第11182次概率论与数理统计经济数学第一章吴传生版精品

c、组合系数与二项式展开的关系
组合系数
n k

又常称为二项式系数，因为
它出现在下面的二项式展开的公式中：
(a

b)n

n k0

n k
ak
bnk
由 (1 x)mn (1 x)m(1 x)n
运用二项式展开
有
mn
j0
p A
C22 C62

2!4! 6!
1 15
(2)取到的两张颜色相同的概率?
p
B

C42 C22 C62
7
15
(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?
p C 1 P( A ) 14
15
说明: (1)在求事件的概率时,应注意随机实验的样
本空间 (2)“任取k件”与“无放回地逐件取k件”考虑 问题的角度不同,但计算概率的结果相同
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共
…；
有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有nm种方法, 种方法 .
无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
基本计数原理
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,

(2n)! 2n

而出现事件A的分法数为n!,故
P( A)

n! (2n)!/ 2n

n!2n (2n)!
北京体育彩票（36选7不重复）:
特等奖:选中全部7个正选号码
一等奖P:选A中 6个C137正6 选1.号2 /码千+万特别号码
P
B
C76C11
C
7 36
8.4 / 千万
五等奖:选中4个正号或3个正号+1个特号
P C

C
84C
3 28
C
7 36

2.8%
例 有6张纸牌,其中4张黑桃,2张红桃,从中
随机地有放回地取两次,每次只取一张,求
(1)取到的两张都是红桃的概率?
p
A

C21C21 C61C61

22 66

1 9
(2)取到的两张颜色相同的概率?
C21C11 C61C51
21 1 6 5 15
(2)取到的两张颜色相同的概率?
pB

C41C31 C21C11 C61C51

12 30
2

7 15
(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?
pC 1 P A 14
15
若抽取是任取两张,求以上三问?
(1)取到的两张都是红桃的概率?
8 2

140
从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只
错在同样的“4只配 成两双”算了两次.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只
鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）
的概率是多少？
正确的答案是： 请思考：
58 5 还有其它解法吗？
P( A) 1 2 2 10
(3) “任取k件与有放回地逐件取k件”所得的 概率一般不同
(4)“至少”问题常用对立事件解决
例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日}
则 A ={ r 个人的生日都不同}
为求P(A), 先求P( A) P( A) 1P(PA()A)(3P613r565)r(3P63r565)r
（1kn)的不同排列总数为：
pnk

n(n
1)(n

2)(n

k
1)

(n
n! k)!
k = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2)2 1 n!
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1kn)的不同排列总数为：
n nn nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
n
称为古典概率.
试验结果
e1, e2, …，eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
在许多场合，由对称性和均衡性，我 们就可以认为基本事件是等可能的并在此 基础上计算事件的概率.
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理
1. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
请看下面的演示
分球入箱问题
以球、箱模型为例给出一类常见的 古典概型中的概率计算
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n 间房中各有一人的概率.
人 房
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一 类型：
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
b、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
Cnk

Pnk k!

n! (n k)!k!
Ck n
常记作
kn
，称为组合系数。
Pnk Cnk k!
i 1
i 1
作业 1.预习概率论与数理统计§1--§2 2.练习 习题1-2
P(
A
)

C110C81C61C41 C140 4!
13 4 21
PA 1 PA 13 21
例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只 的分法总数为
(2n)! 2!2!2!
111,112,113,……661,662,…666
这些结果有等可能性,但是其和为3的只有1种,和为 10的结果有27个, 逐一检查还发现,使顾客胜的结果 只有69种,而摊主获胜的结果有147远远有利摊主
三.统计概率----频率
掷硬币试验
实验者 抛掷次数 正面出现次
n
数nA
德摩尔根 2040
1061
少有两人同生日是有利的.
30
0.706
40
0.891
请看演示：
50
0.970
生日问题
60
0.994
投掷3颗骰子,胜负规定:若顾客掷出3颗骰子点数之 和为3,4,5,6,7,14,15,16,17,18这些数中之一时,顾客胜 否则摊主胜,即8,9,10,11,12,13
在这16中结果中不是等可能,把3颗骰子的所有结 果有6×6×6=216种结果,把这些结果一一排出
表 3.1
人数 至少有两人同 所有这些概率都是在假定 生日的概率 一个人的生日在 365天的任
20
0.411
何一天是等可能的前提下计
21
0.444
算出来的. 实际上,这个假定
22 23
0.476 0.507
并不完全成立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至
24
0.538
一.概率论简介
在我们所生活的世界 上，充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
带有随机性、偶然性的现象.
随
机
当人们在一定的条件下对它加
现 以观察或进行试验时，观察或试验
车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸
的概率.
车祸
天
在用排列组合公式计算古典概率时，必须注
意不要重复计数，也不要遗漏.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只
鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）
的概率是多少？
13579
下面的算法错在哪里？ 2 4 6 8 10
P(
A)

15
分析:10个人,共分3张音乐会票.
准备一个盒子,里面放10个大小和质地一样的球 其中白球3个,黑球7个,充分扰乱以后,让每个人抽 取一个球,凡抽到白球者得票.
每个人得到票的机会相等 P A 3
10
一个试验,有n个同等可能的结果,其中有k个结
果是使某事件A发生,那么事件A发生的概率为
P A k
p
B

C41C41 C21C21 C61C61
16 4 36

5 9
(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?
p C

C41C41
C41C21 C61C61
C21C41

8
9 =1-P(A)
若抽取是不放回地,求以上三问?
(1)取到的两张都是红桃的概率?
过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.
这个定值称为事件A的概率,记为P(A)
频率的性质
1 fn A 0 2 fn 1