一元二次方程解法与应用

一元二次方程解法与应用

【知识要点】

1. 一元二次方程你知道有哪些常用解法？

2. 还记得如何用配方法解方程吗？

3. 因式分解法解方程的理论依据是什么？

4. 如何解决实际应用中的增长率和经营问题?

【典型例题】

# 例1判断下列方程是不是一元二次方程：

（1）12

=-y x （2）11

4

2=+x （3）01=-xy

（4）322

=+x x （5）()112

=+-k x a （a 、k 是常数）

（6）()()()

()112112

2

-+-=++-x x x x x x

# 例2．当m 为何值时，方程m x mx mx +=-22523是关于x 的一元二次方程？

#例3．用适当的方法解下列方程：

（1）()512

=-x （2）()162812

=-x

（3）0542=--x x （4）022

2=+-a ax x

例4．用配方法解下列方程

(1) 01522=+-x x (2) 1842

-=--x x

(3) )04(02

2

≥-=++q p q px x (4) ()()()0112=-++-y y y y

例5．用适当的方法解方程

（1）2)3(4532

-+=+x x x x （2）6)3)(2(=--x x

（3）06232

=+--x x x （4）)21(3)12(2

y y -=-

例6．容器盛满纯酒精50升，第一次倒出一部分纯酒精后用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精32升，求每次倒出溶液的升数．

例7 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出

5

4

时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

* 例8.已知1

313+-=

a ，求45652

34+-+-a a a a

* 例

9.已知方程02=++c bx x 及02

=++b cx x 分别各有两个整数根21,x x 及21

,x x ''，且0,02121>''>x x x x ．（1）求证：0,0,0,02121<'<'<

b ,所有可能的值．

* 例10.小强有5张人民币，面值合计20元。

(1)小强的5张人民币的面值分别是 元， 元， 元， 元， 元.

(2)小强到水果店，称了x 斤苹果（x 是整数），按标价应付y 元，正好等于小强那五张人民币中的两张面值之和。这时果筐里还剩6斤苹果。店主便对小强说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。”小强一算，这样相当于每斤比原标价减少了0.5元。本着互利原则，便答应了，试求x 和y 。

【大展身手】

一、选择题(每小题4分，共20分)

# 1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）

A.()()12132

+=+x x

B.

021

12=-+x

x C.02=++c bx ax D. 1222-=+x x x

# 2、已知3是关于x 的方程0123

42=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ）

A.11

B.12

C.13

D.14

# 3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）

A.x 2

-2x -99=0化为(x -1)2

=100 B.x 2+8x +9=0化为(x +4)2

=25 C.2t 2-7t -4=0化为16

81)4

7(2

=

-t D.3y 2

-4y -2=0化为9

10)32(2=

-y # 4．方程043=-x x 的解是（ ）

A 、－2，2

B 、0，－2

C 、0，2

D 、0，－2，2

# 5. 用配方法将二次三项式542++a a 变形，结果是（ ）

A.1)2(2

+-a B.1)2(2

++a C.1)2(2--a

D.1)2(2

-+a

二、填空题(每空3分，共30分)

# 1、若方程22343x x mx =-+是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . # 2、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：

(1)51642

=+x x ，应选用 法；

(2))4)(2()1)(2(2++=-+x x x x ，应选用 法； (3)03322=--x x ,选用 法.

# 3、已知代数式10)5(7++x x 与代数式99-x 的值互为相反数，则x = . # 4．方程0322=-+x x 的解是__ ；

5．如果,63)122)(122(=-+++b a b a 那么b a +的值为 ；

6．已知关于x 的一元二次方程053)12(2

=++-mx x m 有一根是x=－1，则m = 。

7．设y x x =+32

，那么方程0202462

34=--++x x x x 可化为关于y 的方程是 。

8．方程)3(812)3(2

22-=+-x x 的实数根是 。 三、解下列方程(每小题6分，共36分)

1．（配方法）01242

=-+x x 2．（公式法）0)12(532

=++x x

3．（因式分解法）)5(2)5(32

x x -=-