2013年全国初中数学竞赛试题
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1 （B ）1 （C （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=o，ACB ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB=（ ）（A ）2 （B （C ）（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ）（A （B （C （D6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC V 中，60,75,10A C AB ∠=∠==oo，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF V 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)
2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
2010-2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2010-2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 2．若实数,,a b c 满足等式3||6a b =，9||6a b c =，则c可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 3．若ba ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310xx --=的两根也是方程420xax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为na ，如2009200911a =+++=，201020103a=+++=，12320092010a aa a a +++++=（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22xy +=13 .2．二次函数cbx xy ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知ACAB 3=，︒=∠30CAO ，则c =19． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝10．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试 （A ） 一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213ab c ab ac bc ++---=，求符可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC. 又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条NQIPCA直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c=+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y xbx c=+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y xbx c=+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-. （1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=. (2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤. 由根与系数的关系可得39m n b a+=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y xx =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26mn m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x的两根21,xx 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有pk x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k . 因为12x xp+=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+xp ．不妨设2|1+xp ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k xm-+=，故121(2)(2)k x xmp m-+++=+，即1214k x xmp m-++=+．又12x xp+=-，所以14k p mp m --+=+，即41)1(=-++mk p m②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾.因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．题号一二三总分1～56～1011 12 13 14得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）14 （第2题）3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k ≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD 相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x 轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan， tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+=（B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a=，且120x x ≠，所以0c ≠，且221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC ·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设33a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=，因此333(2)9)9b +==．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有： 45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．（第7题答题）（第7题）若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y 所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y xx =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32CE 2，BE ＝25因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案
一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
海南省2013初中数学竞赛初赛试题参考答案
海南省2013初中数学竞赛初赛试题参考答案答案提示：4、由三角形外角大于任何一个不相邻的内角与∠ACB 小于180°可知90°＜6x ＜180°，由此可得 15°＜x ＜30°，故选择B ．5、a 是质数，b 是奇数，且20132=+b a ，所以a 、b 必是一奇一偶，所以可求得a =2，b=2009，所以a ＋b ＋2=2013．6、由数列3、7、12、18、25……可判断存在的规律为：第①个数为3，第②个数为3+4，第③个数为3+4+5，第④个数为3+4+5+6，第⑤个数为3+4+5+6+7……如此可断定第⑩个数为3+4+5+……+12=75,故选择C ．7、设两码头之间的航程为S ，船在静水中的速度为a ，水流的速度为b ，则船顺水所需的时间为ba S+船逆水所需的时间为b a S -，则船往返一次所需的时间为b a S ++b a S -=222b a aS -由此可判断船在静水中的速度不变与水流的速度总小于船在静水中的速度的条件下，水流的速度b 越大，a 2－b 2越小，船往返一次所需的时间为222b a aS-就越大，故选择A ．8、由矩形AOBC 的面积为8，可求矩形PEOF的面积为2， 又点P 在第一象限，所以K=2， 故选择B ．9、如图，分别以大的正方形中间”十”字所在的直线为对称轴可画出2、3两图，分别以正方形对角线所在直线为对称轴可画出4、5两图，再加上第1幅图，总共有5个符合条件的三角形，故选择A ．10、若点M 在圆上，点M 与圆心A 的距离等于圆的半径2，容易判断点（2，0）是圆A 与X 轴正半轴的交点、点（0，-2）是圆A 与y 轴负半轴的交点，另外，可以通过构造直角三角形判断点(2，－2)与圆心A 的距离等于2，也可以用两点公式求出点(2，－2)与圆心A 的距离等于2，因此A 、B 、C 三个选项中的点均在圆上，而点(1，－2)与圆心A 的距离等于1，小于圆A 的半径，点(1，－2)不在圆上，故选择D ．二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、（3x －2y ）212、5- 13、2 14、3 15、2＜x ＜716、13.5 17、1或7 18、5 答案提示：12、55255252)52(55252552-=-=---=---13、由128421=⋅+x x 得 721222=⋅+x x 所以有 72)1(=++x x 所以 x 的值为2．因为关于x 的方程x 2－4x ＋a =0的两个实数根为x 1、x 2，由根与系数的关系得x 1+x 2=4，所以⎩⎨⎧=+=-4032121x x x x ，解得⎩⎨⎧==3121x x ，所以a =3． 15、构造右图，延长中线AD 到A ’，使AD=A ’D ， 可证△ABD ≌△A ’CD ，设AD=x ，A A ’=2 x ，由三角形三边不等关系可得 9-5＜2x ＜9+5，从而有2＜x ＜7．16、设直线AB 的解释式为y =3x+b ， 由题意可知直线AB 过点（-3、0），故b=9，所以直线AB 与y 轴的交点为（0，9），则直线AB 与坐标轴所围成的三角形的面积为3×9÷2=13.5平方单位．17、如图7，把线段AM 绕点A 画弧，可见N 、C 两点的距离存在两种情况：①点N 在边BC 上，②点N 在边CB 的延长线上；可以证明△ADM ≌△ABN ≌△ABN ’，所以有BN=BN ’=DM=3,所以N 、C 两点的距离是：1或7．18、提示：可证AE=DE ，BE=DE ，由此得到DE 的长是5．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、解：（1）设种植园应向海口供应的黄帝蕉有x 千克,则向海口供应的香牙蕉有2x 千克,根据题意列方程得：2x +x =15000，解得：x =5000，则2x =10000所以种植园供应文昌市的香牙蕉应为12000-10000=2000千克，植园供应文昌市的黄帝蕉应为5000-2000=3000千克．（2）设应安排m 千克香牙蕉在海口市销售，则在海口市销售的黄帝蕉为（15000-m ）千克；在文昌市销售的香牙蕉与黄帝蕉分别为（12000-m ）千克、（m-7000）千克，则这批香蕉的销售收入y 与m 的函数关系式为：y=4.8m+5（15000-m ）+3.6（12000-m ）+4.2（m-7000） 即y=0.4m+88800 (7000≤m ≤12000)从函数关系式看m 的值越大，销售收入y 就越大，即香牙蕉应尽可能多地安排在海口市销售，所以若要使销售收入最大，需安排12000千克香牙蕉与3000千克黄帝蕉在海口市卖，安排5000千克黄帝蕉图7ACBDN N ’M ACBDA ’在文昌市卖，最大销售收入为y=0.4×12000+88800=93600(元) ． 20、解：（1）设直线OC 的解析式为y=k x ，∵直线OC 过点C （1、1），∴k=1, ∴直线OC 的解析式为y=x ∵直线MN 与OC 平行，∴可设直线MN 的解析式为y=x+b ， ∵直线y=x+b 过点B （1，0），∴b=-1,∴直线MN 的函数解析式为y=x-1(此题也可以通过求点B 、D 的坐标，再利用待定系数法求直线MN 的解析式) （2）当点P 在x 轴的上方时 ∵四边形AOBC 是正方形∴OB=BC ，∠BCD=∠ACB=90°，∠BCO=45° 又MN 与OC 平行∴∠CBD= ∠BCO=∠BDC= 45°，∴BC=OB=CD 由AC ∥OB 知AD ∥OB ∴∠OBP = ∠CDQ∵CQ ∥OP ∴∠OPB = ∠CQD∴△OBP ≌△CDQ同理可知，若点P 运动到x 轴的下方，△OBP 与△CDQ 依然全等 （3）①设点P 的横坐标为（a ，b ）因为点P 在直线y=x -1上，则点P 的坐标可表示为（a ，a -1） 若四边形OPQC 为菱形，则有OP=OC=2作PF ⊥x 轴于点F ，在Rt △OPF 中有 OF 2+PF 2=OP 2即2)1(22=-+a a解得：2311+=a ，2312-=a 则2131-=b ，2132+-=b 即当四边形OPQC 为菱形时，点P 的坐标为（231+，213-）或（231-，213+-）②由①知点P 存在两种情况使四边形OPQC 为菱形，即点P 在第一象限与第三象限 ⅰ）当点P 在第一象限时（如点P 1），方法一(如图9A)：过点C 作CH ⊥MN 于点H ， 则△C HQ 是直角三角形，由（2）的证明可知△BCD 是等腰直角三角形，且 BC=OB=CD=1 ∴CH=22,若四边形OPQC 为菱形，则有CQ=OC=2，∴CH=21OC ∴∠CQH=30° ∴∠P 1OC= 30° 方法二（如图9B ）：连接AB 交OC 于点G ，过点P 1作P 1H ⊥OC 于点H 则△OP 1H 是直角三角形，在正方形AOBC 中有AB ⊥OC ，又MN ∥OC ，∴∠BGH= ∠P 1HG=∠GB P 1= 90° ∴四边形P 1BGH 是矩形， 又四边形OPQC 为菱形∴P 1H=BG=21AB=21OC =21O P 1∴∠P 1OC= 30°ⅱ）当点P 在第三象限时(如点P 2)，令x =0，则y=x -1=-1，即直线MN 与y 轴的交点E 的坐标为（0，-1） 则OE=OB ，则∠OEB=∠OBE= 45°则∠OEP 2=∠OBP 1= 135°又四边形OPQC 为菱形∴O P 2=O P 1 =OC ∴∠O P 2E=∠O P 1B ∴△O P 2E ≌△O P 1B (AAS) ∴∠E O P 2=∠B O P 1∵∠B O P 1=∠B O C-∠P 1 OC=45°-30°=15° ∴∠E O P 2=15°，∴∠P 2OC=150°综合以上论述可知，当四边形OPQC 为菱形时，∠POC 的度数为30°或150°。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤.D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. NCA又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC. 又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<. 又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾.因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（B）12 （C）13 （D）143．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan， tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+=（B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b x x a+=-，12cx x a=，且120x x ≠，所以0c ≠，且221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967 （B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=-，因此33(2)9b +==．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最（第7题答题）（第7题）大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223yx x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝CE ，BE ＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
全国初中数学竞赛预赛九年级试题及答案201331
全国初中数学竞赛预赛九年级试题注意：考试时间为120分钟，试卷满分为120分.一、选择题（每小题6分，共30分，以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内）1.设a ＞0＞b ＞c ，1=++c b a ,,,b c a c a bM N P a b c+++===,则,,M N P 之间的关系是:（ ）A M ＞ N ＞ PB N ＞P ＞MC P ＞M ＞ND M ＞P ＞N2.如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且 8=DBCE S 四边形ADE S ∆ 那么:AE AC 等于（ ）A 1 : 9B 1 : 3C 1 : 8D 1 : 23.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ ）A41 B 61 C 81 D 1214.如图,AB 是半圆O 的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是正方形,其中C,D,E 在AB 上, F ,N 在半圆上.若AB =10,则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）A 25B 50C π-30D π250-5.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②若点(,)P a b 在第三象限,则点)1,(+--b a Q 在第一象限;③函数11-=x y 的图象平移后可以和函数11+=xy 的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个B A DE二、填空题（每小题6分，共30分，直接将答案填在题后横线上）6.规定一种运算“*”：对于任意实数对),y x （恒有)1,1(),(),(2--++=*y x y x y x y x 。
若实数b a ,满足),,(),(),(a b b a b a =*则=a ，=b7.50名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳3人和2人的两种帐篷，则有效搭建方案共有 种。
全国初中数学竞赛汇编1998~2013
全国初中数学竞赛汇编1998~2013一、前言全国初中数学竞赛是一项旨在选拔和培养数学人才，推动数学教育的发展的重要比赛，经过多年的发展，竞赛题目涵盖了初中数学知识的各个方面，涉及到数学的逻辑思维、推理能力、创造性思维等多种能力的考察，对参赛学生的综合素质有着很高的要求。
二、全国初中数学竞赛汇编1998~2013的意义全国初中数学竞赛自1998年启动以来，通过每年的竞赛活动不断积累了大量的优质试题资源，这些试题既反映了我国初中数学教学的发展水平，也展示了我国初中学生的数学学习和思维能力。
对这些试题进行汇编整理，有助于总结和共享优秀数学教育资源，为广大学生提供学习参考和辅助。
三、1998~2013年全国初中数学竞赛试题的特点1998~2013年的全国初中数学竞赛试题涉及了从基础的数学运算到较为复杂的逻辑推理、数学建模等多个层面的内容。
试题往往注重学生对数学知识的理解和应用，考察学生的数学思维和创新能力，题目设置也贴合了时代的背景和学生的实际生活，具有一定的启发性和趣味性。
四、全国初中数学竞赛汇编1998~2013的组织结构1. 1998~2013年全国初中数学竞赛试题按年份和题型进行了整理和分类，方便学生和教师查阅和使用。
2. 每年的试题均包括选择题和主观题两个部分，每个部分的试题按照难易程度进行了排列。
3. 每道试题配有标准答案和详细的解析，有利于学生在做题过程中对知识点的理解和巩固。
五、全国初中数学竞赛汇编1998~2013的使用价值1. 对于学生，这些试题可以作为复习和提高数学能力的重要资料，尤其是对于即将参加全国初中数学竞赛的学生，这些试题可以帮助他们更好地了解竞赛的考试形式和试题类型。
2. 对于教师，这些试题可以用于备课和教学参考，丰富和拓展教学内容，提高教学质量。
3. 对于学校和教育管理部门，这些试题可以作为考试命题和选拔学生参加相关赛事的重要参考依据。
六、结语全国初中数学竞赛汇编1998~2013是一部反映我国初中数学教育发展和学生数学能力的珍贵资料，它所蕴含的教育价值和推动作用不可忽视。
2013年全国初中数学竞赛河南赛区预赛(含答案)
BD第3题图6 74 51 2 3第2题图2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若有理数a 、b 满足 (1))0a a b +++=，则ab 等于【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）无法确定 【答】A ．解：因为a 、b 都是有理数，且(1))0a a b ++=，所以10a +=,且0a b +=，得1,1a b =-=，所以1ab =-．2. 如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠（相邻的 两个面垂直）成正方体后，重叠的两个面所标数字是【 】（A ）1和7 （B ）1和6 （C ）2和7 （D ）2和6【答】B ．解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC 交AC 于点O ，AE 平分∠CAD 交BD 于点E ，∠ABC =α，∠ACB =β，给出下列结论：①∠DAE =12β；②AD AO CB CO =；③∠AEB =1()2αβ+； ④∠ACD =180()αβ︒-+．其中一定正确的有】（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个【答】B ．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE=111222DAC ACB β∠=∠=，∴①正确；（2）∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴AD AOCB CO=，∴②正确； （3）∠AEB =∠DAE +∠ADB =∠DAE +∠CBD =1()2αβ+，∴③正确；（4）∵∠BAC =180()αβ︒-+，只有当AB ∥DC 时，∠ACD =180()αβ︒-+才能成立．∴④不正确.综上，应选B.4．如图，直线l 1、l 2相交于点)2,3(A ， l 1、l 2 与x 轴分别交于点(1,0)B 和(2,0)C -，则当012>>y y 时，自变量x 的取值范围是【35P Q 2341063515B 20104A 111（A ）2->x （B ）1>x （C ）13x << （D ）23x -<< 【答】C ．解：由图象可知当12y y >时，3<x ，当01>y 时，1>x ，所以当012>>y y 时，13x <<. 故应选C ．5．关于x 的不等式33ax a x +>+的解集为3x <-，则a 应满足【 】 （A ）1a > （B ）1a < （C ）a ≥1 （D ）a ≤1 【答】B ．解：由33ax a x +>+，得(1)(3)0a x -+>，由不等式的解集为3x <-，知30x +<，所以10a -<，得1a <．故应选B ．6．如图的象棋盘中，“卒”从A 点走到B 点，最短路 径共有【 】（A ）14条 （B ）15条 （C ）20条 （D ）35条 【答】D ．解：如右图，从点A 出发，每次向上或向右走一 步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如： 到达点P 、Q 的最短路径条数分别为2和3. 以此类推， 到达点B 的最短路径条数为35条. 选D.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．计算：322-= ． 【答】21-．解：原式=22211.2⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭8．如图是三个反比例函数x k y 1=，x k y 2=，xk y 3=在x 轴上方的图象，则1k 、2k 、3k 的大小关系为 ．【答】123k k k >>．解：由图象可知1k 为负数，2k 、3k 为正数，不妨取x =1，代入解析式，显然点2(1,)A k 在点3(1,)B k 的正下方，所以320k k >>，又1k 为负数，所以123k k k >>．9．有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是 ．第6题图yxO y =k 3xy =k 2xy =k 1x【答】15．解：摸出的2个球都是黑球的概率是2116515⨯=，所以摸出的球颜色一样的概率是113155⨯=. 10．如图，点C 是线段AB 上一个动点，∠A =∠B =30°，∠ADC =∠BEC =90°，若AB =8cm ，则CD +CE = cm ．【答】4．解：在Rt △ADC 中，∠A =30°，得AC DC 21=，同理BC EC 21=,所以4212121==+=+AB BC AC EC DC ( cm)．11．关于x 的方程2(1)20x m x m +-++=的两实数根之积等于272m m -+，则8m +的值是 ．【答】4．解：由题意得2272m m m +=-+，解得120,8m m ==，当10m =时，原方程无实数根，当28m =时，原方程有两个不相等的实数根，所以8164m +==.12．计算：1111111111111145667134567034567145⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝116670⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎭. 【答】12013． 解：令1111456670a +++⋅⋅⋅+=，则原式=1671a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭13a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭113671a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×a =211132013671a a a +++2113671a a a ---=12013. 三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y 人，6人、5人、4人一列分别可以整排a 、b 、c 列，则62524y a b c =-=+=．（a 、b 、c 是正整数）∴ 6252,624.a b a c -=+⎧⎨-=⎩①②················································ 4分由②，得 62312(1).422a a a a c --+-=== 因为c 为正整数，可令12,a m -= 所以21,a m =+（m 是正整数） ③ 将③代入①，得6(21)25 2.m b +-=+图①图②E∴ 122102(1).55m m m b +++== ················································· 7分 因为b 为正整数，可令15,m n += 所以51,m n =-（n 是正整数） ④ 将④代入③，得 2(51)110 1.a n n =-+=- ···································· 11分 ∴ 626(101)2608.y a n n =-=--=- （n 是正整数）.当n =1时，y 有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ········ 14分14．如图，在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上任取一点E （A 、B 两点除外），过E 、B 、C 三点的圆与BD 相交于点H ，与正方形ABCD 的外角平分线相交于点F ，与CD 相交于点G ．（1）求证：四边形EFCH 是正方形； （2）设BE =x ，△CGH 的面积是y ， 求y 与x 的函数解析式，并求y 的最大值．【答案】（1）∵ E 、B 、C 、H 、F 在同 一圆上，且∠EBC =90°，∴ ∠EHC =90°，∠EFC =90°． ················································· 2分又 ∠FBC =∠HBC =45°，∴ CF = CH ． ······································ 4分 ∵ ∠HBF +∠HCF =180°，∴∠HCF =90°． ······························ 6分 ∴ 四边形EFCH 是正方形． ·················································· 8分（2）∵ ∠GHB +， ∴ ∠GHB =90°CHE =90°∴ ∠CHG +∠∠CHB ． ∴ ∠CHG =∠∴ CG =BE =x ， 1CG x =-········· 12分 ∴ △CGH 中，CG 边上是高为11(1).22DG x =- ∴ 211111(1).224216y x x x ⎛⎫=⋅-=--+ ⎪⎝⎭ ····································· 15分当x =12时，y 有最大值116． ·················································· 16分 15. 数学活动课上，李老师出示了问题：已知，如图①，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，设BD =a ，用含有a 的式子表示AD 的长.经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图②，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．通过证明△ABD ≌△ACF ，得到CF =a ，进而推出CE，所以AD =DE =CD +CE =(1.a a +=+图③E图④E在此基础上，李老师又提出了如下问题： 已知△ABC 中，∠BAC =45°，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高，设BD =a ，CD =b ，求AD 的长.请你画图并解答这个问题． 【答案】（1）当∠ACB 为直角时，△ABC 为直角三角形，b =0，AD=AC=BD =a ． 2分 （2）当∠ACB 为锐角时，如图③，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．则△CEF 和△ADE 都是等腰直角三角形.设AD DE x ==，CF EF m==. 则AE=. ∴AF m =-. ·· 4分 ∵ ∠F AC +∠CAD =45°，∠DAB +∠CAD =45°， ∴ ∠F AC =∠DAB .又 ∵∠AFC =∠ADB =90°，∴△F AC ∽△DAB . ……………………6分∴.FA FCDA DB=即.m m x a -= 解得.m x a=+∴2axCE x a x a===++. ····················· 8分 ∵CE CD DE AD +==, ∴2axb x x a+=+. ···························· 10分 整理得 2()0x a b x ab -+-=.解得1x=2x =（舍去）. 12分（3）当∠ACB 为钝角时，如图④，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．与（1）中的求法类似，可设AD DE x ==，CF EFm ==，则AF m =-.同（1）中的理由，得△F AC ∽△DAB ，2axCE x a=+. ∵AD DE CE CD ==-, ∴2axx b x a =-+. ································ 16分 整理，得 2()0x a b x ab --+=，解得x =…17分 综上，AD 的长为a 或2ab +或2a b -+或． ······························································ 18分。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised on November 28, 2020中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2（C ）2 （D ）22（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）OAB CED4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，xyO ECABD若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择題（共5小题，每小题6分，共30分Q1 （甲）.如果实数Z b, C 在数轴上的位置如图所示，那么代数式4^-∖a + b ∖+^（c-a ）2 + ∖b+c ∖可 以化简为（）.b（甲）.如果正比例函数y = ax （.a ≠ 0）与反比例函数y =~ ≠0 ）的图象有两个交点，其X中一个交点的坐标为（一3, -2）,那么另一个交点的坐标为（ ）.(B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3, 2)2（乙）.在平面直角坐标系Xoy 中，满足不等式√+y≤2^+2y 的整数点坐标（x,y ）的个数为（ ）.△川¾7是等边三角形.ZAz)C = 30o, AD = 3, BD = 5, 则09的长为().(A) 3√2 (B) 4 (C) 2√5(D) 4.54（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币•小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的力倍”；小玲对小倩说：'‘你若给我力元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正(A) 2c-a (B) 2a-2b (C) -a(D) a(乙).如果Λ = -2 + √2 ,那么1 +一 的值为2 + —3 + α ).(A) -√2(B) √2(C) 2(D) 2√2(A) (2, 3) (A) 10 (B) 9 (C) 7 (D) 5 2a+b, a+b+1这四个数据的平均 数与中位数之差的绝对值是（).、2a —I 1 1 (A) 1 (B)(C)-(D)-4243 （乙）.如图， 四边形磁9中，AC t別是对角线，3 （甲）.如果a, b 为给定的实数，且1 <a<b,那么1, a + L整数，则力的可能值的个数是（（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 44（乙）.如果关于北的方程x 2-px-q = 0 （p, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的 个数是（）.（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6.掷两次骰子，设 其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的概率为P 。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题〔共5小题，每题6分，共30分.〕1〔甲〕．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c ++-+可以化简为〔 〕．〔A 〕2c a - 〔B 〕22a b - 〔C 〕a - 〔D 〕a 1〔乙〕．如果22a =- 〕．〔A 〕2- 〔B 2 〔C 〕2 〔D 〕22〔甲〕．如果正比例函数y = ax 〔a ≠ 0〕及反比例函数y =xb 〔b ≠0 〕的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为〔－3，－2〕，那么另一个交点的坐标为〔 〕． 〔A 〕〔2，3〕 〔B 〕〔3，－2〕 〔C 〕〔－2，3〕 〔D 〕〔3，2〕2〔乙〕． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标〔x ，y 〕的个数为〔 〕． 〔A 〕10 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕53〔甲〕．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数及中位数之差的绝对值是〔 〕． 〔A 〕1 〔B 〕 〔C 〕12 〔D 〕143〔乙〕．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 那么CD 的长为〔 〕． 〔A 〕23 〔B 〕4 〔C 〕52 〔D 〕4〔甲〕．小倩和小玲每人都有假设干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你假设给我2元，我的钱数将是你的n 倍〞；小玲对小倩说：“你假设给我n 元，我的钱数将是你的2倍〞，其中n 为正整数，那么n 的可能值的个数是〔 〕．OAB CED〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕44〔乙〕．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数〕的正根小于3， 那么这样的方程的个数是〔 〕．〔A 〕 5 〔B 〕 6 〔C 〕 7 〔D 〕 85〔甲〕．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，那么0123p p p p ，，，中最大的是〔 〕．〔A 〕0p 〔B 〕1p 〔C 〕2p 〔D 〕3p5〔乙〕．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，那么经过99次操作后，黑板上剩下的数是〔 〕． 〔A 〕2021 〔B 〕101 〔C 〕100 〔D 〕99二、填空题〔共5小题，每题6分，共30分〕6〔甲〕．按如图的程序进展操作，规定：程序运行从“输入一个值x 〞到“结果是否>487？〞为一次操作. 如果操作进展四次才停顿，那么x 的取值范围是 .6〔乙〕.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么的值为 ． 7〔甲〕．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 及DE ，DB分别交于点M ，N ，那么△DMN 的面积是 . 7〔乙〕.如下图，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，假设12OC =，那么线段CE 、BD 的长度差是 。
2013年新知杯上海市初中数学竞赛试题及参考答案
当且仅当 BD FC 时等号成立，此时
1 1 1 1 2 1 2 1 1 + + ， + + 的最大值是 1 ． 1 1 4 AB AC BC AB 4 AC BC 2 2
10.已知是不为 0 的实数,求解方程组: x (1) xy a y xy y 1 (2) x a 分析：可考虑两式相减，得：
=
1 4 1 ， ab = ， 3 3 (2 7 )(2 7 )
∴ a 3 a b 3 b = (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b) = (a b)[(a b) 2 3ab) (a b) 4 4 64 1 4 = ( )[( ) 2 3( )] ( ) = . 3 3 27 3 3
11．已知 n 1 ， a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 为整数且 a1 + a 2 + a 3 +…+ a n = a1 a 2 a 3 … a n =2013，求 n 的最小值． 分析：既然 n 1 且 a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 为整数，那么我们就从 n 2,3,4 试起，没有发现适合的．当 n 5 时，取 a1 = a 2 =-1, a 3 = a 4 =1, a5 2013 ， 则有 a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 =-1+(-1)+1+1+2013=2013, a1 a 2 a 3 a 4 a 5 =（-1）×(-1) ×1×1×2013=2013, 以下证明 n 4 时没有适合条件的．不妨设 a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤…≤ a n , 分两种情况： ⑴当 a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 均为正整数时： 由 a1 a 2 a 3 … a n =2013 知， a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 均为 2013 的正约数，注意到 2013=3×11×61，欲 a1 + a 2 + a 3 +…+ a n =2013 且 n 4 ，则 a n ≥671，所以 a n =671 或 2013，经验算，n=2,3,4 均不可能； ⑵当 a1 , a 2 , a 3 ,…, a n 中有负整数时：
年全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题及答案[下学期] 新人教版
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年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区）初赛试题（全卷满分120分，考试时间120分钟）题号一二三总分1--12 13---20 21 22 23 24 25 26 得分一、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分。
请将正确答案填在题中的的横线上）1、计算：（1-2）（2-3）（3-4）……（-）= 。
2、方程12006x=的解为 。
3、居里夫人发现了镭这种放射性元素。
1千克镭完全衰变后，放出的热量相当于375000千克煤燃烧所放出的热量。
估计地壳内含有100亿千克镭，这些镭完全衰变后所放出的热量相当 千克煤燃烧所出的热量（用科学记数法表示）。
4、甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是是88分和90分，若90分以上为优秀，那么甲、乙两班优秀人数较多的班级是 。
5188a a = 。
6、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 、BC 的中点，连结FE 并延长到点G ，使GE=FE 。
如果△ABC的面积为20cm 2，那么四边形ADEG 的面积为 cm 2.7、在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成 种。
8、在一次朋友家聚会上，每两个人都互相握了一次手，总共握了55次手，，则参加聚会的人数是 。
得分 评卷人第6题图GF EDCBA9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边长。
如果∠A=1050，∠B=450，22b =c =10、已知直线l 经过(2，0)和(0，4)，把直线l 沿x 轴的反方向向左平移2个单位，得到直线'l ，则直线'l 的解析式为 。
11、边数均为偶数的两正多边形的内角和为了18000。
两个正多边形的边数分别为 。
12、如果对任意实数x ，等式： 102310012310(12)x a a x a x a x a x -=+++++都成立，那么，010203010()()()()a a a a a a a a ++++++++= 。
2013年全国初中数学联赛试题及详解
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕432241242++=〔 〕〔A 21 〔B 〕1 〔C 2 〔D 〕2【答案】〔B 〕【解析】原式=2242+1(423)4(21)(423)1+=-=（），故选〔B 〕. ()2221m m m ---=的所有实数m 的和为〔 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕6【答案】〔A 〕【解析】分三种情况进行讨论：〔1〕假设21m -=，即1m =时，满足已知等式；〔2〕假设21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；〔3〕假设21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020m m m -≠⎧⎨--=⎩解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选〔A 〕.AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，假设3CD =，则AB =〔 〕〔A 〕2 〔B 6 〔C 〕22 〔D 〕3【答案】〔A 〕【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则32CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠=,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠=,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠=,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠=,在Rt ONC ∆中，∵3cos 2CN OCN OC ∠==,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选〔A 〕. 23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为〔 〕〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4【答案】〔B 〕【解析】由23725170x xy x y +---=，得2321775x x y x -++=-，因,x y 为正整数，故1,1x y ≥≥，从而750,x ->于是2321775x x x -++≥-，235220x x +-≤，即 (2)(311)0x x -+≤，由1x ≥，知3110x +>，故20x -≤，2x ≤，故1x =或2x =当1x =时，8y =；当2x =时，1y =.故原不定方程的全部正整数解(,)x y 有两组：(1,8)，(2,1),故选〔B 〕.5.矩形ABCD 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC上,12BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =〔 〕〔A 〕357 〔B 〕514 〔C 〕528 〔D 〕11528【答案】〔C 〕 【解析】因12BF FC =,故 13BF BF DA BC ==,113BF AD ==,因BF AD ∥,故BNF DNA ∆∆∽,故13FN BF AN DA ==,故11313344FN AN AF AF ==⋅=.延长,DE CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知ADE BGE ∆∆≌,故3BG AD ==,134FG BF BG =+=+=,因FG AD ∥,故AMD FMG ∆∆∽,故34AM AD FM FG ==，故3347AM FM AF ==,于是 22319995742828MN AF AM FN AF AF AF AF AB BF =--=--==+=, 故选〔C 〕.n 为正整数，假设不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为〔 〕〔A 〕33 〔B 〕34 〔C 〕2013 〔D 〕2014【答案】〔B 〕【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过n 的正整数中，质数的个数为n a ,合数的个数为n b ,当15n ≤时，列表如下〔只考虑n 为奇数的情况〕：由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.因15152b a -=，当16n ≥时，在15n =的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有2,n n b a -≥ 故当16n ≥时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为19111334+++=，故选〔B 〕.二、填空题〔此题总分值28分，每题7分〕,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= .【答案】4【解析】由4,x y +=得4x y =-，代入129z xy y +=+-，得221(4)2969(3)0z y y y y y y +=-+-=-+-=--≥，故2(3)0y -≤，又2(3)0y -≥，故2(3)0y -=，故3,1,1y z x ==-=，于是234x y z ++=.2.将一个正方体的外表都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，假设只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n = .【答案】8【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为26(2)n -个，任何面都不是红色的小正方体的总数为3(2)n -个，依题意有236(2)(2)n n -=-，解得8n =(2n =舍去). ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠==，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则DEF ∆的周长最小值为 . 【答案】56【解析】分别作点E 关于,AB AC 的对称的,P Q .则,DE PD EF FQ ==.连接,,,,,AE AP AQ DP FQ PQ ,则120PAQ ∠=,且AP AE AQ ==,从而30APQ ∠=， 故12cos30PQAP =，3PQ =,过点A 作AH BC ⊥于点H ,则 sin 10sin 4552AH AB B =⋅=⨯=DEF ∆的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ =++=++≥==≥=当且仅当点E 与点H 重合，且,,,P D F Q 四点共线时取得等号，即DEF ∆的周长min l =4.假设实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为 .【答案】3【解析】由已知，得222()()()16x y y z z x -+-+-=，不妨设A x y =-，则[]22222222()()()2()()216()2(16)A x y y x y z z x y z z x x y A ⎡⎤⎡⎤=-=-=-+-≤-+-=--=-⎣⎦⎣⎦解得A ≤.当且仅当x y y z z x -=-=-=时取等号.故A 的最大值3. 第二试〔A 〕一、〔此题总分值20分〕已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222a b c d ++的值.解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223(23)(23)12.m n a c b d +=+++=因()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，故6mn ≤ ○1 又因为()()()()22222222222222mn a b c d a c b d a d b c ac bd ad bc =++=+++=++- 故()26mn ad bc ≥-= ○2由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b c d ++=注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，应满足2222222220(1)2233(2)23236(3)()6(4)ac bd a b c d a c b d ad bc +=⎧⎪+=+⎪⎨+=+=⎪⎪-=⎩ 由〔1〕得a b d c =-，令a b t d c =-=，则,a dt b ct ==-，代入〔2〕得62t =或62t =-，于是 66,22a d b c ==-或66,22a db =-=，代入〔3〕或〔4〕，得222cd +=， 故符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，如6232,1,,33a b c d ====-就是一组. 又如661,1a b c d ====也是一组，当然还有很多组. 二、〔此题总分值25分〕已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C作圆O 的切线，交于点P ，连接AC ，假设92OP AC =，求PB AC的值. 解：连接OC ，因为,PC PB 为圆O 的切线，所以POC POB ∠=∠因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠,因为COB OCA OAC ∠=∠+∠，所以22POB OAC ∠=∠,所以POB OAC ∠=∠,所以OP AC ∥连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故90ACB OBP ∠=∠=又POB OAC ∠=∠，所以BAC POB ∆∆∽，所以AC AB OB OP =. 又92OP AC =,2AB r =,OB r =〔r 为圆O 的半径〕，代入,得23,3OP r AC r ==. 在Rt POB ∆中，由勾股定理,得2222PB OP OB r -=,所以22323PB r AC r ==. 三、〔此题总分值25分〕已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，假设正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且21t t =-.由()()31at m bt m m ++=，得()22310abt m a b t m m +++-=，将21t t =-代入，得()()21310ab t m a b t m m -+++-=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20310m a b ab ab m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，于是可得23131a b m ab m m +=-⎧⎨=-⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程的判别式()()()()2231431313150.m m m m m ∆=---=--≥又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求.把6m =代入,得231150.ab m m =-=第二试〔B 〕一、〔此题总分值20分〕已知21t =，假设正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为21t =，所以232 2.t =-由()()17at m bt m m ++=，得()22170abt m a b t m m +++-=，将2322t =-(())232221170ab m a b m m -+++-=， 整理得()()2223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+--++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为,,a b m 2是无理数，所以2()203()170m a b ab ab m a b m m +-=⎧⎨-++-=⎩ 于是可得()221717a b m ab m m⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=的两个正整数根， 该方程的判别式()()()()224174174171720.m m m m m ∆=---=--≥又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求.把8m =代入,得21772ab m m =-=.二、〔此题总分值25分〕在ABC ∆中，AB AC >，O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，且满足2AB AC OI -=, 求证：〔1〕OI ∥BC ;〔2〕2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-= .证明:〔1〕过点O 作OM BC ⊥于M ，过点I 作IN BC ⊥于N ，则OM ∥IN ,设,,BC a AC b AB c ===，由O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，得 11,()22CM a CN a b c ==+-，所以1()2MN CM CN c b OI =-=-=， 又MN 恰好是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC .〔2〕由〔1〕知OMNI 是矩形，连接,BI CI ，设OM IN r ==〔即为ABC ∆的内切圆半径〕，则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆-=++---11112222221112()2()()2.222AOI BOI COI AIC AIB AOI AOI AOI AOI S S S S S S OI r OI r AC r AB r S r OI b c S r c b b c S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=+++-=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤=+⋅+-=+⋅-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 三、〔此题总分值25分〕假设正数,,a b c 满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值. 解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤〔1〕假设c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而，得()2222211,22c b a b c a bc bc --+-=+>()2222211,22c a b c a b ca ca --+-=+> ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=-<-故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与已知条件矛盾.〔2〕假设c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而，得()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()22222011,22c a b c a b ca ca --+-<=+< ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=->-()22222011,22a b c a b c ab ab --+-<=+< 故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与已知条件矛盾. 综合〔1〕〔2〕可知,一定有.c a b =+ 于是可得22222222()221,22()22b c a b a b a b ab bc b a b b ab+-++-+===++ 同理可得2221,2c a b ca +-=22212a b c ab+-=-. 故2222222221.222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=。
2013年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题及解答
2013年全国初中数学竞赛（海南赛区）数 学 试 卷一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1、3－x 的相反数是－6,那么x 的值为A ．－3B ．3C ．6D ．92、从甲、乙两名男生和A 、B 两名女生中随机选出一名男生和一名女生，则恰好选中甲男生和A 女生的概率是 A ．21 B ．43 C ．81 D ． 413、如图1，∠AOB =180°，OD 是∠BOC 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线， 则下列各角中与∠COD 的互补的是 A ．∠COEB ．∠AOC C ．∠AODD ．∠BOD4、如图2，在Rt △ADB 中，∠D =90°，C 为AD 上一点，∠ACB ＝6x ，则x 值可以是A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°5、已知a 是质数，b 是奇数，且20132=+b a ，则a ＋b ＋2的值为A ．2009B ．2011C ．2013D ．20156、有这样的数列：3、7、12、18、25……，则第10个数是A ．65B ．70C ．75D ．807、轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大 （水流的速度总小于船在静水中的速度） 时，船往返一次所用的时间将 A ．增多B ．减少C ．不变D ．以上都有可能图1CBDE图28、如图3，矩形AOBC 的面积为8，反比例函数xky =的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是A ．x y 8=B ．x y 2=C ．x y 4=D ．x y 1=9、 图4是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上．在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC 成轴对称的三角形共有 A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个10、如图5是半径为2的圆，圆心A 坐标为（1，－1），点M 是圆上的动点，则点M 的坐标不可能为 A ．（2，0）B ．（0，－2）C ．（2，－2）D ．（1，－2）二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、分解因式:9x 2－12xy ＋4y 2＝_________________． 12、 计算：5252552---＝__________．13、若128421=⋅+xx ，则x 的值为__________．14、已知关于x 的方程x 2－4x ＋a ＝0的两个实数根x 1、x 2满足3 x 1－x 2＝0，则a ＝________． 15、在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是__________． 16、如图6，在平面直角坐标系中，直线AB 由直线y =3x 沿x 轴向左平移3个单位长度所得，则直线AB 与坐标轴所围成的三角形的面积为__________． 17、如图7，已知正方形ABCD 中，点M 在边CD 上，且DM ＝3， MC ＝1，把线段AM 绕点A 顺时针旋转，使点M 落在BC 所在 的直线上的点N 处，则N 、C 两点的距离为__________． 18、如图8，在△ABC 中,AB ＝10, ∠BAC 的平分线 AD 交BD 于点D ，且BD ⊥AD ，DE ∥AC 交AB 于E ， 则DE 的长是__________．图4图7 ACBD M 图8CBDE三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、海南省某种植园收获香蕉20000千克，其中香牙蕉12000千克、黄帝蕉8000千克，准．备．运往海口与文昌销售；根据市场供需，海口需要香蕉15000千克，文昌需要香蕉5000千克，海口与文昌两地的香蕉售价如下表所示：（1） 若该种植园供应海口市的香牙蕉与黄帝蕉的比是2：1，请问该种植园供应文昌市的香牙蕉与黄帝蕉各是多少千克？（2） 若海口与文昌的香蕉都能在保质期内销售完，请你设计一种销售方案，使销售的收入最大，并估算出获得的最大销售收入.20、如图9，在平面直角坐标系xoy 内，正方形AOBC 的顶点A 、O 、B 、C 的坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），过点B 的直线MN 与OC 平行，AC 的延长线交MN 于点D ，点P 是直线MN 上的一个动点，CQ ∥OP 交MN 于点Q . （1）求直线MN 的函数解析式；（2）当点P 在x 轴的上方时，求证:△OBP ≌△CDQ ；猜想：若点P 运动到x 轴的下方时，△OBP 与△CDQ 是否依然全等？（（3）当四边形OPQC 为菱形时，①请求出点P 的坐标； ②请求出∠POC 的度数.海南省2013初中数学竞赛初赛试题参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）答案提示：1解3－x =6, x =-3,故选A2解：根据题意知，所有可能出现的结果有4种：甲、A ，甲、B ，乙、A ，乙、B ，故恰好选中男生甲和女生A 的概率是1/43 提示: 相加等于180°的两个角互为补角，∠COD=∠BOD4、由三角形外角大于任何一个不相邻的内角与∠ACB 小于180°可知90°＜6x ＜180°，由此可得15°＜x ＜30°，故选择B ．5、a 是质数，b 是奇数，且20132=+b a ，所以a 、b 必是一奇一偶，所以可求得a =2，b=2009，所以a ＋b ＋2=2013．6、由数列3、7、12、18、25……可判断存在的规律为：第①个数为3，第②个数为3+4，第③个数为3+4+5，第④个数为3+4+5+6，第⑤个数为3+4+5+6+7……如此可断定第⑩个数为3+4+5+……+12=75,故选择C ．7、设两码头之间的航程为S ，船在静水中的速度为a ，水流的速度为b ，则船顺水所需的时间为b a S +船逆水所需的时间为b a S-，则船往返一次所需的时间为b a S ++b a S -=222ba aS -由此可判断船在静水中的速度不变与水流的速度总小于船在静水中的速度的条件下，水流的速度b 越大，a 2－b 2越大，故选择A ．8、由矩形AOBC 的面积为8，可求矩形PEOF 的面积为2， 又点P 在第一象限，所以K=2， 故选择B ．9、 如图，分别以大的正方形中间”十”字所在的直线为对称轴可画出2、3两图，分别以正方形对角线所在直线为对称轴可画出4、5两图，再加上第1幅图，总共有5个符合条件的三角形，故选择A ．10、若点M 在圆上，点M 与圆心A 的距离等于圆的半径2，容易判断点（2，0）是圆A 与X 轴正半轴的交点、点（0，-2）是圆A 与y 轴负半轴的交点，另外，可以通过构造直角三角形判断点(2，－2)与圆心A 的距离等于2，也可以用两点公式求出点(2，－2)与圆心A 的距离等于2，因此A 、B 、C 三个选项中的点均在圆上，而点(1，－2)与圆心A 的距离等于1，小于圆A 的半径，点(1，－2)不在圆上，故选择D ．二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、（3x －2y ）212、5- 13、2 14、3 15、2＜x ＜716、13.5 17、1或7 18、5 答案提示：11 9x 2－12xy ＋4y 2＝（3x －2y ）212、55255252)52(55252552-=-=---=---13、由 128421=⋅+x x 得 721222=⋅+x x 所以有 72)1(=++x x 所以 x 的值为2．因为关于x 的方程x 2－4x ＋a =0的两个实数根为x 1、x 2，由根与系数的关系得x 1+x 2=4，所以⎩⎨⎧=+=-4032121x x x x ，解得⎩⎨⎧==3121x x ，所以a =3．14 x 1=1, x 2＝3， a ＝315、构造右图，延长中线AD 到A ’，使AD=A ’D ， 可证△ABD ≌△A ’CD ，设AD=x ，A A ’=2 x ，由三角形三边不等关系可得 9-5＜2x ＜9+5，从而有2＜x ＜7．16、设直线AB 的解释式为y =3x+b ， 由题意可知直线AB 过点（-3、0），故b=9，所以直线AB 与y 轴的交点为（0，9），则直线AB 与坐标轴所围成的三角形的面积为3×9÷2=13.5平方单位．17、如图7，把线段AM 绕点A 画弧，可见N 、C 两点的距离存在两种情况：①点N 在边BC上，②点N 在边CB 的延长线上；可以证明△ADM ≌△ABN ≌△ABN ’，所以有图7ACBDN N ’ M ACBDA ’BN=BN’=DM=3,所以N、C两点的距离是：1或7．18、提示：可证AE=DE，BE=DE，由此得到DE的长是5．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、解：（1）设种植园应向海口供应的黄帝蕉有x千克,则向海口供应的香牙蕉有2x千克,根据题意列方程得：2x+x=15000，解得：x=5000，则2x=10000所以种植园供应文昌市的香牙蕉应为12000-10000=2000千克，植园供应文昌市的黄帝蕉应为5000-2000=3000千克．（2）设应安排m千克香牙蕉在海口市销售，则在海口市销售的黄帝蕉为（15000-m）千克；在文昌市销售的香牙蕉与黄帝蕉分别为（12000-m）千克、（m-7000）千克，则这批香蕉的销售收入y与m的函数关系式为：y=4.8m+5（15000-m）+3.6（12000-m）+4.2（m-7000）即y=0.4m+88800 (7000≤m≤12000)从函数关系式看m的值越大，销售收入y就越大，即香牙蕉应尽可能多地安排在海口市销售，所以若要使销售收入最大，需安排12000千克香牙蕉与3000千克黄帝蕉在海口市卖，安排5000千克黄帝蕉在文昌市卖，最大销售收入为y=0.4×12000+88800=93600(元) ．20、解：（1）设直线OC的解析式为y=k x，∵直线OC过点C（1、1），∴k=1,∴直线OC的解析式为y=x∵直线MN与OC平行，∴可设直线MN的解析式为y=x+b，∵直线y=x+b过点B（1，0），∴b=-1,∴直线MN的函数解析式为y=x-1(此题也可以通过求点B、D的坐标，再利用待定系数法求直线MN的解析式)（2）当点P在x轴的上方时∴OB=BC，∠BCD=∠ACB=90°，∠BCO=45°又MN与OC平行∴∠CBD= ∠BCO=∠BDC= 45°，∴BC=OB=CD由AC∥OB知AD∥OB ∴∠OBP = ∠CDQ∵CQ∥OP ∴∠OPB = ∠CQD∴△OBP≌△CDQ同理可知，若点P运动到x轴的下方，△OBP与△CDQ依然全等（3）①设点P 的横坐标为（a ，b ）因为点P 在直线y=x -1上，则点P 的坐标可表示为（a ，a -1） 若四边形OPQC 为菱形，则有OP=OC=2 作PF ⊥x 轴于点F ，在Rt △OPF 中有 OF 2+PF 2=OP 2即2)1(22=-+a a解得：2311+=a ，2312-=a 则2131-=b ，2132+-=b 即当四边形OPQC 为菱形时，点P 的坐标为（231+，213-）或（231-，213+-） ②由①知点P 存在两种情况使四边形OPQC 为菱形，即点P 在第一象限与第三象限 ⅰ）当点P 在第一象限时（如点P 1），方法一(如图9A)：过点C 作CH ⊥MN 于点H ， 则△C HQ 是直角三角形，由（2）的证明可知△BCD 是等腰直角三角形，且 BC=OB=CD=1 ∴CH=22,若四边形OPQC 为菱形，则有CQ=OC=2， ∴CH=21OC ∴∠CQH=30° ∴∠P 1OC= 30° 方法二（如图9B ）：连接AB 交OC 于点G ，过点P 1作P 1H ⊥OC 于点H 则△OP 1H 是直角三角形，在正方形AOBC 中有AB ⊥OC ，又MN ∥OC ，∴∠BGH= ∠P 1HG=∠GB P 1= 90° ∴四边形P 1BGH 是矩形， 又四边形OPQC 为菱形 ∴P 1H=BG=21AB=21OC =21O P 1 ∴∠P 1OC= 30°ⅱ）当点P 在第三象限时(如点P 2)，令x =0，则y=x -1=-1，即直线MN 与y 轴的交点E 的坐标为（0，-1） 则OE=OB ，则∠OEB=∠OBE= 45°则∠OEP 2=∠OBP 1= 135°又四边形OPQC 为菱形∴O P 2=O P 1 =OC ∴∠O P 2E=∠O P 1B ∴△O P 2E ≌△O P 1B (AAS) ∴∠E O P 2=∠B O P 1∵∠B O P 1=∠B O C-∠P 1 OC=45°-30°=15° ∴∠E O P 2=15°，∴∠P 2OC=150°综合以上论述可知，当四边形OPQC 为菱形时，∠POC 的度数为30°或150°。
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967 （B ）1821967 （C ）5463967 （D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：（第7题）45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=；（ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）（第7题答题）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE，BE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形． 当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
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1 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11.如图，抛物线32-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA,直线13
1+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC －∠CBE.
12.设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求∠BAC 所有可能的度数.
13.设a ，b ，c 是素数，记a c b x -+=，b a c y -+=，c b a z -+=，当y z =2，2=-y x 时，a ，b ，c 能否构成在角形的三边长？证明你的结论.
14.如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a 中都至少一个为m 的魔术数.。