凸函数

凸函数
一、【知识提纲】
1、凸函数的定义
一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有
()()222121x f x f x x f +≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函
数，也就是下凸函数，例如y=x 2
，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。

如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。

注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。

这个方法经常使用。

此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。

2、凸函数具有的常用性质 性质一：
对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()
n
x f n x f n
i i
n
i i
∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛1
1
注：此即常说的琴生不等式
性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若
11
=∑=n
i i
a
，则
()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n
i i i n i i i x f a x a f 1
1 注：加权琴生不等式很重要，当n
a i 1
=
时，即为原始的琴生不等式。

注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。

二、应用
例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()
n
x f n x f n
i i
n
i i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛1
1
例2、证明：n
x x x n x x x n
n 2
2221
22221.......+++≥+++
例3、在ABC ∆中求证：
（1）
62sin
1
2sin 1
2sin 1
≥+
+
C B A ；
（2）332
cot 2cot 2cot ≥⋅⋅C
B A ；
例3、（变量和为常量型）
（1） 设a a n i a n
i i
i ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n na
a a a a a a n
n -≥-++-+-1...112211；
（2） 设*
∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：2
3≥++c b a
（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，
求证：
12)3
2
(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a
例4、条件为1=abc 的不等式证明问题
（1） 若*
∈R c b a ,,且1=abc ，求证：
12222
22≥+++++c
c b b a a
（2）若*
∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++
同步训练
的最大值为
中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=π
A
21 B 2
3
C 223
D 23
2、设0>x ，0>y ，证明：()2
ln ln ln y
x y x y y x x ++≥+
3、在ABC ∆中，求证：m
m C m B m A 3tan
3tan tan tan
π
≥++，其中N m ∈且2≥m ．
4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足
11
=∑=n
i i
a
．
求证：n
n
i i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∏=111．
；
于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC P
n
n n
n n n i n n x x x x x x n n i x )1()1
1()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知
答案
2、设0>x ，0>y ，证明：()2
ln
ln ln y
x y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01
>=''x
x f ，故其为凸函数．所以
()()22y f x f y x f +≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+， 即
()y y x x y x y x ln ln 2
1
2ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足
11
=∑=n
i i
a
．
求证：n
n
i i i n n a a ⎪⎭⎫
⎝⎛+≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()(
)(
)[]
0125222
2>+--=''x
x x x f ，故
该函数为凸函数．
而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i n
i i
n i i i 1ln ln 1ln 1111．（11
=∑=n
i i a ） 去掉对数符号立得．
．在ABC ∆中求证： （1）
62sin
1
2sin 12sin 1≥+
+
C B A ；
（2）332
cot 2cot 2cot ≥⋅⋅C
B A ；
证明：（1）考查函数x y sin 1=
，其在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上为凸函数；
（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：
即证
()()[]⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+221
2121x x f x f x f ．
()()2cot ln 2cot
ln 2121x x x f x f +=+2
cot 2cot ln 21x
x = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
+--++
=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
+-++
≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cot
ln 221x x +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=222
1
x x f ．证毕．
n n
n
n n n n n n n n n
n n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )1
1()11()11(])11()11()11[(1)1()1
1()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++
=+++≥=> 证：求证：，，已知n
n x x x x x x x x x x x x x x x n n n n
n
n n n n 1
1
1)1
(1)]11()11)(11[(2121211
211
21=
+++≤
+
=+≥+++∴ 又);
)(1)]1()1)(1[((1
221112211n n
n n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。