2014年考研数三真题及答案解析(完整版)

2014年考研数三真题与答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >

（B ）2

n a a <

（C ）1

n a a n >-

（D ）1

n a a n

<+

（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+

（C ）1sin

y x x =+ （D ）2

1sin y x x

=+

（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16

d =

（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥

（5）行列式

00000000a b a

b

c d c d

= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -

（D ）2222

b c a d -

（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的

（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件

（D ）既非充分也非必要条件

（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4

（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量12

3

2X X X -服从的分布为

（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

(10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设

20

1

4

a

x xe dx =

⎰

，则_____.a =

(12)二次积分2

211

0()________.x

y y e dy e dx x

-=⎰⎰

（13）设二次型22

123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围

是_________

（14）设总体X

的概率密度为2

22(;)30

x

x f x θθ

θθ⎧<<⎪

=⎨⎪⎩其它

，其中θ是未知参数,

12,,...,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，

若2

1

n

i

i c x

=∑ 是2θ的无偏估计，则c = _________

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限121

21lim

1

ln(1)

x

t

x t e t dt x x

→+∞

⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+⎰

（16）（本题满分10分）

设平面区域2

2

{(,)|14,0,0}D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算22sin()

.D

x x y dxdy x y π++⎰⎰

（17）（本题满分10分）

设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )x

z f e y =满足222224(cos )x x

z z z e y e x y

∂∂+=+∂∂，若

(0)0,'(0)0f f ==，求()f u 的表达式。

（18）（本题满分10分） 求幂级数

(1)(3)n

n n n x

∞

=++∑的收敛域及和函数。

（19）（本题满分10分）

设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明： （I ）0(),[,];x

a

g t dt x a x a b ≤≤-∈⎰

（II ）

()()()().

b

a a g t dt

b a

a

f x dx f x

g x dx +

⎰≤⎰

⎰