数学物理方程第三版答案谷超豪

数学物理方程第三版答案谷超豪【篇一：数学物理方程_答案_谷超豪】

/p> 1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程

???u????u?

???x????e? ?t??t??x??x?

其中?为杆的密度，e为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。现在计算这段杆

在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)

其相对伸长等于令

?x?

[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x

?x

?ux(x???x,t)

，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力t(x,t)等于

t(x,t)?e(x)ux(x,t)

其中e(x)是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为

e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).

于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esu利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?

?(x)s(x)u?(esux)

?x若s(x)?常量，则得

?u?t

22

x

(x??x)|x??x?esux(x)|x

?(x)

即得所证。

=

(e(x)

?u?x

)

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为

u(0,t)?0,u(l,t)?0.

(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x)

的边界条件为

?u?x

?u?x

|x?l等于零，因此相应

|x?l=0

?u

同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为

?x

(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的

∣x?0?0

偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。由虎克定律有

e?u?x?u?x

∣x?l??k[u(l,t)?v(t)]

其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件

(

??u)∣x?l?f(t) 其中??

ke

特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)?0,得边界条件

(?u?x

??u)∣x?l?0。

同理，若x?0端固定在弹性支承上，则得边界条件 e即 (

?u?x?u?x

∣x?0?k[u(0,t)?v(t)]

??u)∣x?0?f(t).

3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 e

??x

[(1?

)

2

?u?x

]??(1?

xh

)

2

?u?t

2

2

其中h为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l为： l?1?

xh

2

所以截面积s(x)??(1?

xh

)。利用第1题，得

?(x)?(1?

xh

)

2

?u?t

2

2

?

??x

[e?(1?

xh

)

2

?u?x

]

若e(x)?e为常量，则得

??x

xh

?u?x

xh

22

e[(1?)

2

]??(1?)

2

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡

位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为 t(x)??g(l?x)

且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为

?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)

其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角

又sin??tg??于是得运动方程 ??x

?u?t

22

?u?x.

?[l?(x??x)]

?u?x

∣x??x?g?[l?x]

?u?x

∣x?g

利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?u?t

22

?g

??x

[(l?x)

?u?x

]。

5. 验证u(x,y,t)?

1t?x?y

2

2

2

在锥t2?x2?y20中都满足波动方程 ?u?t

2

2

?

?u?x

2

2

?

?u?y

2

2

证：函数u(x,y,t)?

1t?x?y

2

2

2

在锥t?x?y0内对变量

222

x,y,t有

二阶连续偏导数。且

2

?u?t

2

??(t

2

?x

2

2

?y)2?t

5

?

3

?u?t

2

??(t

2

?x

22222