 5.
因为 A 为钝角，所以
cosA＝－ 1－sin2A＝－
1－
552＝－2
5
5 .
由 sinB＝ 1100，且 B 为钝角，可得
cosB＝－ 1－sin2B＝－
1－
11002＝－3
10 10 .
所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2 5 5×－3 1010－
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的 给值
三角函数值，解题关键在于“变角”，使其 求值
角相同或具有某种关系
给值 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所
求角 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数
解法二：原式＝
cos2α
2tanπ4－αcos2π4－α
＝
cos2α
＝ cos2α
2sinπ4－αcosπ4－α sinπ2－2α
＝ccooss22αα＝1.
考点二 三角函数式的求值——常考点 角度解读：三角函数的化简求值是三角函数的基本考点之 一，各种题型都有，有时也与解三角形联合起来综合考查．
(1)本例在寻找选项中的正确命题时，从两个角度进行了证 明，一是根据角之间的关系——α＋β，α－β 与 2α，2β 之间的关 系，利用所证角表示已知角，代入已知等式进行化简；二是利用 选项的共性——两个角的正切值之间的比例关系，直接作商，然 后根据已知等式进行化简．解决此类问题要抓住两个方面 ：一 是角，二是三角函数值．
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2019届高三文科数学一轮复习策略近几年年高考文科数学试卷充分体现对基本知识、基本方法的考查，所以高三的学生在复习时，要在基础知识、基本题型、基本解法上下狠功夫，争取在一轮复习过程中夯实基本知识和基本技能，要积极思考数学问题，分析问题的本质，注重知识间的横向纵向联系，提升知识综合应用能力。
1、强化基础
数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮复习的重中之重。
考生复习基础知识要抓住本学科内各部分内容之间的联系与综合进行重新组合，对所学知识的认识形成一个较为完整的结构，达到牵一发而动全身的境界。
强化基本技能的训练要克服眼高手低现象，主要在速算、语言表达、解题、反思矫正等方面下功夫，尽量不丢或少丢一些不应该丢失的分数。
2、全面复习，查漏补缺
对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，对每个知识点都要理解透彻，明确它们之间以及与其他知识之间的联系，这是一轮复习中应该重点解决的问题。
这一阶段复习的基本方法是从大到小、先粗后细，把教学中分割讲授的知识单点、知识片断组织合成知识链、知识体系、知识结构，使之各科内容综合化、基础知识体系化、基本方法类型化、解题步骤规范化。
考生在这一过程应做到以下几点：①概念的准确理解和实质性理解;②基本技能、基本方法的熟练和初步应用;③公式、定理的正逆推导运用，抓好相互的联系、变形和巧用。
3、不搞题海战术，学会融会贯通
考生学好数学就必须做题，各种类型题目的训练是必须的，但决不能搞题海战术。
对立意新颖、结构精巧的新题予以足够的重视，要保证有相当数量的这
类题目，也要注意课本上的传统的好题。
强化通性通法的训练，要控制题目的难度，提高解题效率，并善于在解题后进行归纳总结，学会举一反三、融会贯通。
4、注重培养良好的能力和习惯
(1)解题速度。
考试的时间紧，是争分夺秒，复习一定要有速度意识，加强速度训练。
(2)运算能力。
数学高考历来重视运算能力，运算要简捷、迅速、熟练、准确。
(3)规范表达。
在以中低档题为主体的高考中，要更加注重规范表达，赢在细节。