平行线的判定、性质公理及定理

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一

平行线的判定：

1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.

例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？

当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整

1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）

若∠3=∠4，则_________∥_________（）

若∠5=∠B，则_________∥_________（）

若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）

2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）

∠3+∠2=180°（）

∴∠1=_________

∴AB∥CD（）

课堂练习：

1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,

求证：AB∥C D．

2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．

求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．

（1）（2）

3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．

4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，

求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练： 一．选择题

1．下列命题中，不正确的是( )

A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行

D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C

4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题

5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．

6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比 为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________．

α

γ

βE

D C B

A

A B D E

1

2

F

O

C

A

B

D

E

8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知）

∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）

∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ） 三．解答题

9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．

10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.

11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识． 根据下面的条件完成证明．

已知：如图，BC//AD ，BE//AF ．

(1) 求证：B A ∠=∠；

(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．

12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.

考点二：

1．平行线的性质．

公理：两直线平行，同位角相等.

定理：两直线平行，内错角相等. 定理：两直线平行，同旁内角互补.

例1

．如图，BE ∥DF ，∠B =∠D ，求证．AD ∥BC ．

C

F

D

E

B

A

O

H

G

3

21

E

F

D C B

A

课堂作业：

1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )

A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°

C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D

2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是

( )

A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补

3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．

4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．

5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由

6、如图所示：已知：AB∥DE。⑴猜测∠A、∠ACD、∠D有什么关系？并证明你的结论。

⑵若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A、∠ACD、∠D之间的关系，

仍然满足⑴中的结论吗？若符合，请你证明，若不符，请你写出正确的结论并证明。要求画出相应的图形。

考点三：

三角形内角和证明

如何证明三角形内角和为180度？