2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高一期末数学试题及答案

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高一期末数学试题及
答案
一、单选题
1．已知集合{}
B x x x
=-≥-，则A B＝
|3782
=≤<{}
A x x
|24
（）
A．{}
x x≥
|2
|3
x x≥B．{}
C．{}
≤<D．{}
|34
x x
≤<
|24
x x
【答案】B
【解析】先化简{}{}
B x x x x x
=-≥-=≥，再由
|3782|3
{}
=≤<，求A B.
|24
A x x
【详解】
因为{}{}
=-≥-=≥
B x x x x x
|3782|3
又因为{}
A x x
=≤<
|24
所以{}
=≥
A B x x
|2
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．设OM=（﹣3，3），ON=（﹣5，﹣1），则1
MN等于（）
2
A．（﹣2，4） B．（1，2）C．（4，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】由OM =（﹣3，3），ON =（﹣5，﹣1），求得
MN ON OM
=-即可.
【详解】
因为OM =（﹣3，3），ON =（﹣5，﹣1） 所以()2,4=-=--MN ON OM
所以()1
1,22=--MN
故选：D 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．扇形的圆心角为2
3
π，则此扇形的面积为
（ ）
A ．54
π B ．π C D 【答案】B
【解析】根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】
由题意可得圆心角2
α3
π
=，半径r =，所以弧长αr l ==
,
故扇形面积为11
S r 22l π===.
【点睛】
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型. 4．tan255°= A ．－2
B ．－
C ．2
D ．
【答案】D
【解析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
详解：
000000
tan255tan(18075)tan75tan(4530)
=+==+
=
00
00
1
tan45tan30
2
1tan45tan30
+
==+
-
【点睛】
三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
5．将函数y＝2sin2x的图象向左平移
6
π
个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（）
A．y＝2sin（2x
6
π
+）+3 B．y＝2sin（2x
3
π
+）+3
C．y＝2sin（2x
3
π
-）+3 D．y＝2sin（2x
6
π
-）﹣3【答案】B
【解析】根据三角函数的平移变换，左加右减，上加下减来求解.
【详解】
将函数y＝2sin2x的图象向左平移
6
π个单位，得到
2sin[2]2sin2
63
y x x
ππ
⎛⎫⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，再向上平移3个单位，
得到2sin 233y x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.
6．已知向量a ，b 满足a =（x ，1），b =（1，﹣2），若a ∥b ，则a 2b +（ ）
A ．（4，﹣3）
B ．（0，﹣3）
C ．（3
2
，﹣3） D ．（4，3）
【答案】C
【解析】根据a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ，求得向量a 的坐标，再求a 2b +的坐标. 【详解】
因为a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ， 所以21x -= ， 所以1
2x =- ， 所以a =（1
2
-
，1）， 所以a 32,32⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
b . 故选：C 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．设函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--，则函数()f x 是（ ） A ．偶函数，且在()0,1上是减函数 B ．奇函数，且在()
0,1
上是减函数
C ． 偶函数，且在()0,1上是增函数
D ．奇函数，且在()0,1上是增函数 【答案】D
【解析】()f x 定义域为[1,1]-，因为
1()lg
1x
f x x
+=-，所以
1(-)lg
()1x
f x f x x
-==-+，
所以函数()f x 为奇函数， lg(1)x +为增函数，
()lg 1x --为增函数，所以()f x 在定义域内仍为增函数，
故选D
8．已知0w >,0φπ<<，直线4
x π
=
和54
=
x π
是函数()sin()
f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） A ．π
4 B ．π
3
C ．π
2
D ．
3π4
【答案】A
【解析】因为直线4
x π
=
和54
x π=
是函数()()sin f x wx φ=+图像
的两条相邻的对称轴， 所以
T=522π44ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭
．所以ω=1，并且
sin （4π
+φ）与
sin
（54
π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=4π
． 故选：A ．
9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升
到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
【答案】C
【解析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.
【详解】
因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的， 由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()
3002%1.x
-<，
0.70.2x <，
两边取对数得，
lg 0.7lg 0.2x <
， lg 0.214
lg 0.73
x >
= ，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.
10．已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>
【答案】B
【解析】首先可求出0c
，再由()0f x =得2x x =-，由()0
g x =得2log x x =-，将其转化为2x y =、2log y x =与y x =-的交点，数形结合即可判断. 【详解】
解：由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=， 由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x =-.
在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =-的图象，
由图象知0a <，0b >，a c b ∴<<. 故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，在线段DE 取点F ，使得DF ＝2FE ，
则AF BC ⋅的值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．12
-
D ．1
3
-
【答案】D
【解析】先将,AF BC 用,AC AB 表示，再由三角形为边长为2的等边三角形，得到
2,cos 602AB AC AB AC AB AC ==⋅=⋅⋅=，最后用数量积公
式计算 AF BC ⋅.
【详解】
根据题意，11
23
AF AD DF AB AC =+=
+ ，
BC AC AB =-，
又因为三角形为边长为2的等边三角形， 所以2,cos 602AB AC AB AC AB AC ==⋅=⋅⋅= ，
所以
()
22111111()()232363⎛⎫
+-=-+⋅=+⋅=- ⎪⎝⎭
AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB ，
故选：D 【点睛】
本题主要考查了向量的表示及运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 12．已知函数
f （x ）5
01231
x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，
，＞，若
0≤b ＜a ，且f （a ）
＝f （b ），则bf （a ）的取值范围为（ ）
A ．（32，7
2]
B ．[25
16-
，+∞） C ．[0，7
2]
D ．[2516-，7
2]
【答案】A
【解析】作出函数图象，易知b 的范围，再将bf （a ）转化为bf （b ），用二次函数法求解. 【详解】
如图所示：
因为f （a ）＝f （b ）， 可知：1
12b <≤
，
所以
bf （a ）= b f （b ）=b (b +5
2
)=2
525
416b ⎛⎫+- ⎪
⎝⎭ ，
所以bf （a ）的取值范围为（3
2，7
2]. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
二、填空题 13．设
α∈{﹣2，﹣1，12
-
，1
2，1，2}．使y ＝x a 为奇函
数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____． 【答案】-1
【解析】先根据单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性. 【详解】
因为y ＝x a 在（0，+∞）上单调递减， 所以α0< ， 当α=-2时，2
y x
，()()
()2
2f x x x f x ---=-==
是偶函数，
当12
α=-时，12y x -
=，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，
当1α=-时，1y x -=，()()
()1
1f x x x f x ---=-=-=-是奇函数.
故答案为：-1 【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14．在平面直角坐标系中，向量a =（3，4），向量b a λ=，（λ＜0），若b ＝1，则向量b 的坐标是_____．
【答案】3455⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭， 【解析】先由向量a =（3，4）及b a λ=，表示向量b 的坐标，再利用b ＝1求解. 【详解】
因为向量a =（3，4）， 所以向量()3,4λλλ==b a ， 所以()2
3|5|1λλ===b ，
所以1
5
λ=±
，
又因为λ＜0，
所以1
5λ=-.
所以34,55⎛⎫--
⎪⎝⎭=b . 故答案为：3
455⎛⎫
--
⎪⎝⎭
， 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．计算lg 1
100-2132log +的结果是_____．
【答案】7
2
【解析】先将lg 1
100-213
2log +，变形为21log 622lg 10ln 2e --+，
再利用对数的性质求解. 【详解】 lg 1
100-2132log +，
21
log 62
2
lg 10
ln 2e -=-+
，
--
+=17=2622
.
故答案为：7
2
【点睛】
本题主要考查了对数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质M ． （1）下列函数中具有性质M 的有____ ①f （x ）＝﹣x +2
②f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]） ③f （x ）＝x 1x
+，（x ∈（0，+∞）） ④f （x
）=
（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则实数a 的取值范围是____． 【答案】①②④
a 1
2
≤-
或a ＞0
【解析】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，
解一元二次方程即可.②若存在，则00
sin 1x x =，即
00sin 10x x -=，再利用零点存在定理判断.③若存在，则
00011x x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，直接解方程.④
若存在，则1x =
，即10x -=，令(
)01f x x =-，再利用零点存在定
理判断.
（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化
：当2x ≥ 时，
21
3a x x
=- 有解，当12x -≤< 时，
21
a x x
=
-+ 有解，分别用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，
即2
00210x x -+=，所以01x =
，存在.
②因为f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]），若存在，则00sin 1x x =，
即00sin 10x x -=，
令()
000sin 1f x x x =-，
因为()πππ
⎛⎫=-<=-> ⎪
⎝⎭
1sin 110,sin 10222f f ， 所以存在01,2x π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
.
③因为f （x ）＝x 1
x +，（x ∈（0，+∞）），若存在，则
00011x x x ⎛
⎫
+
= ⎪⎝⎭
， 即()0
00,x =∉+∞，所以不存在.
④因为f （x
）
=（x ∈（0，+∞）），若存在，
则1x =，
即10x -=， 令(
)01f x x =-，
因为(
)11
10,11022f
f ⎛⎫=-<=-> ⎪
⎝⎭
，
所以存在01,12x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
. （2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，
则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解， 当2x ≥
时，213a x x
=
- 有解，
令2
239
()3[2,)24g x x x x ⎛⎫=-=--∈-+∞ ⎪⎝
⎭
，
所以1
(,](0,)2
a ∈-∞-+∞ .
当12x -≤< 时，21a
x x
=
-+ 有解，
令2
2
111()[2,]244g x x x x ⎛⎫=-+=--+∈- ⎪
⎝
⎭ ，
所以1
a∈-∞-.
(,](0,4]
2
综上：实数a的取值范围是a1
≤-或a＞0.
2
故答案为：(1). ①②④(2). a1
≤-或a＞0
2
【点睛】
本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知不共线的向量,a b满足3
b=，,a b的夹角为θ．
a=，2
（1）θ＝30°，求a b+的值；
（2）若()()
+⊥-，求cosθ的值.
2
a b a b
【答案】（1（2）1
-
6
【解析】（1）根据3
b=，,a b的夹角θ＝30°，通过
a=，2
()222
+=+=+⋅+
a b a b a a b b求解.
()2()
（2）由()()
+⋅-=
20
a b a b，展开
+⊥-，得()()
2
a b a b
22
a a
b b求解.
+⋅-=
()2()0
【详解】
（1）因为3
b=，,a b的夹角）θ＝30°，
a=，2
所以()222
()2()13
a b a b a a b b.
⋅=
+=+=+++
（2）因为()()
a b a b
+⊥-，
2
所以()()
+⋅-=
a b a b，
20
所以22
a a
b b，
()2()0
+⋅-=
所以96cos80
θ
+-=，
所以1
cos
6
θ=-.
【点睛】
本题主要考查了数量积的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
18．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}．
（1）若m＝2，求（∁R A）∩B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|3≤x＜5}；（2）（﹣∞，1]
【解析】（1）先化简集合A，再求得∁R A，由m＝2，得B ＝{x|1＜x＜5}，然后求（∁R A）∩B.
（2）由A∩B＝B，得到B⊆A，再分B＝∅时，由m﹣1≥2m+1
求解，当B≠∅时，有
121
14
213
m m
m
m
-+
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
＜
求解，最后取并集.
【详解】
（1）集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}＝{x|﹣x2﹣x+12＞0}＝{x|﹣4＜x＜3}，
所以∁R A＝{x|x≤﹣4或x≥3}，
当m＝2时，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}＝{x|1＜x＜5}，
所以（∁R A）∩B＝{x|3≤x＜5}.
（2）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 当B ＝∅时，m ﹣1≥2m +1，解得m ≤﹣2； 当
B ≠∅时，有12114213m m m m -+⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
＜，解得﹣2＜m ≤1，
综上：实数m 的取值范围是（﹣∞，1]. 【点睛】
本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P 的坐标是（3a ，a ），其中a ≠0． （1）求
cos （α4
π
-
）的值；
（2）若tan （2α+β）＝1，求tanβ的值． 【答案】（1
）；（2）1
7
【解析】（1）根据题意，当a ＞0时，点P 在第一象限，求出c osα，sinα，再利用两角差的余弦求解，同理，当a ＜0时，点P 在第三象限，按同样的方法求解
（2）由终边上点P （3a ，a ），可得
tan 1
3
α=
，用二倍角公式求出tan2α，又因为 tan （2α+β）＝1，利用角的变换转为tanβ＝()tan[22]αβα+-求解.
【详解】
（1）由题意可得，
当a ＞0时，点P 在第一象限，
cosα
=
=
，sinα=
=
所以cos （4π
α-）2102105
=
⨯+⨯=， 当a ＜0时，点P 在第三象限，
cos α=sin 10α=-
，
所以cos （4π
α-）((22=
+=.
（2）由题意可得，tan 1
3
α=， 故tan2α22314
tan tan αα=
=-， 因为tan （2α+β）＝1， 故
tanβ＝()tan[22]αβα+-()()221
1227
tan tan tan tan αβααβα
+-=
=++. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．已知向量
a =（2sin x ，cos x ），
b =x ，2cos x ）．
（1）若x ≠k π2π
+，k ∈Z ，且a b ⊥，求2sin 2x ﹣cos 2x 的值； （2）定义函数f （x ）1a b =⋅+，求函数f （x ）的单调递减区间；并求当
x ∈[0，2π
]时，函数
f （x ）的值域．
【答案】（1）1
4
-；（2）单调递减区间为[k 263
k π
πππ++，]，k ∈Z ，
值域[1，4]
【解析】（1）由
a b ⊥，得220cos x +=，从而求得
tan x 3
=-
，再用商数关系，转化
2sin 2x
﹣
cos 2x 2
221
1
-=
+tan x tan x 求
解.
（2）化简函数
f （x ）1a b =⋅+=2sin （2x 6
π+
）+2，利用整体
思想，令1
22k ππ+≤2x 3262
k π
π
π+≤
+可求得减区间.由
x 102π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
，得到2x 7666π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
，，从而有sin （2x 6
π
+
）112⎡⎤∈-⎢
⎥⎣⎦
，求解. 【详解】 （1）因为a b ⊥， 所以
220cos x +=，
因为x 1
2k ππ≠+，所以cos x ≠0，
所以tan x =，
所以
2sin 2x ﹣cos 2x 2
221114
tan x tan x -==-+. （2）f （x ）
1a b =⋅+＝x cos x +2cos 2x +12x =+cos2x +2
＝2sin （2x 6
π
+
）+2，
令122
k ππ+≤2x 3262k πππ+≤+， 解得，263k x k ππ
ππ+≤≤+，
故函数的单调递减区间为[k
26
3
k ππππ++，]，k ∈Z .
因为x 02π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，， 所以2x 7666π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
，， 所以
sin （2x 6π+
）112⎡⎤∈-⎢
⎥⎣⎦
，， 所以函数f （x ）的值域[1，4]．
【点睛】
本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．已知奇函数f （x ）222
x b x +=+，函数g （θ）＝cos 2θ+2sinθ3
2-，θ∈[m ，
56
π
]．m ，b ∈R ．
（1）求b 的值；
（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明； （3）当x ∈[0，1]时，函数g （θ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．
【答案】（1）b ＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）566
π
π≤<m
【解析】（1）根据函数f （x ）222
x b
x +=
+为奇函数，令f （0）
＝0求解.
（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.
（3）根据（2）知，函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，得到
()()1
14
max f x f ==
．即g （θ）的最小值为1
4，再令
t ＝sinθ，
转化为二次函数求解. 【详解】 （1）因为函数
f （x ）222
x b
x +=
+为R 上的奇函数，
所以f （0）＝0，解得b ＝0．
（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．
证明：设1201x x ≤≤≤
则：f （x 2）﹣f （x 1）()21122
122222121()1112112(1)(1)x x x x x x x x x x --⎛⎫=-=⨯ ⎪++++⎝⎭
，
因为1201x x ≤≤≤，
所以x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，
所以()
21122221
()1102(1)(1)x x x x x x --⨯++＞，
即f （x 2）> f （x 1），
所以函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．
（3）由（2）得：函数f （x ）在[0，1]上的单调递增， 所以
()()1
14
max f x f ==
．所以g （θ）的最小值为1
4．
令t ＝sinθ，所以
y 21
22=-+-t t 的最小值为14，
令211
224=-+-
=t t 解得13,22==t t 所以1322≤≤t ， 即1
12sin θ≤≤，
所以5,66ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
又因为θ∈[m ，56
π
]．m ，b ∈R ，
所以56
6
π
π≤<
m ．
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.
22．已知函数y ＝f 1（x ），y ＝f 2（x ），定义函数f （x ）
()()()()()()1122
12f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞．
（1）设函数f 1（x ）＝x +3，f 2（x ）＝x 2﹣x ，求函数y ＝f （x ）的解析式；
（2）在（1）的条件下，g （x ）＝mx +2（m ∈R ），函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；
（3）设函数f 1（x ）＝x 2﹣2，f 2（x ）＝|x ﹣a |，函数F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ），求函数F （x ）的最小值．
【答案】（1）()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩
，或，＜＜；（2）()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，；（3）()2914211[]2229142min a a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩
，＜，，＞ 【解析】（1）根据函数
f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞的定义，两个函数中取小的.
（2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根，因为函数()f x 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.
（3）根据题意F （x ）2219241924x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝
⎭⎩，，＜．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.
【详解】
（1）∵f 1（x ）＝x +3，()22f x x x =-，
当f 1（x ）≤f 2（x ），即x ≥3或x ≤﹣1时，f （x ）＝x +3， 当f 1（x ）＞f 2（x ），即﹣1＜x ＜3时，()2f x x
x =-，
综上：()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜． （2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点， 即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根， 因为函数()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩
，或，＜＜，函数g （x ）＝mx +2（m ∈R ）， 所以当x ≤﹣1或x ≥3时，mx +2＝x +3恰有一个实数解， 所以11103m x ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，或[)1110m x
-=∈-，， 解得，[)40113m ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦
，，． 当﹣1＜x ＜3时，mx +2＝x 2﹣x 恰有两个不同的实数解， 即当﹣1＜x ＜3时x 2﹣（m +1）x ﹣2=0恰有两个不同的实数解，
设函数h （x ）＝x 2﹣（m +1）x ﹣2，
由题意可得()()010301132h h m ∆⎧⎪-⎪⎪⎨⎪+⎪-⎪⎩
＞＞＞＜＜， 所以2(1)8004335
m m m m ⎧++⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩＞＞＜＜＜，
解得403m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，， 综上，m 的取值范围为()4
0113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
，，． （3）F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ）＝x 2+|x ﹣a |﹣222221924221924x a x a x x a x a x x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎧+--≥⎪⎝⎭==⎨⎨-+-⎩⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝
⎭⎩，，，＜，＜． ①若a 12＞，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，上是单调减函数，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上是单调增函数， 此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
； ②若1122a -≤≤，则函数F （x ）在（﹣∞，a ）上是单调减函数，在（a ，+∞）上是单调增函数，
此时，函数F （x ）的最小值为F （a ）＝a 2﹣2； ③若12a -＜，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，上是单调增函数， 此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
； 综上：()2914211[]2229142min a a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩
，＜，，＞． 【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运
算求解的能力，属于难题.。