高三数学课时复习闯关检测26

知识改变命运

一、选择题

1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )

A ．－32 B.32

C ．2

D ．6

解析：选D.由a·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，

∴m ＝6.

2．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )

A ．一次函数且是奇函数

B ．一次函数但不是奇函数

C ．二次函数且是偶函数

D ．二次函数但不是偶函数 解析：选A.∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，

∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2·a·b ＋(|b |2－|a |2)x －a·b ＝(|b |2－|a |2)·x . 又∵|b |≠|a |，∴f (x )为一次函数，且是奇函数，故选A.

3．(2013·重庆一中高三调研)若向量a 与b 的夹角为75°，|a |＝2sin 150°，|b |＝4cos 15°，则a·b 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．－ 3 D. 3

解析：选B.|a |＝2sin 150°＝2×12＝1.

a·b ＝1×4cos 15°cos75°＝1×2×2cos 15°sin15°＝1.

4．(2011·高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤2π3，π p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，π3 p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤π3，π 其中的真命题是( )

A ．p 1，p 4

B ．p 1，p 3

C ．p 2，p 3

D ．p 2，p 4

知识改变命运

解析：选A.由|a ＋b |＝

a 2＋2a ·

b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，

得2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，∴0≤θ<2π3. 由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，

得2－2cos θ>1，

∴cos θ<12，∴π3<θ≤π.

∴p 1，p 4正确．

5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1

C. 2 D ．2

解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，

得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，

∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.

∴|a ＋b －c |≤1.

二、填空题

6．已知向量a ，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．

解析：b 在a 上的投影是|b |·cos 60°＝2×12＝1.

答案：1

7．(2011·高考江西卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．

解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a·b ＝－2

且|a |＝|b |＝2，∴a·b ＝2，

∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12

. 而〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.

答案：π3

8．(2012·高考上海卷)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、

知识改变命运

AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC

→|＝|CN →||CD

→|，则AM →·AN →的取值范围是__________． 解析：设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|

＝x (0≤x ≤1)， 则AM

→＝AB →＋BM →＝AB →＋xAD →， AN

→＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－x )AB →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋xAD →)·[AD

→＋(1－x )AB →] ＝xAD →2＋(1－x )AB →2＋(x －x 2＋1)AB →·AD

→ ＝x |AD →|2＋(1－x )|AB →|2＋(－x 2＋x ＋1)×2×1×12

＝x ＋4(1－x )－x 2＋x ＋1

＝－(x ＋1)2＋6.

∵0≤x ≤1，∴－(x ＋1)2＋6∈[2,5]．

答案：[2,5]

三、解答题

9．已知向量OA

→＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，β＝α－π6，

求向量OA

→与OB →的夹角． 解：设向量OA

→与OB →的夹角为θ， ∵cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|

＝－λsin βcos α＋λsin αcos β|λ| ＝λsin (α－β)|λ|

， 又∵α－β＝π6，∴当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝60°，

即向量OA →与OB →的夹角为60°.

知识改变命运

当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝120°，即O A →与O B →的夹角为120°.

10．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时，λ的取值范围．

解：若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角，则(a ＋λb )·(λa ＋b )>0，且λ≠1(即夹角不是0°)．

即λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0且λ≠1.

∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝9，

a ·

b ＝|a |·|b |cos 45°＝2×3×22＝3，

∴2λ＋(λ2＋1)×3＋9λ>0，

即3λ2＋11λ＋3>0且λ≠1，

解得λ<－11－856或λ>－11＋856

且λ≠1. 11．(探究选做)(2013·重庆调研)在△ABC 中，设B C →·C A →＝C A →·A B →.

(1)求证：△ABC 为等腰三角形；

(2)若|B A →＋B C →|＝2且B ∈[π3，2π3]，求B A →·B C →的取值范围．

解：(1)证明：因为B C →·C A →＝C A →·A B →，

所以C A →·(B C →－A B →)＝0.

又A B →＋B C →＋C A →＝0，所以C A →＝－(A B →＋B C →)， 所以－(A B →＋B C →)·(B C →－A B →)＝0，

所以A B →2－B C →2＝0，

所以|A B →|2＝|B C →|2，即|A B →|＝|B C →|，

故△ABC 为等腰三角形．

(2)因为B ∈[π3，2π3]， 所以cos B ∈[－12，12]，

设|A B →|＝|B C →|＝a ，因为|B A →＋B C →|＝2，