算术平均数 (2)

将加权平均数公式变形:
x xi fi x1 f1 x2 f2 x3 f3 xn fn
fi
f1 f2 f3 fn
x1
f1 fi

x2
f2 fi

x3

f3 fi

xn

fn fi

工人数（人）
fi 7 2 1 10
xi ×fi
70 40 30 140
解：根据资料，可以计算该生产组10组名 工人的平均日产量为：
x xi fi 140 14（件） fi 10
由此可见，平均日产量14件趋向于工人 人数最多，即频数最多的那个变量——10 件。
由上述例子可以看出，以分组数据 计算算术平均数时，其数值的大小受 两个因素的影响，即：
一个受各组的变量值x的影响； 另一个是受各组变量值出现的次数，
即频数f的影响。
当各组变量值x不变时，各组变量值 出现的次数f，对于算术平均数x的大 小起着权衡轻重的作用，算术平均数x 总是趋向于次数出现最多的那个变量 值。因此次数f又称为权数，这种计算 算术平均数的方法，叫做加权平均法。

xi ——第i组的标志值或各组组中值

fi ——第i组的标志值的频数

——总和符号
例2、 某生产组10名工人生产甲产品，日
产量分布资料如表3-5所示，计算工人的平
均日产量。
表3-5 算术平均数计算表1
日产量（件） xi
工人数（人） fi
xi ×fi
10
1
10
20
2
40
30
7
210
合计
10
260
(xi
fi ) fi
频率 （比重）
因此，加权算术平均数等于各组变 量值分别与其频数相乘后加总求得标 志总量。
由此可见，所谓权数就是影响平均 水平高低的总体结构因素，它有两种 表现形式：频数权数和频率权数。
例3、仍用表3-5中的资料，用频率作为权数 来计算加权平均数，结果见表3-7。 表3-7 算术平均数计算表3
7
11.7
5250
87.75
800以上
850
2
3.3
1700
28.05
合计
－
60
100
34200
570
组中值的一般计算方法是：
闭口组组中值：
上限+下限
组中值=
2
缺上限组中值（开口组）：
第一组组中值= 上限－
相邻组组距 2
缺下限组中值（开口组）：
第末组组中值= 下限＋
相邻组组距 2
计算平均日包装量的过程：
解：
x xi 67 68 69 71 72 73 70（件）
n
6
2、加权算术平均数
加权算术平均数是在总体经过分组形成变 量数列（包括单项式数列和组距数列），有 变量值和次数（频数）的情况下，将各组变 量值分别与其次数相乘后加总求得标志总量， 再除以总体单位数（次数总和）而求得，即：
日包装量（件）
组中值 xi
工人数（人）
fi
xi/∑fi
xi fi
xi
fi fi
⑴
⑵
⑶
⑴×⑵ ⑴×⑶
400以下
350
5
8.3
1750
29.05
400～500
450
13
21.7
5850
97.65
500～600
550
18
30
9900
165
600～700
650
15
25
9750
162.5
700～800
750
算术平均数
表3-1 某生产组25工人日产量资料
日产量（件）
x 12 13 14 15 16 17 18 19 20
工人数（人）
f 1 2 3 4 5 4 3 2 1
各组工人人数比重（%）
f/∑f
4 8 12 16 20 16 12 8 4
合计
25
100
图3-1 某生产组25工人日产量频率分布图
由观察可知以日产量 16为中心值，其他值均 匀分布在16左右，分布 图形呈单峰状，由中间 向两边逐渐递减，因此 这个中心值可以反映整 个总体数值的平均状态。
（2）组距式数列的加权算术平均数
组距式数列计算加权算术平均数的方法和 单项式数列的计算方法基本相同，基本步骤 为：
1、计算各组的组中值xi； 2、计算标志值的频率f f ； 3、代入计算公式，求得加权平均数。
例4、某企业的日包装量如表3-8所示，计算算术加权平均数。
表3-8 组距式变量分布数列加权算术平均数计算表
日产量（件） 工人数（人）
xi
fi
10
1
20
2
30
7
合计
10
人数比重（%）
xi/∑fi 10 20 70 100
xi
fi fi
1 4 21 26
解：根据资料，可以计算加权平均数为：
x
( xi
fi ) 26(件) fi
显然，用频率作权数比用频数作权数更直 观，加权平均数的实质就在于频率，频率不变， 平均数也不变。
解：根据资料，可以计算该生产组10组名 工人的平均日产量为：
x xi fi 260 26（件） fi 10
由此可见，平均日产量26件趋向于工人 人数最多，即频数最多的那个变量——30 件。
如果将上例变化：
表3-6 算术平均数计算表2
日产量（件）
xi 10 20 30 合计
x x1 x2 x3 xn xi
n
n
其中， x ——算术平均数

xi ——第i个总体单位的标志值

n ——总体单位数

——总和符号
例1、 某生产组6名工人生产某同一种零件 的日产量 （件）分别为：

67 68 69 71 72，
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则该组工人的平均日产量为：
这种反映同质总体中各单位的某种变量值分布集 中趋势的中心值称为集中趋势的代表值。
一、算术平均数
算术平均数是最常用的平均指标，表现形 式为有名数。
算术平均数的基本计算公式：
总体标志总量 算术平均数=
总体单位总量
算术平均数可分为简单算术平均数和加 权平均数
1、简单算术平均数
简单算术平均数就是将总体各个单位的 标志值相加除以总体单位数求得。如果用 字母表示，其计算公式：
加权
算术
平均
数
（
各
组变量值 各组
各组次数
次数
）
（1）单项式数列的加权算术平均数
如果用字母表示，其计算公式：
x x1 f1 x2 f2 x3 f3 xn fn xi fi
f1 f2 f3 fn
fi
其中， x ——算术平均数