材力学 第10章 压杆稳定
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(英汉双语)工程力学第十章 压杆稳定
P x L P P
P
M ( x, y ) = Py
②Approximate differential equation of the deflection curve
y
xM P P 2 2 y ′′ + y = y ′′ + k y = 0 , where : k = EI EI 19
M P y ′′= = y EI EI
EIy′′= M ( x)= Py+M
x M0 Let
k2 = P EI
y ′′ + k 2 y = k 2
M0 P P
M0
M y = c cos kx + d sin kx + ′ = d cos kx c sin kx P y
The boundary conditions are:
M P
x=0, y= y′=0;x=L, y= y′=0 27
③Solution of the differential equation： ④Determine the integral constants：
y = A sin x + B cos x
y ( 0 )= y ( L )= 0
A× 0 + B = 0 That is A sin kL + B cos kL = 0
Instable equilibrium
15
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
16
3).loss of stability of compressed column：
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
建筑力学压杆稳定课件
E c 0.57 s
0.43，
E c 0.57 s
对Q235钢：
s 235MP ， a
cr 235 0.00668 2
c 123
(MPa)
第10章 压杆稳定 2、临界应力总图
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
第10章 压杆稳定
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。
压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界荷载（Critical loads）。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然 弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象 也称为 屈曲。
第10章 压杆稳定
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的 平衡时所对应的轴向压力， 称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示
上述说明有、无扫地杆的脚手架搭设是完 全不同的情况，在施工过程中要注意这一 类问题。
cr1 cr 2 196.5 37.94 100% 80.6% cr1 196.5
第10章 压杆稳定
10.3 压杆的稳定计算
一、安全系数法 压杆稳定条件为：
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
l
i
0.7 1800 79.85 ＜ 15.78
c 123
2
所以压杆为中粗杆，其临界应力为
cr1 240 0.00682 196.5MPa
（2）第二种情况的临界应力 一端固定一端自由 因此 μ=2 计算杆 长l=1.8m
第10章 压杆稳定
i
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
欧拉公式的适用范围
1、临界应力（ critical stress ）和柔度
压杆稳定PPT课件
E20G0P , a设计要求的强度安全系数 n2,
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式
材料力学之压杆稳定课件
变形量等，绘制 压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
《压杆的稳定》课件
塑性失稳通常发生在粗短杆或厚壁杆中，因为这些 杆件在受到压力时容易发生塑性变形。
失稳的判别准则
欧拉准则
欧拉准则是最早的判别压杆失稳的准则，它基于弹性理论 的推导，通过计算临界压力来判断压杆是否失稳。
伯奇准则
伯奇准则是在欧拉Байду номын сангаас则的基础上发展而来的，它考虑了压 杆的柔度系数，通过比较柔度系数和临界柔度系数来判断 压杆是否失稳。
新型设计方法的研究
数值模拟
利用计算机模拟技术，预测压杆在不同工况下的稳定性，为设计提供更精确的 依据。
拓扑优化
通过优化压杆的截面形状和结构，使其在满足强度和刚度要求的同时，具有更 好的稳定性。
压杆稳定与其他学科的交叉研究
流体力学
研究压杆在流体作用下的稳定性，如流体诱发的振动和失稳 。
控制理论
将控制理论应用于压杆的稳定性分析中，实现主动控制和优 化控制。
和安全性。
在这些领域中，压杆的稳定性分 析需要考虑更为复杂的因素，如 风载、地震、海浪等外部作用力
。
05
压杆稳定的未来发展
新材料的应用
高强度钢
通过改进制造工艺和合金元素，提高 钢材的强度和韧性，使其在承受更大 压力时仍能保持稳定性。
复合材料
利用纤维增强复合材料的各向异性特 性，优化压杆的截面形状和结构，提 高其稳定性。
实验设备
压杆试样
不同材料、截面形状和长度的压杆试样。
测量仪器
位移计、应变计、力传感器等，用于测量压 杆的变形和受力情况。
加载装置
砝码、杠杆、滑轮等，用于施加压力或拉伸 力。
支撑装置
支架、底座等，用于固定压杆和加载装置。
实验步骤
1. 准备压杆试样，确保其质量和尺寸符合实验 要求。
失稳的判别准则
欧拉准则
欧拉准则是最早的判别压杆失稳的准则，它基于弹性理论 的推导，通过计算临界压力来判断压杆是否失稳。
伯奇准则
伯奇准则是在欧拉Байду номын сангаас则的基础上发展而来的，它考虑了压 杆的柔度系数，通过比较柔度系数和临界柔度系数来判断 压杆是否失稳。
新型设计方法的研究
数值模拟
利用计算机模拟技术，预测压杆在不同工况下的稳定性，为设计提供更精确的 依据。
拓扑优化
通过优化压杆的截面形状和结构，使其在满足强度和刚度要求的同时，具有更 好的稳定性。
压杆稳定与其他学科的交叉研究
流体力学
研究压杆在流体作用下的稳定性，如流体诱发的振动和失稳 。
控制理论
将控制理论应用于压杆的稳定性分析中，实现主动控制和优 化控制。
和安全性。
在这些领域中，压杆的稳定性分 析需要考虑更为复杂的因素，如 风载、地震、海浪等外部作用力
。
05
压杆稳定的未来发展
新材料的应用
高强度钢
通过改进制造工艺和合金元素，提高 钢材的强度和韧性，使其在承受更大 压力时仍能保持稳定性。
复合材料
利用纤维增强复合材料的各向异性特 性，优化压杆的截面形状和结构，提 高其稳定性。
实验设备
压杆试样
不同材料、截面形状和长度的压杆试样。
测量仪器
位移计、应变计、力传感器等，用于测量压 杆的变形和受力情况。
加载装置
砝码、杠杆、滑轮等，用于施加压力或拉伸 力。
支撑装置
支架、底座等，用于固定压杆和加载装置。
实验步骤
1. 准备压杆试样，确保其质量和尺寸符合实验 要求。
材料力学第十章 压杆稳定性问题2
在求Pcr 及 cr的基础上，进行稳定性校核。 的基础上 进行稳定性校核
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
Page 13
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
Page 6
材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
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Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
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材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
材料力学 第10章 压杆稳定
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
材料力学课件第十章压杆稳定
第十章
压杆稳定
① 强度
构件的承载能力
② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
第十章
2.工程实例
压杆稳定
工程构件稳定性实验
第十章
压杆稳定
压杆稳定性实验
第十章
压杆稳定
第十章
其他形式的稳定问题
压杆稳定
F Fcr
第十章
3.失稳破坏案例
压杆稳定
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河 上建造1907年8月29日，发生稳定性破坏，86位工人伤亡，成为
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
第十章
压杆稳定
10.2 两端绞支细长压杆的临界压力
x
F
l
m w
y B
m
x y
F M(x)=-Fw
m x B m
第十章
该截面的弯矩
压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x )
M ( x ) Fw
F M(x)=-Fw
第十章
10.1 压杆稳定的概念
压杆稳定
1.引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
FN max [σ ] A
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发 生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
《压杆稳定教学》课件
增加约束
总结词
通过增加支撑、固定或增加附加约束，可以 提高压杆的稳定性。
详细描述
约束是影响压杆稳定性的重要因素。通过增 加支撑、固定或附加约束，可以限制压杆的 自由度，从而增强其稳定性。例如，在压杆 的适当位置增加支撑或固定点，可以减小压 杆的弯曲变形，提高其稳定性。此外，通过 增加附加约束，如套箍或加强筋等，也可以 提高压杆的稳定性。
实验结果与分析
实验结果
通过实验观察和数据记录，得到不同条件下 压杆的稳定性表现。
结果分析
根据实验数据，分析影响压杆稳定性的因素 ，如压杆的材料、截面形状、长度、直径等 。通过对比不同条件下的实验结果，总结出
压杆稳定性的一般规律和特点。
THANKS
感谢观看
REPORTING
稳定性安全系数
通过比较临界载荷与实际载荷的大小，来判断压杆的 稳定性。
稳定性试验
通过试验的方法，对压杆进行稳定性测试，以验证其 在实际使用中的稳定性。
PART 02
压杆的分类与计算
REPORTING
长细比较小的压杆
弹性失稳
当受到垂直于杆轴的压力时，杆件会 弯曲并丧失承载能力。
临界压力
当压杆达到临界压力时，杆件将发生 屈曲。
PART 05
压杆稳定性的实验研究
REPORTING
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定性的基本概念和原理，了解影响压杆稳定性的因 素。
实验原理
压杆稳定性是指细长杆在受到轴向压力时，抵抗弯曲变形的能力。当轴向压力 超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，丧失稳定性。本实验通过观察不同 条件下压杆的变形情况，分析影响压杆稳定性的因素。
根据欧拉公式计算临界应力：$sigma_{cr} = frac{EI}{A}$
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n Fcr sin kl 0 kl n k l EI 临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
压杆稳定性问题不容忽视！
研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般 都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有 任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突 然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大 的破坏性。
在机械工程中的一些受压杆件如千斤顶、 活塞连杆、托架结构的压杆等和在建筑工程中 的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考 虑其稳定性要求。
一、压杆稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆， σb=20MPa；A＝10mm×30mm F
两杆的极限承载 长杆长：l＝1000mm 能力是否相同？
1m
若按强度条件计算，两根杆压 缩时的极限承载能力均应为： F
30mm
短杆长：l＝30mm
F= σb A=6kN
F
F
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约为6kN 时，因木纹出现裂纹而破坏。
压杆不能保持其原
来直线平衡状态而突 然变弯的现象，称为 压杆失稳。
稳定失效是区别于强度失效和刚度失效的又一种
失效形式。
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题 桁架稳定性
二、工程中的稳定问题
桁架吊索式公路桥
压杆失稳的严重后果：
案例1 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目 扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使 大楼倒塌死502人，伤937人。
原有的直线平衡状 态是不稳定平衡状态。
扰动力
压杆由直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡------失稳（屈曲）
3、不稳定的平衡状态
当压力大于临 界压力，压杆只 要受到轻微干扰， 就会屈曲，直至 弯折。 原有的直线平衡状 态是不稳定平衡状态。
>Fcr
F>Fcr
弹性压杆的稳定性
F Fcr —稳定平衡状态
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 工程中的压杆稳定问题
理解
§10.2
§10.3
压杆稳定性概念 压杆的临界应力
压杆的稳定性计算
掌握
掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式
掌握
§10.4
§10.5 §10.6
掌握 了解
提高压杆稳定性的措施
关键术语 压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力 Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl 重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式
2、压杆的临界应力
3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计 难点 1、压杆临界压力的计算
2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
①强度 工程中有些构件
构件的承载能力：
②刚度 ③稳定性
具有足够的强度、刚
度，却不一定能安全 可靠地工作。 理想压杆：
均质材料
压力作用线与轴线重合 直杆
F Fcr —不稳定平衡状态
关键
确定压杆的临界力压 Fcr
稳定失效——杆件在压力超过某一值后，在外界扰动下，其 直线的平衡形式将突然转为弯曲形式，致使杆件丧失正常功
能。这种失效形式即为稳定失效。
三、稳定问题与强度问题的区别
压杆
平衡状态 应力 平衡方程
强度问题
直线平衡状态不变 达到强度限值
稳定问题
§10.2 一、平衡的稳定性
稳定平衡：
压杆稳定性的概念
干扰平衡的外力消失 后，小球能自动回到原 来的平衡位置
不稳定平衡：
干扰平衡的外力 消失后，小球不能回 到原来的平衡位置 干扰平衡的外力消失 后，小球可在任意位置 继续保持平衡。
临界平衡：
显然，临界平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态， 也称为随遇平衡。
Fcr x M(x)=－Fcrw w x w Fcr w B x Fcr
A
Fcr
①弯矩： M ( x ) Fcr w Fcr x M(x)=－Fcrw w x w Fcr ②挠曲线近似微分方程：
M ( x) Fcr w w EI EI Fcr w " w w " k 2 w 0 EI Fcr 2 其中:k EI ③微分方程的通解：
平衡形式发生变化 小于比例限值 ss p
变形前的形状、尺寸 实验确定
变形后的形状、尺寸
理论分析计算
极限承载能力
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
§10.3
细长压杆临界压力的欧拉公式
思考:1、什么压杆才是细长压杆？ 2、临界力Fcr与哪些因素有关？它是由外力确定的吗？ 一、两端铰支的细长压杆 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状 态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
F
（2）长杆在压力增加到约 4kN时突然弯向一侧，继续 增大压力，弯曲迅速增大， 杆随即折断。
1m
F
30mm
F
F
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同！
• 短压杆的破坏属于强度问题
F
1m
• 长压杆的破坏则属于能
否保持其原来的直线平衡 状态的问题（稳定性问题）
F30mmFF压杆稳定性：压杆保 持其原来直线平衡状 态的能力。
"
w A sin kx B cos kx
w A sin kx B cos kx
④确定积分常数A、B： w(0) w( l ) 0 k 2 Fcr
EI
A 0 B 0 即: A sin kl B cos kl 0
0 1 0 si nkl cos kl
二、压杆的稳定平衡状态与不稳定平衡状态
1、稳定的平衡状态 <Fcr
<Fcr
扰动力
扰动力撤除 后，能恢复到 原有的直线平 衡状态。
原有的直线 平衡状态是稳 定平衡状态。
2、临界平衡状态与临界压力Fcr =Fcr F=Fcr 当扰动力撤除后， 它不能恢复到原有 的直线平衡状态， 而保持微弯状态下 的平衡——临界平 衡状态。这时压杆 的的轴向压力称为 临界压力Fcr。
压杆失稳的严重后果：
案例2 2010年1月3日下午14:20，在昆明新机场的配套引桥工 程在混凝土浇筑施工中，突然发生了支架垮塌事故，造成7人 死亡，8人重伤，26人轻伤，直接经济损失616.75万元。
其原因是桥 下支撑体系 突然失稳， 8m高的桥面 随即垮塌下 来。
压杆失稳的严重后果：
案例3 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手 架失稳造成屋顶倒塌，死6人，伤34人。