2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高一期末数学试题及答案
2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)
江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：14712y229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系，并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=5．【解答】解：∵函数f（）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=4．【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（）=﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，∴1≤3cos+1≤4，∴0≤log2（3cos+1）≤2，故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以=﹣，y=，+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=4﹣2，∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，∵函数f（）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），则f（）=4+2，＜0，则函数f（）=，则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．解得+≤ω≤（+），∈．求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：14712y229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系，并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，，∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N+y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，y ma=245万元．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2=，所以=﹣2…6分（2）因为f（﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f（），所以f（）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，又f（）=（）﹣2在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数y=g（a+1）﹣是偶函数，∴log a（a﹣+1）+=log a（a+1）﹣，对任意∈R恒成立，∴2=log a（a+1）﹣log a（a﹣+1）=log a（）=∴=，（2）由题意设h（）=f（）﹣g（）=2log a（2+t﹣2）﹣log a＜0在∈[1，4]恒成立，∴2log a（2+t﹣2）＜log a，∵0＜a＜1，∈[1，4]，∴只需要2+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2++2恒成立，∴t＞（﹣2++2）ma，令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，∴（﹣2++2）ma=1，∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，∴函数y=|f（）|=|2log a（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），令|2log a（2+2）|=2，得=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos （+）=cos2，当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵∈[﹣，]，∴|+|===2cos，则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，令t=cos，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。
2020年江苏省无锡市江阴长寿中学高一数学文下学期期末试题含解析
2020年江苏省无锡市江阴长寿中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y＝的值域是( ).A．[0，＋∞)B．[0，4) C．[0，4] D．(0，4)参考答案：B2. 函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，0）D．（3，0）参考答案：B【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），可得函数y=a x+2图象一定过点（0，3），由此得到答案．【解答】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），故选B．3. 等比数列中，已知，则此数列前17项之积为( )参考答案：D略4. 函数的图像大致形状是（）参考答案：B略5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A. B. y= C. D.参考答案：A【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6. 函数的值域是（）A．B．C．D．参考答案：B略7. 定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋1)的值域为( ) A．[2a，a＋b] B．[a，b]C．[0，b－a] D．[－a，a＋b]参考答案：B8. 已知是定义在R上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（）A． B． C． D．参考答案：D9. 函数是上的偶函数，则的值是 ( ）A B C D参考答案：C略10. 若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.【详解】解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；选项C：因为，所以，因为，所以，选项C正确；选项D：取，当，则，所以，所以选项D错误；故本题选C.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设A＝{x|∈N＋，x∈Z}，则A＝________．参考答案：{－1，2，3，4}12. 已知函数，则函数的零点是__________．参考答案：解析：或13. （5分）集合A={x|（a﹣1）x2+3x﹣2=0}有且仅有两个子集，则．参考答案：a=1或﹣考点：根的存在性及根的个数判断；子集与真子集．专题：计算题．分析：先把集合A={x|（a﹣1）x2+3x﹣2=0}中有且仅有一个元素即是方程（a﹣1）x2+3x ﹣2=0有且仅有一个根，再对二次项系数a﹣1分等于0和不等于0两种情况讨论，即可找到满足要求的a的值．解答：集合A={x|（a﹣1）x2+3x﹣2=0}中有且仅有一个元素即是方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有且仅有一个根．当a=1时，方程有一根x=符合要求；当a≠1时，△=32﹣4×（a﹣1）×（﹣2）=0，解得a=﹣故满足要求的a的值为1或﹣．故答案为：1或﹣．点评：本题主要考查根的个数问题．当一个方程的二次项系数含有参数，又求根时，一定要注意对二次项系数a﹣1分等于0和不等于0两种情况讨论．14. = ．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．15. 若f(x)=(m-2)+mx+4 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调递减区间为_______。
2019-2020学年江苏省无锡市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}{}0,1,1,2,3A B ==，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2,3C ．{}0,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】D【解析】根据并集的计算求解即可. 【详解】因为集合{}{}0,1,1,2,3A B ==,则A B ={}0,1,2,3.故选：D 【点睛】本题主要考查了并集的运算,属于基础题型. 2．若集合{}2,k k Z M ααπ==∈，集合{},k k N Z ββπ==∈，则集合M 与N 的关系是（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．M N =D ．M N <【答案】A【解析】分析两个集合分别表示的角度的范围即可. 【详解】易得{}{}2,...4,2,0,2,4...M k k Z ααπππππ==∈=--,{}{},...4,3,2,,0,,2,3,4...N k k Z ββπππππππππ==∈=----故M N ⊆. 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3．与向量(AB =平行的单位向量是（ ）A ．12⎛⎝⎭ B ．1,2⎛-⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭D ．12⎛- ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】利用单位向量模长等于1求解即可. 【详解】与向量(AB =平行的单位向量是12=AB AB⎛ ⎝±±±=⎭. 故选： C 【点睛】本题主要考查了单位向量的运算,属于基础题型.4．已知向量a ，b 满足()3,1a =-，()2,b k =，且a b ⊥r r，则a b -等于（ ）A ．()5,5B ．()5,5--C ．()5,5-D ．()1,7-【答案】B【解析】根据向量垂直的数量积公式求解b 再计算即可. 【详解】因为a b ⊥,故32106k k -⨯+⨯=⇒=.故()()()3,12,65,5a b --==---. 故选：B 【点睛】本题主要考查了垂直向量的数量积表示已经向量的坐标运算等.属于基础题型. 5．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A ．26cm B ．29cmC ．26cm πD ．29cm π【答案】B【解析】根据弧度的概念求解半径再求面积即可. 【详解】 易得半径632r cm ==.故扇形的面积为213692S cm =⨯⨯= . 故选：B 【点睛】本题主要考查了弧度的基本概念以及扇形面积公式等.属于基础题型. 6．已知曲线1:cos C y x =，2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】根据三角函数图像平移与伸缩变换的方法判断即可. 【详解】由曲线1:cos C y x =,2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭知,把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,得到cos 2y x =,再纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3π个单位长度,得到曲线2C . 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与伸缩变换,属于基础题型.7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年【答案】B【解析】根据条件列不等式,解得结果. 【详解】由题意求满足1130(112%)200n -+>最小n 值，由1130(112%)200n -+>得1lg[130(112%)]lg 200lg1.32(1)lg1.12lg 22n n -+>∴++->+ min 0.110.05(1)0.3 4.85n n n +->∴>∴=，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B. 【点睛】本题考查指数函数应用与解指数不等式,考查基本求解能力,属基础题.8．函数233()x xf x x--=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】先分析函数的奇偶性,再判断当x →+∞时函数的值即可. 【详解】 因为233()x xf x x--=定义域为{}|0x x ≠,且()223333()()x xx x f x f x xx -----==-=--. 故()f x 为奇函数,排除B.当x →+∞时, 33xx--远大于2x .此时233+x x x --→∞.排除AD. 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,需要根据奇偶性与x →+∞时的函数值大小判断.属于中等题型.9．已知0>ω，函数()2sin()6f x x πω=+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．18,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．28,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】求出6x πω+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围,再代入单调递减区间分析即可. 【详解】 因为5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故5,26666x πππωωωππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦,又()f x 的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故221282624533552662k k k k πππωπωπππωπ⎧+≥+⎪⎪⇒+≤≤+⎨⎪+≤+⎪⎩,k Z ∈. 故当0k =时,2835ω≤≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质运用,需要根据题意列出关于ω的不等式再求解.属于中等题型.10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最大值为2；④函数()y f x =在[0,]π上有无数个零点.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D【解析】根据函数的性质逐个判断即可. 【详解】对①, ()cos cos f x x x =+定义域为R ,又()()cos cos cos cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=.故()y f x =是偶函数.①正确. 对②,易得(0)cos 0cos0112f =+=+=,()cos cos 110(0)f f πππ=+=-+=≠.故π不是()y f x =的周期.故②错误.对③,因为()cos cos cos cos 2cos 2f x x x x x x =+≤+=≤. 又当0x =时可以取到等号.故③正确. 对④, 当[,]2x ππ∈时,cos 0x <,故()cos cos cos cos 0f x x x x x =+=-=.故④正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦函数相关的性质判断,需要根据题中所给的信息进行逐个性质的判断,属于中等题型.11．在平面直角坐标系中，已知点()()0,1,0,3A B -，,M N 是x 轴上的两个动点，且2MN =，则AM BN ⋅的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2D ．3【答案】A【解析】先化简求得3AM BN OM ON ⋅=⋅-,再设()(,0),2,0M x N x +,再表达出AM BN ⋅求最小值即可.【详解】 由题,()()AM BN AO OM BO ON AO BO AO ON OM BO OM ON ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅3003OM ON OM ON =-+++⋅=⋅-.又2MN =,由3OM ON ⋅-的对称性,不妨设()(,0),2,0M m N m +,则()()223232314OM ON x x x x x ⋅-=+-=+-=+-,当1x =-时有最小值4-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与函数最值问题,属于中等题型.12．已知函数2()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(0,6-B ．(0,6+C ．(2,6-D ．(2,6+【答案】C【解析】画出2()4f x x x =-与()12f x m x =+-的图像,分析图像有四个交点的情况求解即可. 【详解】画出2()4f x x x =-如图,又()12f x m x =+-过()1,2--,且为两条射线,斜率分别为,m m -.由图可得临界条件为()12f x m x =+-过()0,0和与抛物线相切时.又当()12f x m x =+-过()0,0时,0(2)20(1)m --==--.与抛物线24y x x =-+相切时,()224(4)2012y x x x m x m y m x ⎧=-+⎪⇒+-+-=⎨=+-⎪⎩判别式()()()224420612m m m ∆=---=⇒-=.由图可得取较小值6m =-故m 的取值范围为(2,6-.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出对应的图像,再根据临界条件列式求解.属于难题.二、填空题13．计算：32lg 2ln lg 25e -=＋_______. 【答案】1-【解析】根据对数运算求解即可. 【详解】32lg 2ln lg 252lg 232lg 5231e -+=-+=-=-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型.14．已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则(0)(2)f f +等于_______. 【答案】1【解析】根据分段函数解析式求解即可. 【详解】易得0112log 22(11(0)(22))1f f -=+⎛⎫+=+ ⎪⎝-=⎭.故答案为：1 【点睛】本题主要考查了分段函数与指对数函数的基本运算,属于基础题型.15．已知幂函数n y x =的图像过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，则n =_______，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+_______(3)n-.【答案】2- <【解析】(1)代入幂函数求解即可.(2)根据225x x -+与3的大小关系以及幂函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】(1)因为幂函数n y x =的图像过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭,故1923n n ⇒=-=. (2)因为2225(1)43x x x -+=-+>,故2222(25)3(3)x x ----+<=-. 即222(25)(3)x x ---+<-.故答案为：(1). 2- (2). < 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式求解与函数值大小判断,属于中等题型.16．在ABC ∆中，已知3,2,120AB AC A ===︒，若点,D E 满足3BC BD =，AE AC AB λ=-（R λ∈），且6AD AE -⋅=，则实数λ=______. 【答案】32【解析】将6AD AE -⋅=用,AB AC 向量表达再利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】因为3BC BD =,故2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r,故()22212121333333AB AC AB AD AE AC AB AC AB AC λλλ⎛⎫=+⋅=-+⋅ ⎪⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭⎝⎭()42126333533λλλ⎛⎫+-⋅- ⎪⎝-=-⎭=-+.又6AD AE -⋅=即352362λλ-=-⇒=-. 故答案为：32【点睛】本题主要考查了向量的基底向量的用法以及数量积公式,需要根据题意将所给条件用两个基底向量去表示再求解,属于中等题型.三、解答题17．已知向量a ，b 满足3a =，2=b ，a ，b 的夹角为θ.（1）若56πθ=，求()a a b ⋅+的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +（x ∈R ）的最小值.【答案】（1）3-（2）3【解析】(1)根据向量的数量积运算方法求解即可. (2)平方后分析二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）∵5||3,||2,6a b πθ===,∴5||||cos 36a b a b π⋅===-⎭, ∴2()330a a b a a b ⋅+=+⋅=-=. （2）当1cos 3θ=时, ∵2222||2a xb a x b xa b +=++⋅234x =+ 2843x ⎛=++ ⎝⎭.∴当3x =-时,||a xb +取得最小值3. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算以及模长的最值问题等.属于中等题型. 18．定义一种集合运算：{x x B AB A ⊗=∈且}x A B ∉，已知集合{}2lg(3),x y x x x M R =-=∈，1(),02x y y x N ⎧⎫=<⎨⎩=⎬⎭.（1）求M N ⋂； （2）求M N ⊗. 【答案】（1）(1,3)MN =（2）(0,1][3,)M N ⊗=+∞【解析】(1)根据对数函数的定义域与指数函数的值域求解集合,M N 再求交集即可. (2)根据新定义的符号运算求解即可. 【详解】（1）对集合M ,有230x x ->,解得03x <<, ∴(0,3)M =；对集合N ,∵0x <,121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝, ∴(1,)N =+∞. ∴(1,3)MN =.（2）(0,3)(1,)(0,)M N =+∞=+∞,又(1,3)MN =,∴(0,1][3,)M N ⊗=+∞. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及指对数函数的定义域与值域等.同时也考查了新定义集合的运用,属于中等题型.19．已知函数2()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1()g x xf x ax a R =--∈. （1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明.【答案】（1）2a =（2）函数()y g x =的单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间，证明见解析【解析】(1)利用偶函数满足(1)(1)f f -=计算即可.(2)设12,(,)x x ∈-∞+∞,且12x x <,再计算()()12f x f x -的正负分析即可. 【详解】（1）由于函数2()(2)2f x ax a x =+-+为偶函数,则(1)(1)f f -=,代入()f x 中, (2)2(2)2a a a a +-+=--+解得2a =. （2）函数()y g x =的单调递增区间是(,)-∞+∞.由（1）得23()(2)21()1g x x x x g x x =+--==-.设12,(,)x x ∈-∞+∞,且12x x <,则()()333312121211f x f x x x x x -=--+=-()()()2222121122121221324x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵212102x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,22304x ≥, ∴2212213024x x x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭,（）当且仅当122102304x x x ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩即12x x =时,（）取“＝”,它与12x x <不符,故2212213024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭. ∵120x x -<,∴()()120f x f x -<,即()()12f x f x <, ∴函数()y g x =在(,)-∞+∞上是增函数,故函数()y g x =的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质与单调性的证明方法等.属于中等题型.20．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们的终边与单位圆分别相交于点,P Q ，已知点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求12sin 21cos 2sin ααα+++的值；（2）若13OP OQ ⋅=-，求sin β的值.【答案】（1）18（2【解析】(1)根据三角函数的定义求得正余弦值,再利用二倍角以及同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用向量的坐标运算求得1cos()3αβ-=-再利用sin sin[(()]βααβ=--与正弦函数的差角公式求解即可. 【详解】（1）由三角函数的定义得43cos ,sin 55αα=-=, ∴原式21sin 22cos 2sin cos αααα+=+ 2(cos sin )2cos (cos sin )ααααα+=+ cos sin 1tan 2cos 2αααα++==131288=-=. 故所求值为18.（2）∵13OP OQ ⋅=-,()()cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==,故1cos cos sin sin 3αβαβ+=-, ∴1cos()3αβ-=-,∵0a βπ<<<,∴0αβπ<-<,∴sin()3αβ-===, ∴sin sin[(()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---3143535315⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数定义求值与和差角公式等.属于中等题型.21．如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α的函数解析式()S α； （2）求()S α的最小值.【答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（2 【解析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可. (2)由(1)有11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用sin(230)2α︒+-再求最值即可.【详解】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥, 在Rt ACF ∆中,tan nCF α=,060α︒<<︒, 18060(90)30EAB αα︒︒︒︒∠=---=+,在Rt ABE ∆中,tan(30)tan(30)EB AE m αα︒︒=+=+.∴ACF ∆的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅, ∴ABE ∆的面积2211tan(30)22S AE EB m α︒=⋅=+,∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα︒⎡⎤=+⋅=+++⎢⎥⎣⎦. ∴12()S S S S α=--221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα︒︒⎡⎤=+++-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 11tan(30)2tan mn αα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦. （2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αααααα︒︒︒+=++=++ sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)αααααα︒︒︒+++=+=⎝⎭︒==sin(230)2α︒=+-.∴当23090α︒︒+=时,即30︒=α时,y取得最小值此时()S α. 【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.22．对任意实数,a b ，定义函数(,)12()F a b a b a b =+--，已知函数2()f x x nx n =-+，()21g x x =-，记()((),())H x F f x g x =.（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若22m n -=，且[6,)m ∈+∞，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[]0,6上的最小值.【答案】（1）[m ∈-（2）(2,)m （3）答案不唯一，具体见解析【解析】(1)由题意2(2)53x mx n g n n -+≥+-=-恒成立,再利用二次函数恒成立的性质求解即可. (2)由题,(,),b a bF a b a a b ≥⎧=⎨<⎩,再分1x ≥和1x <两种情况讨论即可.(3) 由(2)知,6m ≥且(),02()(),26g x x H x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩,再分段与分参数的取值范围情况讨论即可. 【详解】解：（1）据题意知,2(2)53x mx n g n n -+≥+-=-恒成立, 即有230x mx -+≥对于任意的x 恒成立.∴由0∆≤得2120m -≤,∴[m ∈-. （2）∵22m n -=, ∴2()22f x x mx m =-+-, 又由1(,)(||)2F a b a b a b =+--知,,(,),b a b F a b a a b≥⎧=⎨<⎩, ∴()((),())()H x F f x g x f x ==, ∴有[6,)m ∈+∞时,()()f x g x ≤. ①当1x ≥时,22222x mx m x -+-≤-, ∴(2)()0x x m --≤, 又6m ≥,∴[2,]x m ∈.②当1x <时,22222x mx m x -+-≤-+, ∴2(2)(2)0x x m +--≤,∵6,1m x ≥<,∴20,20x m ->->, ∴上式不成立.综上①②知,使等式成立的x 的取值范围是(2,)m .（3）由（2）知,6m ≥且(),02()(),26g x x H x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩∴221,02()22,26x x H x x mx m x ⎧-≤<=⎨-+-≤≤⎩∴当02x ≤<时,()2|1|H x x =-,∴min ()(1)0H x H ==.当26x ≤≤时,222()222224m m H x x mx m x m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭, ①当262m≤≤时,又6m ≥,即612m ≤≤时, 2min ()2224m m H x H m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭；②当62m>时,即12m >时,min ()(6)434H x H m ==-+； ∴综上知,2min ()min 0,22,4344m H x m m ⎧⎫=-+--+⎨⎬⎩⎭. 由2434022046m m m m -+≥⎧⎪⎪-+-≥⎨⎪≥⎪⎩64m ⇒≤≤+,min ()0H x =； 由243404342246m m m m m -+<⎧⎪⎪-+<-+-⎨⎪≥⎪⎩2(12)0m m ⇒-<⇒无实数解； 由2222044342246m m m m m m ⎧-+-<⎪⎪⎪-+≥-+-⎨⎪≥⎪⎪⎩4m ⇒>+时,2min ()224m H x m =-+-. 【点睛】本题主要考查了新定义函数的运用以及二次函数的最值范围讨论方法,需要根据题意分段以及分参数的范围进行讨论.属于难题.。
2019-2020学年无锡市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年无锡市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.若直线l1：(k−3)x+(k+4)y+1=0与l2：(k+1)x+2(k−3)y+3=0垂直，则实数k的值是()A. 3或−3B. 3或4C. −3或−1D. −1或42.某年某大学自主招生面试环节中，七位评委为一考生打出分数的茎叶图(如图)，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为()A. 84， 4.84B. 84， 1.6C. 85， 1.6D. 85，43.下列说法正确的是()A. 甲掷硬币10次，正面向上3次，则正面向上的概率为310B. 某种彩票中奖的概率为11000，则买1000张彩票肯定中奖C. 某地天气预报说明天下雨的概率是710，则该地明天肯定下雨D. 掷一颗骰子一次得到3向上的概率为164.已知△ABC中，若ab =b+√3ca，sinC=2√3sinB，其中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则tan2A=()A. √3B. −√3C. √33D. −√335.下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是()A. 2x−y−1=0B. x−2y−1=0C. x+2y−1=0D. x+12y+1=06.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是()A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2√3，则点A到平面MBC的距离为()A. 2√155B. √155C. √35 D. 2√358. 一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定9.直线{x =2+3t y =2+t，上对应t =0，t =1，两点间的距离是( )A. 1B. √10C. 10D. 2√210. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( )A. 2√33πB. 4√33πC. 8√33πD. 2√3π11. 若圆关于直线和直线都对称，则的值为( )A.B.C.D.12. sin(−31π6)的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√32二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右)，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是_______．14.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积的最小值为______．15.连续抛掷两颗骰子，点数(x,y)在圆x2+y2=20外的概率为_______．16.已知圆C1：x2+y2−2x−2y=0与圆C2：x2+y2+2x−1=0的交点为A，B，则|AB|=______．三、解答题（本大题共6小题，共86.0分）17.(本小题满分12分)已知点P(2,2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程；18.(本题满分12分)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？19.如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF=2，EF//AB，M为BC中点．(1)求证：FM//平面BDE；(2)求几何体ABCDEF的体积．20.在△4BC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a22bc =acosC2b−c．(Ⅰ)求cos A的值；(Ⅱ)若a=5，b+c=10，求△ABC的面积S△ABC．21.四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形．E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=√6，(1)求证：AF//平面PEC；(2)求证：AF⊥平面PCD；(3)求平面PBC与平面ABCD所成的二面角的余弦值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−12x −14y +60=0及其上一点A(2,4)． (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 内切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程． (2)设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC =OA ，求直线l 的方程． (3)设点T(0,t)满足：存在圆M 上的两点P ，Q ，使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．解：∵直线l1：(k−3)x+(k+4)y+1=0与l2：(k+1)x+2(k−3)y+3=0互相垂直，∴(k−3)×(k+1)+(k+4)×2(k−3)=0，即k2−9=0，解得k=3或k=−3，故选：A．2.答案：C解析：本题主要考查茎叶图是应用以及平均数和方差的公式，要求熟练掌握相应的公式．解：去掉一个最高分93和一个最低分79后的数据为84，84，86，84，87，共5个数据．所以平均数为15(84×3+86+87)=85．方差为15[3×(84−85)2+(86−85)2+(87−85)2]=85=1.6．故选C．3.答案：D解析：本题考查概率的定义，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量．随机事件可能发生，也可能不发生.概率是反映事件的可能性大小的量．随机事件可能发生，也可能不发生．继而判断BC错误，再根据概率的求法，得到A错误D正确．解：选项A、甲掷硬币正面向上的概率是12，与次数没有关系．故A错误；选项B、某种彩票中奖的概率为11000，则买1000张彩票不一定中奖，故B错误；选项C、某地天气预报说明天下雨的概率是710，则该地明天可能下雨，故C错误；。
2019-2020学年江苏省无锡市普通高中高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市普通高中高一下学期期末数学试题一、单选题1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是（ ） A ．,A l l α∈∉ B ．,A l l α∈⊄ C ．,A l l α⊂⊄ D ．,A l l α⊂∉【答案】B【解析】试题分析：用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点A 在直线l 上用属于符号∈，l 在平面α外用不包含⊄．故选B ．【考点】点、线、面位置关系的表示．2．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（ ） A ．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈 B ．2位病人中一定有1位能治愈 C ．每位病人治愈的可能性是50% D ．所有病人中一定有一半的人能治愈 【答案】C【解析】利用治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，判断选项即可. 【详解】A 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，针对某一具体的个体并不一定能治愈；B 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不是两次试验就一定能发生一次的；C 正确，因为治愈率为50%是一种概率，就是每位病人治愈的可能性是50%；D 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不一定有一半的人能治愈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用概率的知识解决实际问题.属于容易题.3．直线230x y ++=在y 轴上的截距为（ ） A ．32B ．3C ．3-D ．32-【答案】D【解析】直线方程中令0x =，求得的y 值即得． 【详解】在230x y ++=令0x =，得32y =-． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线截距的概念，直线与y 轴交点的纵坐标为纵截距，与x 轴交点的横坐标为横截距．4．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：对上述数据进行分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，下列四个线性回归方程中正确的选项是（ ） A ． 6.517.5y x =+ B ． 6.517y x =+ C ．614y x =+ D ．520y x =+【答案】A【解析】根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，代入验证，可得A 符合. 【详解】 由题意得：()12456855x =++++=， ()13040506070505y =++++=，代入验证，可得A 符合. 故选：A.本题主要考查了线性回归方程的求法和应用，本题的解题的关键是求出样本中心点.属于较易题.5．在空间直角坐标系中，已知ABC 的顶点分别为()1,2,1A ，()1,4,2B ，()0,4,2C ，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果． 【详解】因为ABC 的顶点分别为(1A ，2，1)，(1B ，4，2)，(0C ，4，2)，则||AB||AC =||1BC =．所以222||||||AB BC AC +=． 所以ABC 的形状为直角三角形． 故选：B 【点睛】本题考查空间点的坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A ．24π米3 B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【答案】B【解析】由圆锥体积公式分别求出原仓库与新建仓库的体积，作差可得答案. 【详解】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米.所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米.【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，准确地运用公式是关键，属于基础题.7．如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75︒，已知山的高度BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了（ ）A ．2千米B ．62-千米C ．1千米D ．1.5千米【答案】C【解析】由题意得15BAD ∠=︒,75BDE ∠=︒可得30ABD ∠=︒，设AD x =，在ABD △中根据正弦定理求得BD ，从而求得BE CE ，，结合山的高度BC 为1千米即可求得答案. 【详解】如图，过D 作DE BC ⊥交BC 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ， 由题意得45,30,BAC ABC DAC ∠=∠=︒∠=︒则15BAD ∠=︒在D 处测得山顶的仰角为75︒， 即75BDE ∠=︒,15DBE ∠=︒,则30ABD ∠=︒ 设AD x =，在ABD △中由正弦定理得：2sin15sin sin x BDBD x ABD BAD=⇒=︒∠∠1cos152sin15cos15sin 302BE BD x x x =︒=︒︒=︒=, 1sin 302CE DF x x ==︒=,因为1BC =,即1BE CE x +==，即从A 到D 前进了1千米， 故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生运算能力及思维能力，属于基础题. 8．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN 的中点，且2MN =.则AP 长度的最小值为（ ）A ．13B ．32C ．4D ．5【答案】C【解析】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，转化为在坐标系里求距离的最小值，根据分析可以知道，AP 长度的最小值实际是一个圆上的点到定点距离的最小值的一半，即可求解. 【详解】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系， 设()4,M y ，(),3N x ，43,22x y P ++⎛⎫∴⎪⎝⎭()()222434MN x y ∴=-+-=,x y 表示以()4,3为圆心，半径为2的圆上的点， ()()222243143222x y AP x y ++⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴AP 表示圆上的点到()4,3--距离的一半，()4,3--到()4,322443310，min10242AP .故选：C. 【点睛】本题考查解析几何的相关知识，通过建系把几何问题转化成代数问题解决，从而可直接利用计算解决，是一道中档题.二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -中，下列叙述正确的有（ ）A ．直线1AB 与1BC 所成角为60︒ B ．直线1A C 与1CD 所成角为90︒ C ．直线1A C 与平面ABCD 所成角为45︒ D ．直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60︒ 【答案】AB【解析】作出异面直线1A B 与1B C 所成角，然后计算，判断A ，证明1CD ⊥平面1A CD ，判断B ，作出直线1A C 与平面ABCD 所成角，判断C ，找到直线1A B 与平面11BCC B 所成角，判断D ． 【详解】正方体中由11A B 与CD 平行且相等得平行四边形11A B CD ，则有11//B C A D ，异面直线1A B 与1B C 所成角是1BA D ∠（或其补角），1BA D 是正三角形，160BA D ∠=︒，A 正确；11A D ⊥平面11CDD C ，则有111A D CD ⊥，又有11CD C D ⊥，则有1CD ⊥平面1A CD ，于是有11C D AC ⊥，所以异面直线1A C 与1C D 所成角为90︒，B 正确；1AA ⊥平面ABCD ，1ACA ∠是直线1A C 与平面ABCD 所成角，此角为是45︒，C 错； 11A B ⊥与平11BCC B ，11A BB ∠是直线1A B 与平面11BCC B 所成角，1145A BB ∠=︒，D错． 故选：AB ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，解题时就根据定义作出（并证明）这个角，然后求解．10．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ）A ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3B ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3C ．12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D ．122x +，222x +，322x +，422x +，522x +的方差为8 【答案】AD【解析】根据平均数的差倍分性质，以及方差的性质，即可容易求得结果. 【详解】对,A B 选项，将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变， 故其平均数是3，方差是2；故A 正确；B 错误；对C ，将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为8，故C 错误； 对D ，将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的4倍，即为8，故D 正确. 故选：AD . 【点睛】本题考查平均数和方差的性质，属简单题.11．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ） A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为()90αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【答案】AD【解析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论； 【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确；若直线的倾斜角为90︒，而tan90︒不存在，所以斜率不存在，故B 错； 若一条直线的斜率为5tan 4π，因为5tan 14π=，即斜率为1，则该直线的倾斜角为4π，故C 错；若一条直线的倾斜角为()90αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确； 故选：AD. 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.12．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6b =，sin 2sin A C =，则以下四个结论正确的有（ ） A ．ABC 不可能是直角三角形 B ．ABC 有可能是等边三角形C ．当A B =时，ABC 的周长为15D ．当3B π=时，ABC 的面积为【答案】CD【解析】对选项A ，利用勾股定理即可判断A 错误，对选项B ，根据2a c =即可判断B 错误，对选项C ，根据A B =和2a c =即可判断C 正确，对选项D ，首先根据余弦定理得到c =，a =，再计算ABC 的面积即可判断D 正确.【详解】由正弦定理得2a c =，对选项A ，若A 直角，则()22222236=+⇒=+⇒=a b c c c c . 所以存在ABC 是直角三角形，故A 错误.对选项B ，因为2a c =，所以不存在ABC 是等边三角形，故B 错误. 对选项C ，若A B =，则6a b ==，3c =，ABC 的周长为15，故C 正确.对选项D ，2222224361cos 2222+-+-===⨯a c b c c B ac c ，解得c =，a=所以1sin 2S ac B ==D 正确.故选：CD 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学生的计算能力，属于简单题.三、填空题13．下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n 的值为________. 【答案】20【解析】根据分层抽样方法可得方程，求得答案. 【详解】根据分层抽样方法得：8160400n=，解得20n =， 故答案：20. 【点睛】本题考查分层抽样方法中的样本容量的求解，属于基础题.14．若两条直线210ax y ++=和()110a x ay ---=互相垂直，则a 的值为________. 【答案】0或3【解析】根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为直线210ax y ++=和()110a x ay ---=互相垂直， 所以()120a a a --=，解得：0a =和3a =. 故答案为：0或3. 【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数，属于基础题型.15．已知直三棱柱111A B C ABC -中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为________. 【答案】2【解析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体1111-ABEC A B E C ，则长方体1111ABEC A B E C -的外接球即是直三棱柱111A B C ABC -的外接球，由球的表面积求出半径，根据题中数据得出侧棱长，即可得出结果. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体1111-ABEC A B E C ，则长方体1111ABEC A B E C -的外接球即是直三棱柱111A B C ABC -的外接球. 所以体对角线1BE 的长为球的直径，设球的半径为R ， 则249S R ππ==球. 所以32R =设侧棱为x ，则2221232x R ++=，解得2x =， 即侧棱为2. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，属于常考题型.16．从A ，B ，C ，D ，E 五位条件类似的应聘者中征选2人担任秘书职位，则A 被录用的概率为________. 【答案】25【解析】先求出总的情况2510C =，再列举出A 被录用的可能，求出A 被录用的概率即可.【详解】 由题意得：录用可能的总数为2510C =,A 被录用的可能为,,,AB AC AD AE 共四种， 则A 被录用的概率为42105=. 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了求古典概率模型的概率的计算问题.属于容易题.四、解答题17．为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图： 分组 [)85,95[)95,105[)105,115[)115,125[]125,135频数 27ab2（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率. 【答案】（1）5a =，4b =；（2）108.5；（3）35. 【解析】（1）由频率分布直方图得频率，从而可得频数,a b ；（2）用每组数据中间值乘以频率相加得均值；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，底部周长在[]125,135上的有2株，编号后用列举法写出所有基本事件，得出“至少有一株树木的底部周长在125cm 以上”含有的基本事件，计数后可计算概率． 【详解】（1）底部周长在[)105,115上的频率为0.025100.25⨯=，所以200.255a =⨯=， 底部周长在[)115,125上的频率为0.020100.20⨯=，所以200.204b =⨯=； （2）由频率分布直方图，这片经济林树木底部周长的平均值为：(900.011000.0351100.0251200.021300.01)10108.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，记为,,,A B C D ，底部周长在[]125,135上的有2株，记为,a b ，从中任取2株的基本事件为：,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb ,,Da Db ab ，共15个，其中至少有一株树木的底部周长在125cm 以上事件有,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ,,Da Db ab ，共9个，所求概率为93155P ==． 【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查用样本估计总体，考查古典概型，列举法是求解古典概型的常用方法．18．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，P 是CE 上的中点，Q 是AC 的中点，BP 与CE 交于点O .（1）求证：//OQ 平面ABEF ；（2）求证：AP CE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接AE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据线面垂直的判定定理，证明CE ⊥平面ABP ，即可得出结论成立. 【详解】 （1）连接AE ，因为P 是CE 上的中点，BP 与CE 交于点O ，所以O 为CE 中点， 又Q 是AC 的中点，所以//OQ AE ， 因为AE ⊂平面ABEF ，OQ ⊄平面ABEF ， 所以//OQ 平面ABEF ；（2）由题意，AB BC ⊥，AB BE ⊥，又BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ， 所以AB ⊥平面BCE ，因此AB CE ；又由（1）可知：BP CE ⊥， 因为AB平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，AB BP P ⋂=，所以CE ⊥平面ABP ， 因为AP ⊂平面ABP ， 所以AP CE ⊥. 【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及证明线线垂直，熟记线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质即可，属于常考题型. 19．已知圆C 过三点()1,3，()4,2，()1,7-. （1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △为等腰直角三角形，求直线l 的方程【答案】（1）()()221225x y -+-=；（2）20l x y -+=:或80x y --=. 【解析】（1）根据题意，求得圆心的纵坐标，设出方程，根据两点距离公式即可求得圆心和半径，则问题得解；（2）设出直线方程，根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求得参数，则问题得解. 【详解】（1）因为圆过点()()1,3,1,7-，故圆心在2y =-上，设圆心坐标(),2x -，则()()22125416x x -+=-+，解得1x =.故其半径()2212525r x =-+=. 故圆方程为：()()221225x y -+-= （2）设直线方程为：0x y c -+= CMN △为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离5d ==352c c ⇒+=⇒=或8-:20l x y ⇒-+=或80x y --=【点睛】本题考查圆方程的求解，以及根据直线与圆相交所得三角形的形状求直线方程，属综合基础题.20．在ABC 中，已知tan 2A =，tan 3B =.（1）若ABC 最小边的长为5，求ABC 最大边的长；（2）若AC 边上的中线BD ，求ABC 的面积.【答案】（1）；（2）12.【解析】（1）结合三角形内角和的代换，可得()tan tan C A B =-+，代入数值即可求解tan C ，根据同角三角函数可求出三个角正弦值，结合大边对大角和正弦定理即可求解b ；（2）由正弦定理可得三边比例关系，再由余弦定理中线长定理可求出,a c ，结合1sin 2S ac B =即可求解；也可作CE 垂直AB ，设2BE x =，3AE x =，6CEx =，由中线长定理求出,AC BC ，结合正弦面积公式求解. 【详解】（1）()23tan tan 1123C A B +=-+=-=-⨯，()0,C π∈，4C π∴=，tan 2A =，tan 2B =，25sin A ∴=，310sin B =，2sin C =，sin sin sin C A B ∴<<，c a b ∴<<，∴最大边为b ，最小边为c ,由正弦定理，得31022=，35b ∴=，即最大边长为35（2）解法一：由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，设10b m =，则45a m =，52c m =，由余弦定理中线长定理：()22222AB BC BD AD +=+ 得()2222455210217332m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得3105m =， 得42a =，25c =，11310sin 4225122210S ac B ∴==⨯⨯⨯= 解法二：见切作高：作CE 垂直AB ，设2BE x =，3AE x =，6CE x =由中线长公式得()222222245221725404x BD CD AB BC x x ⎛⎫+=+⇒+=+ ⎪⎝⎭245x ⇒=，1sin 122ABCS AC BC C =⋅⋅=【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的具体应用，余弦定理中线长定理的使用，三角形面积的求法，属于中档题21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB ．（1）求三棱锥P AMN -的体积； （2）求二面角M AN D --的正切值. 【答案】（13（215. 【解析】（1）先利用线面垂直的判定定理证出PN平面ABCD ，再利用已知条件求3PN =1124P AMN P ADN P ABCD V V V ---==，即可得出结论；（2）取DN 中点E ，连接ME ，过E 作EQ AN ⊥，利用已知条件得出MQE ∠即为该二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可. 【详解】 （1）PB PC =，PN BC ∴⊥又PN AB ⊥，AB BD B =，AB 、BC ⊂平面ABCD ，PN ∴⊥平面ABCD ，2AB BC PB PC ====，3PN ∴=，M 为PD 中点，P AMN D AMN M ADN V V V ---==，11113432443P AMN P ADN P ABCD V V V ---∴===⨯⨯=（2）取DN 中点E ，连接ME ，M 、E 为中点，//ME PN ∴，PN ⊥平面ABCD ，ME ∴⊥平面ABCD ，过E 作EQ AN ⊥，ME AN ⊥, ,EQME E AN =∴⊥平面MEQ ，AN MQ ∴⊥，MQE ∠即为该二面角的平面角，tan MEQEθ=∴，3PN =，3ME ∴=，5AN DN ==，2AD =，125255QE =⨯=∴， 15tan θ=∴. 即该二面角的正切值为15.【点睛】本题主要考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与几何体的体积.属于中档题.22．已知圆()()22:444C x y -+-=和圆()22:220D x y ++=，()2,4A ，P 为圆D 上动点.（1）过点A 作一条直线l ，若l 被圆C 和圆D 截得的弦长相等，求直线l 的方程； （2）求证：当点P 不在x 轴上时，总存在圆C 上点M 和圆D 上点N ，使得四边形AMPN 为平行四边形.【答案】（1）:4l y =或8200x y +-=；（2）证明见解析.【解析】（1）设出直线l 的方程，利用弦长公式结合弦长相等，即可求得直线斜率，则直线方程得解；（2）设出点P 的坐标，根据直线,AM PN 截得的弦长相同，将问题转化为一元二次方程一定有根的问题，结合∆取值，即可容易证明. 【详解】（1）设直线():24l y k x =-+，即420kx y k -+-=由弦长相等，得222220416D C D C d d r r -=-=-=2216-=，解得0k =或8- :4l y ∴=或8200x y +-=（2）设()00,P x y ，则()2200220x y -+=设():24AM y k x =-+，则()00:PN y k x x y =-+ 由弦长相等，得2216-= 得：()()22222000022241616x k y x ky k k ++-+-=+化为关于k 的方程：()()222000022022160x k x y k y ⎡⎤+--++-=⎣⎦二次项系数()22002200x y +-=-≠()()()22220000022422016160x y x y y ⎡⎤∆=-+-+--=>⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴存在k 使等式成立，即存在k 使AMPN 为平行四边形【点睛】本题考查直线与圆相交时，弦长的求解，本题第二问中，将问题转化为一元二次方程一定有根，是本题的关键，属中档题.。
2019-2020学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 集合A ＝{0, 1}，B ＝{1, 2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{1} B.{1, 2, 3} C.{0, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3}2. 若集合M ＝{α|α＝2kπ, k ∈Z}，集合N ＝{β|β＝kπ, k ∈Z}，则集合M 与N 的关系是（ ） A.M ⊆N B.N ⊆M C.M ＝N D.M <N3. 与向量AB →=(1, √3)平行的单位向量是（ ） A.(12, √32) B.(−12, −√32) C.(12, √32)或(−12, −√32) D.(−12, √32)或(12, −√32)4. 已知向量a →，b →满足a →=(−3, 1)，b →=(2, k)，且a →⊥b →，则a →−b →等于（ ） A.(5, 5) B.(−5, −5) C.(−5, 5) D.(−1, 7)5. 若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A.6cm 2 B.9cm 2 C.6πcm 2 D.9πcm 26. 已知曲线C 1:y ＝cos x ，C 2:y ＝cos (2x −2π3)，则下列结论正确的是（ ）A.把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移2π3个单位长度，得到曲线C 2B.把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2C.把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移2π3个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 27. 某互联网公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）（ ） A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年8. 函数f(x)=3x −3−xx 2的图象大致为（ ）A. B. C. D.9. 已知ω>0，函数f(x)＝2sin (ωx +φ)在[π2, 5π6]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A.(0, 1] B.[12, 85]C.[23, 56]D.[23, 85]10. 关于函数f(x)＝cos |x|+|cos x|有下述四个结论： ①函数y ＝f(x)是偶函数； ②函数y ＝f(x)的周期是π； ③函数y ＝f(x)的最⼤值为2；④函数y ＝f(x)在[0, π]上有⼤数个零点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.①③ C.②④ D.①③④11. 在平面直角坐标系中，已知点A(0, −1)，B(0, 3)，M ，N 是x 轴上的两个动点，且|MN →|=2，则AM →⋅BN →的最小值为（ ） A.−4 B.−3C.2D.312. 已知函数f(x)＝|x 2−4x|，x ∈R ，若关于x 的方程f(x)＝m|x +1|−2恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A.(0, 6−2√3)B.(0, 6+2√3)C.(2, 6−2√3)D.(2, 6+2√3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）计算：2lg 2−ln e 3+lg 25＝________．已知函数f(x)={(12)x−1,x <1log 12x,x ≥1，则f(0)+f(2)等于________．已知幂函数y ＝x n 的图象过点(3, 19)，则n ＝________，由此，请比较下列两个数的大小：(x 2−2x +5)n < (−3)n ．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，A ＝120∘，若点D ，E 满足BC →=3BD →，AE →=λAC →−AB →(λ∈R)，且AD →⋅AE →=−6，则实数λ＝________．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2，a →，b →的夹角为θ． （1）若θ=5π6，求a →⋅(a →+b →)的值；（2）若cos θ=13，求|a →+xb →|(x ∈R)的最小值．定义一种集合运算：A ⊗B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}，已知集合M ＝{x|y ＝lg (3x −x 2), x ∈R}，N ＝{y|y ＝(12)x , x <0}． （1）求M ∩N ；（2）求M ⊗N ．已知函数f(x)＝ax 2+(2−a)x +2为偶函数，记g(x)＝xf(x)−ax −1(a ∈R)． （1）求实数a 的值；（2）求函数y ＝g(x)的单调区间，并给予证明．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点P(−45, 35)．（1）求1+2sin 2α1+cos 2α+sin 2α的值；（2）若OP →⋅OQ →=−13，求sin β的值．如图，直线l 1 // l 2，点A 是l 1，l 2之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线l 1，AE ＝m ，AF ＝n （m ，n 为常数），点B ，C 分别为l 1，l 2上的动点，已知∠BAC ＝60∘．设∠ACF ＝α(0∘<α<60∘)．（1）求△ABC 面积S 关于角α的函数解析式S(α)；（2）求S(α)的最小值．对任意实数a ，b ，定义函数F(a, b)=12(a +b −|a −b|)，已知函数f(x)＝x 2−mx +n ，g(x)＝2|x −1|，记H(x)＝F （f(x)，g(x)）．（1）若对于任意实数x ，不等式f(x)≥g(2)+n −5恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若2m −n ＝2，且m ∈[6, +∞)，求使得等式H(x)＝f(x)成立的x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0, 6]上的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 【答案】 −1【答案】 1【答案】 −2【答案】32三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【答案】因为向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|=2；且θ=5π6；∴ a →⋅(a →+b →)=a →2+a →⋅b →=(√3)2+√3×2×cos 5π6=3+√3×2×(−√32)＝0． 若cos θ=13，则|a →+xb →|2=a →2+2xa →⋅b →+x 2b →2＝4x 2+43√3x +4＝4(x +√33)2+83；∴ x =−√33时，|a →+xb →|取最小值2√63． 【答案】∵ 集合M ＝{x|y ＝lg (3x −x 2), x ∈R}＝{x|0<x <3}， N ＝{y|y ＝(12)x , x <0}＝{y|y >1}．∴ M ∩N ＝{x|1<x <3}．∵ A ⊗B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}，M ∪N ＝{x|x >0}，M ∩N ＝{x|1<x <3}． ∴ M ⊗N ＝{x|0<x ≤1或x ≥3}．【答案】由题意，函数f(x)为偶函数，则f(−x)＝f(x)．∵ f(x)＝ax 2+(2−a)x +2，f(−x)＝ax 2−(2−a)x +2 ∴ 2−a ＝−(2−a)， 解得a ＝2． 由（1），知f(x)＝2x 2+2，则g(x)＝xf(x)−ax −1＝x(2x 2+2)−2x −1＝2x 3−1． 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则g(x 2)−g(x 1)＝2x 23−1−2x 13+1＝2(x 23−x 13)＝2(x 2−x 1)(x 12+x 1x 2+x 22)＝2(x 2−x 1)(x 12+x 1x 2+x 22)＝2(x 2−x 1)[(x 1+12x 2)2+34x 22]． ∵ (x 1+12x 2)2≥0，34x 22≥0，∴ (x 1+12x 2)2+34x 22≥0．(∗)当且仅当{x 1+12x 2=0x 2=0，即x 1＝x 2＝0时，(∗)中等号成立，这与x 1<x 2不符，故(x 1+12x 2)2+34x 22>0．又∵ x 2−x 1>0，∴ g(x 2)−g(x 1)>0，即g(x 2)>g(x 1)． 函数y ＝g(x)在(−∞, +∞)上是增函数，∴ 函数y ＝g(x)的单调增区间是(−∞, +∞)．【答案】平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)， 它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点P(−45, 35)．∴ cos α=−45，sin α=35， 故 1+2sin 2α1+cos 2α+sin 2α=1+4sin αcos α2cos 2α+2sin αcos α=1+4⋅35⋅(−45)2⋅1625+2⋅35⋅(−45)=−238．若OP →⋅OQ →=−13=(cos α, sin α)⋅( cos β, sin β)＝cos αcos β+sin αsin β＝cos (α−β)， ∴ cos (α−β)=−13．再根据α−β∈(0, π)，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=2√23． ∴ sin β＝sin [α−(α−β)]＝sin αcos (α−β)−cos αsin (α−β)=35⋅(−13)−(−45)⋅2√23=8√2−315． 【答案】由题意，EF ⊥l 1，l 1 // l 2，∴ EF ⊥l 2， 在Rt △ACF 中，CF =n tan α，0<α<60∘，∠EAB ＝180∘−60∘−(90∘−α)＝α+30∘，在Rt △ABE 中，EB ＝AE tan (α+30∘)＝m tan (α+30∘)．∴ △ACF 的面积S 1=12AF ⋅CF =12n 2⋅1tan α，△ABE 的面积S 2=12AE ⋅EB =12m 2tan (α+30)． ∴ 梯形EFCB 的面积S =12(EB +CF)⋅EF =12(m +n)[m tan (α+30)+ntan α]． ∴ S(α)−S −S 1−S 2=12(m +n)[m tan (α+30)+ntan α]−12n 2⋅1tan α−12m 2tan (α+30) =12mn[tan (α+30)+1tan α]；令y ＝tan (α+30∘)+1tan α=sin (α+30)cos (α+30)+cos αsin α=sin (α+30)sin α+cos (α+30)cos αsin αcos (α+30)=sin α(√32cos α−12sin α)=√32sin αcos α−12sin 2α=√3√32sin 2α−1−cos 2α2=√3sin (2α+30)−12．∴ 当2α+30∘＝90∘，即α＝30∘时，y 取到最小值2√3． 此时S(α)取得最小值√3mn ．【答案】由题意可得，x 2−mx +n ≥g(2)+n −5＝n −3恒成立， 即x 2−mx +3≥0对任意的x 恒成立，所以△＝m 2−12≤0，解得m ∈[−2√3, 2√3]； 因为2m −n ＝2，所以f(x)＝x 2−mx +2m −2，由F(a, b)=12(a +b −|a −b|)知，F(a, b)={b,a ≥ba,a <b，所以H(x)＝F （f(x)，g(x)）＝f(x)， 所以m ∈[6, +∞)时，f(x)≤g(x)；①当x ≥1时，x 2−mx +2m ≤2x −2，所以(x −2)(x −m)≤0， 又因为m ≥6，所以x ∈[2, m]；②当x <1时，x 2−mx +2m ≤−2x +2，所以x 2+(2−x)(m −2)≤0， 因为m ≥6，x <1，所以2−x >0，m −2>0，所以上式不成立； 综上可知，x 的取值范围是[2, m]；由（2）知，m ≥6且H(x)={g(x),0≤x <2f(x),2≤x ≤6 ，即H(x)={2|x −1|,0≤x <2x 2−mx +2m −2,2≤x ≤6所以当0≤x <2时，H(x)＝2|x −1|，所以H(x)max ＝H(1)＝0， 当2≤x ≤6时，H(x)＝x 2−mx +2m −2＝(x −m2)2−m 24+2m −2，①当2≤m 2≤6时，又m ≥6，即6≤m ≤12时，H(x)min ＝H(m2)=−m 24+2m −2；②当m2>6时，即m >12时，H(x)min ＝H(6)＝−4m +34； 综上，H(x)min ＝min {0, −m 24+2m −2, −4m +34}，由{−4m+34≥0−m24+2m−2≥0m≥6，解得6≤m≤4+2√2时，H(x)min＝0；由{−4m+34<0−4m+34<−m24+2m−2m≥6，整理得(m−12)2<0，无实根；由{−m24+2m−2<0−4m+34≥−m24+2m−2m≥6，解得m>4+2√2时，H(x)min=−m24+2m−2；综上H(x)min={0,6≤m≤4+2√2−m24+2m−2,m>4+2√2．。
2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试题(有答案)-精编试题
江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.A）∪B= ．1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））= ．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）= ．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）= ．（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．8．（5分）函数y=log29．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y= ．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= ．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ= ．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f （）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2loga （2+t﹣2），g（）=loga，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁A）∪B= {0，2，3} ．U【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁A={0，3}，UA）∪B={0，2，3}．所以（∁U故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））= 5 ．【解答】解：∵函数f（）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）= 4 ．【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（）=﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）= ．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．8．（5分）函数y=log2【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，∴1≤3cos+1≤4，（3cos+1）≤2，∴0≤log2故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y= ﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以=﹣，y=，+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ= ．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f （）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=4﹣2，∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，∵函数f（）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），则f（）=4+2，＜0，则函数f（）=，则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．解得+≤ω≤（+），∈．求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+） cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N，+=245万元．y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，yma18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f （2m ﹣mcos θ）+f （﹣1﹣cos θ）＜f （0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2=，所以=﹣2…6分 （2）因为f （﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f （），所以f （）是定义在R 上的奇函数，…7故f （0）=0，由f （2m ﹣mcos θ）+f （﹣1﹣cos θ）＜f （0）=0得：f （2m ﹣mcos θ）＜f （1+cos θ）…8分， 又f （）=（）﹣2在R 上单调递减，…9分， 所以2m ﹣mcos θ＞1+cos θ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m ＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cos θ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m 的取值范围是m ＞2…16分19．（15分）已知t 为实数，函数f （）=2log a （2+t ﹣2），g （）=log a ，其中0＜a ＜1． （1）若函数y=g （a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f （）的图象始终在g （）的图象的下方，求t 的取值范围；（3）设t=4，当∈[m ，n]时，函数y=|f （）|的值域为[0，2]，若n ﹣m 的最小值为，求实数a 的值．【解答】解：（1）∵函数y=g （a+1）﹣是偶函数， ∴log a （a ﹣+1）+=log a （a+1）﹣，对任意∈R 恒成立， ∴2=log a （a+1）﹣log a （a ﹣+1）=log a （）=∴=，（2）由题意设h （）=f （）﹣g （）=2log a （2+t ﹣2）﹣log a ＜0在∈[1，4]恒成立， ∴2log a （2+t ﹣2）＜log a ， ∵0＜a ＜1，∈[1，4]，∴只需要2+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2++2恒成立，，∴t＞（﹣2++2）ma令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，=1，∴（﹣2++2）ma∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∴函数y=|f（）|=|2loga∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），（2+2）|=2，得=或，令|2loga又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos（+）=cos2，当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵∈[﹣，]，∴|+|===2cos，则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，令t=cos，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。
江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一上学期期末数学试题
2019年江阴市普通高中秋学期期末考试卷高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|24A x x =≤<{}|3782B x x x =-≥-，则A B U ＝（ ）A. {}|3x x ≥B. {}|2x x ≥C. {}|34x x ≤<D. {}|24x x ≤<2.设OM =u u u u r （﹣3，3），ON =u u u r （﹣5，﹣1），则12MN u u u u r 等于（ ） A. （﹣2，4）B. （1，2）C. （4，﹣1）D. （﹣1，﹣2） 3.扇形的圆心角为23π ）A. 54πB. π 4.tan255°=A. －2B. －C. 2D. 5.将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（ ） A. y ＝2sin （2x 6π+）+3 B. y ＝2sin （2x 3π+）+3 C. y ＝2sin （2x 3π-）+3 D. y ＝2sin （2x 6π-）﹣3 6.已知向量a r ，b r 满足a =r （x ，1），b =r （1，﹣2），若a r ∥b r ，则a r 2b +r （ ） A. （4，﹣3） B. （0，﹣3） C. （32，﹣3） D. （4，3） 7.设函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--，则函数()f x 是（ ）A. 偶函数，且在()0,1上是减函数B. 奇函数，且在()0,1上是减函数C. 偶函数，且在()0,1上是增函数D. 奇函数，且在()0,1上是增函数 8.已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） A. π4 B. π3 C. π2 D. 3π49.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1）A. 1B. 3C. 5D. 710.已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x=+=+=+零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D. b a c >> 11.已知△ABC 是边长为2等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，在线段DE 取点F ，使得DF＝2FE ，则AF BC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A. 12 B. 13C. 12-D. 13- 12.已知函数f （x ）501231x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，，＞，若0≤b ＜a ，且f （a ）＝f （b ），则bf （a ）的取值范围为（ ） A. （32，72] B. [2516-，+∞） C. [0，72] D. [2516-，72] 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设α∈{﹣2，﹣1，12-，12，1，2}．使y ＝x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____． 14.在平面直角坐标系中，向量a =r （3，4），向量b a λ=r r ，（λ＜0），若b r ＝1，则向量b r 的坐标是_____． 15.计算lg 1100-2132log +的结果是_____． 16.对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质M ． （1）下列函数中具有性质M有____ ①f （x ）＝﹣x +2②f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]） 的的③f （x ）＝x 1x +，（x ∈（0，+∞）） ④f （x）=（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则实数a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知不共线的向量,a b r r 满足3a =r ，2b =r ，,a b r r 的夹角为θ． （1）θ＝30°，求a b +r r 的值；（2）若()()2a b a b +⊥-r r r r ，求cosθ的值. 18.已知集合A ＝{x |y ＝ln （﹣x 2﹣x +12）}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1，m ∈R }．（1）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P 的坐标是（3a ，a ），其中a ≠0．（1）求cos （α4π-）的值； （2）若tan （2α+β）＝1，求tanβ的值． 20.已知向量a =r （2sin x ，cos x ），b =rcos x ，2cos x ）． （1）若x ≠k π2π+，k ∈Z ，且a b ⊥r r ，求2sin 2x ﹣cos 2x 值； （2）定义函数f （x ）1a b =⋅+r r ，求函数f （x ）的单调递减区间；并求当x ∈[0，2π]时，函数f （x ）的值域． 21.已知奇函数f （x ）222x b x +=+，函数g （θ）＝cos 2θ+2sinθ32-，θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ． （1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上单调性，并证明；（3）当x ∈[0，1]时，函数g （θ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．22.已知函数y ＝f 1（x ），y ＝f 2（x ），定义函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞． （1）设函数f 1（x ）＝x +3，f 2（x ）＝x 2﹣x ，求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）在（1）的条件下，g （x ）＝mx +2（m ∈R ），函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；（3）设函数f 1（x ）＝x 2﹣2，f 2（x ）＝|x ﹣a |，函数F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ），求函数F （x ）的最小值． 的。
江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)
无锡市普通高中2020年春学期高一期终调研考试试卷数学公式参考：线性回归方程y bx a =+，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题卡相应位置上.）1. 用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是（ ） A. ,A l l α∈∉ B. ,A l l α∈⊄ C. ,A l l α⊂⊄ D. ,A l l α⊂∉【答案】B 【解析】试题分析：用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点A 在直线l 上用属于符号∈，l 在平面α外用不包含⊄．故选B ． 考点：点、线、面位置关系的表示．2. 某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（ ） A. 如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈 B. 2位病人中一定有1位能治愈C. 每位病人治愈的可能性是50%D. 所有病人中一定有一半的人能治愈 【答案】C 【解析】 【分析】利用治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，判断选项即可.【详解】A 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，针对某一具体的个体并不一定能治愈；B 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不是两次试验就一定能发生一次；C 正确，因为治愈率为50%是一种概率，就是每位病人治愈的可能性是50%；D 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不一定有一半的人能治愈.【点睛】本题主要考查了利用概率的知识解决实际问题.属于容易题. 3. 直线230x y ++=在y 轴上的截距为（ ） A.32B. 3C. 3-D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】直线方程中令0x =，求得的y 值即得． 【详解】在230x y ++=令0x =，得32y =-． 故选：D ．【点睛】本题考查直线截距的概念，直线与y 轴交点的纵坐标为纵截距，与x 轴交点的横坐标为横截距． 4. 某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：对上述数据进行分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，下列四个线性回归方程中正确的选项是（ ） A. 6.517.5y x =+ B. 6.517y x =+ C. 614y x =+ D. 520y x =+【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，代入验证，可得A 符合. 【详解】由题意得：()12456855x =++++=， ()13040506070505y =++++=，代入验证，可得A 符合.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法和应用，本题的解题的关键是求出样本中心点.属于较易题. 5. 在空间直角坐标系中，已知ABC 的顶点分别为()1,2,1A ，()1,4,2B ，()0,4,2C ，则ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果．【详解】因为ABC 的顶点分别为(1A ，2，1)，(1B ，4，2)，(0C ，4，2)，则||AB||AC =||1BC =．所以222||||||AB BC AC +=． 所以ABC 的形状为直角三角形． 故选：B【点睛】本题考查空间点的坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6. 某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A. 24π米3 B. 48π米3C. 96π米3D. 192π米3【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥体积公式分别求出原仓库与新建仓库的体积，作差可得答案. 【详解】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米.所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，准确地运用公式是关键，属于基础题.7. 如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75︒，已知山的高度BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了（ ）A.2千米B.62-千米C. 1千米D. 1.5千米【答案】C 【解析】 【分析】由题意得15BAD ∠=︒,75BDE ∠=︒可得30ABD ∠=︒，设AD x =，在ABD △中根据正弦定理求得BD ，从而求得BE CE ，，结合山的高度BC 为1千米即可求得答案.【详解】如图，过D 作DE BC ⊥交BC 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ， 由题意得45,30,BAC ABC DAC ∠=∠=︒∠=︒则15BAD ∠=︒在D 处测得山顶的仰角为75︒， 即75BDE ∠=︒,15DBE ∠=︒,则30ABD ∠=︒ 设AD x =，在ABD △中由正弦定理得：2sin15sin sin x BDBD x ABD BAD=⇒=︒∠∠1cos152sin15cos15sin 302BE BD x x x =︒=︒︒=︒=,1sin 302CE DF x x ==︒=,因为1BC =,即1BE CE x +==，即从A 到D 前进了1千米，故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生运算能力及思维能力，属于基础题.8. 如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN 的中点，且2MN =.则AP 长度的最小值为（ ）A. 13B. 32C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，转化为在坐标系里求距离的最小值，根据分析可以知道，AP 长度的最小值实际是一个圆上的点到定点距离的最小值的一半，即可求解. 【详解】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，设()4,M y ，(),3N x ，43,22x y P ++⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()()222434MN x y ∴=-+-=,x y 表示以()4,3为圆心，半径为2的圆上的点， ()()222243143222x y AP x y ++⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴AP 表示圆上的点到()4,3--距离的一半，()4,3--到()4,322443310，min10242AP .故选：C .【点睛】本题考查解析几何的相关知识，通过建系把几何问题转化成代数问题解决，从而可直接利用计算解决，是一道中档题.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分，请将答案填写在答题卡相应位置上.)9. 正方体1111ABCD A B C D -中，下列叙述正确的有（ ）A. 直线1A B 与1B C 所成角为60︒B. 直线1A C 与1C D 所成角为90︒C. 直线1A C 与平面ABCD 所成角为45︒D. 直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60︒ 【答案】AB 【解析】 【分析】作出异面直线1A B 与1B C 所成角，然后计算，判断A ，证明1CD ⊥平面1A CD ，判断B ，作出直线1A C 与平面ABCD 所成角，判断C ，找到直线1A B 与平面11BCC B 所成角，判断D ．【详解】正方体中由11A B 与CD 平行且相等得平行四边形11A B CD ，则有11//B C A D ，异面直线1A B 与1B C 所成角是1BA D ∠（或其补角），1BA D 是正三角形，160BA D ∠=︒，A 正确；11A D ⊥平面11CDD C ，则有111A D CD ⊥，又有11CD C D ⊥，则有1CD ⊥平面1A CD ，于是有11C D AC ⊥，所以异面直线1A C 与1C D 所成角为90︒，B 正确；1AA ⊥平面ABCD ，1ACA ∠是直线1A C 与平面ABCD 所成角，此角为是45︒，C 错； 11A B ⊥与平11BCC B ，11A BB ∠是直线1A B 与平面11BCC B 所成角，1145A BB ∠=︒，D 错．故选：AB ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，解题时就根据定义作出（并证明）这个角，然后求解．10. 已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ） A. 11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3 B. 11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3 C. 12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D. 122x +，222x +，322x +，422x +，522x +的方差为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均数的差倍分性质，以及方差的性质，即可容易求得结果.【详解】对,A B 选项，将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变， 故其平均数是3，方差是2；故A 正确；B 错误；对C ，将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为8，故C 错误； 对D ，将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的4倍，即为8，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题考查平均数和方差的性质，属简单题. 11. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ） A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C. 若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为()90αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确； 若直线的倾斜角为90︒，而tan90︒不存在，所以斜率不存在，故B 错； 若一条直线的斜率为5tan4π，因为5tan 14π=，即斜率为1，则该直线的倾斜角为4π，故C 错； 若一条直线的倾斜角为()90αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确； 故选：AD.【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.12. 在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6b =，sin 2sin A C =，则以下四个结论正确的有（ ） A.ABC 不可能是直角三角形B.ABC 有可能是等边三角形C. 当A B =时，ABC 的周长为15D. 当3B π=时，ABC 的面积为【答案】CD 【解析】 【分析】对选项A ，利用勾股定理即可判断A 错误，对选项B ，根据2a c =即可判断B 错误，对选项C ，根据A B =和2a c =即可判断C 正确，对选项D ，首先根据余弦定理得到c =，a =ABC 的面积即可判断D 正确.【详解】由正弦定理得2a c =，对选项A ，若A 直角，则()22222236=+⇒=+⇒=a b c c c c 所以存在ABC 是直角三角形，故A 错误.对选项B ，因为2a c =，所以不存在ABC 是等边三角形，故B 错误. 对选项C ，若A B =，则6a b ==，3c =，ABC 的周长为15，故C 正确.对选项D ，2222224361cos 2222+-+-===⨯a c b c c B ac c ，解得c =，a =所以1sin 2S ac B ==，故D 正确. 故选：CD【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学生的计算能力，属于简单题.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.）13. 下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n 的值为________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据分层抽样方法可得方程，求得答案. 【详解】根据分层抽样方法得：8160400n=，解得20n =， 故答案：20.【点睛】本题考查分层抽样方法中的样本容量的求解，属于基础题.14. 若两条直线210ax y ++=和()110a x ay ---=互相垂直，则a 的值为________. 【答案】0或3 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为直线210ax y ++=和()110a x ay ---=互相垂直， 所以()120a a a --=，解得：0a =和3a =. 故答案为：0或3.【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数，属于基础题型.15. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体1111-ABEC A B E C ，则长方体1111ABEC A B E C -的外接球即是直三棱柱111A B C ABC -的外接球，由球的表面积求出半径，根据题中数据得出侧棱长，即可得出结果.【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体1111-ABEC A B E C ，则长方体1111ABEC A B E C -的外接球即是直三棱柱111A B C ABC -的外接球. 所以体对角线1BE 的长为球的直径，设球的半径为R ， 则249S R ππ==球. 所以32R =设侧棱为x ，则2221232x R +=+=，解得2x =， 即侧棱为2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，属于常考题型.16. 从A ，B ，C ，D ，E 五位条件类似的应聘者中征选2人担任秘书职位，则A 被录用的概率为________. 【答案】25【解析】 【分析】先求出总的情况2510C =，再列举出A 被录用的可能，求出A 被录用的概率即可.【详解】由题意得：录用可能的总数为2510C =,A 被录用的可能为,,,AB AC AD AE 共四种，则A 被录用的概率为42105=. 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了求古典概率模型的概率的计算问题.属于容易题.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）17. 为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图：分组[)85,95 [)95,105 [)105,115 [)115,125 []125,135 频数2 7 a b 2（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率.【答案】（1）5a =，4b =；（2）108.5；（3）35. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得频率，从而可得频数,a b ；（2）用每组数据中间值乘以频率相加得均值；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，底部周长在[]125,135上的有2株，编号后用列举法写出所有基本事件，得出“至少有一株树木的底部周长在125cm 以上”含有的基本事件，计数后可计算概率．【详解】（1）底部周长在[)105,115上的频率为0.025100.25⨯=，所以200.255a =⨯=，底部周长在[)115,125上的频率为0.020100.20⨯=，所以200.204b =⨯=；（2）由频率分布直方图，这片经济林树木底部周长的平均值为： (900.011000.0351100.0251200.021300.01)10108.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，记为,,,A B C D ，底部周长在[]125,135上的有2株，记为,a b ，从中任取2株的基本事件为： ,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb ,,Da Db ab ，共15个，其中至少有一株树木的底部周长在125cm 以上事件有,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ,,Da Db ab ，共9个，所求概率为93155P ==． 【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查用样本估计总体，考查古典概型，列举法是求解古典概型的常用方法．18. 如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，P 是CE 上的中点，Q 是AC 的中点，BP 与CE 交于点O .（1）求证：//OQ 平面ABEF ；（2）求证：AP CE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接AE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据线面垂直的判定定理，证明CE ⊥平面ABP ，即可得出结论成立.【详解】（1）连接AE ，因为P 是CE 上的中点，BP 与CE 交于点O ，所以O 为CE 中点，又Q 是AC 的中点，所以//OQ AE ，因为AE ⊂平面ABEF ，OQ ⊄平面ABEF ，所以//OQ 平面ABEF ；（2）由题意，AB BC ⊥，AB BE ⊥，又BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以AB ⊥平面BCE ，因此AB CE ；又由（1）可知：BP CE ⊥，因为AB 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，AB BP P ⋂=， 所以CE ⊥平面ABP ，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP CE ⊥.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及证明线线垂直，熟记线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质即可，属于常考题型.19. 已知圆C 过三点()1,3，()4,2，()1,7-.（1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △为等腰直角三角形，求直线l 的方程【答案】（1）()()221225x y -+-=；（2）20l x y -+=:或80x y --=. 【解析】【分析】（1）根据题意，求得圆心的纵坐标，设出方程，根据两点距离公式即可求得圆心和半径，则问题得解； （2）设出直线方程，根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求得参数，则问题得解.【详解】（1）因为圆过点()()1,3,1,7-，故圆心在2y =-上，设圆心坐标(),2x -，则()()22125416x x -+=-+，解得1x =. 故其半径()2212525r x =-+=.故圆方程为：()()221225x y -+-=（2）设直线方程为：0x y c -+= CMN △为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离52d ==352c c ⇒+=⇒=或8-:20l x y ⇒-+=或80x y --=【点睛】本题考查圆方程的求解，以及根据直线与圆相交所得三角形的形状求直线方程，属综合基础题. 20. 在ABC 中，已知tan 2A =，tan 3B =.（1）若ABC 最小边的长为5，求ABC 最大边的长；（2）若AC 边上的中线BDABC 的面积.【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）结合三角形内角和的代换，可得()tan tan C A B =-+，代入数值即可求解tan C ，根据同角三角函数可求出三个角正弦值，结合大边对大角和正弦定理即可求解b ；（2）由正弦定理可得三边比例关系，再由余弦定理中线长定理可求出,a c ，结合1sin 2S ac B =即可求解；也可作CE 垂直AB ，设2BE x =，3AE x =，6CE x =，由中线长定理求出,AC BC ，结合正弦面积公式求解.【详解】（1）()23tan tan 1123C A B +=-+=-=-⨯，()0,C π∈，4C π∴=，tan 2A =，tan 2B =，25sin 5A ∴=，310sin B =，2sin C =，sin sin sin C A B ∴<<，c a b ∴<<， ∴最大边为b ，最小边为c ,由正弦定理，得31022=， 35b ∴=，即最大边长为35（2）解法一：由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，设10b m =，则453a m =，523c m =，由余弦定理中线长定理：()22222AB BC BD AD+=+ 得()2222455210217332m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得3105m =， 得42a =，25c =，11310sin 4225122210S ac B ∴==⨯⨯⨯= 解法二：见切作高：作CE 垂直AB ，设2BE x =，3AE x =，6CE x =由中线长公式得()222222245221725404x BD CD AB BC x x ⎛⎫+=+⇒+=+ ⎪⎝⎭ 245x ⇒=，1sin 122ABC S AC BC C =⋅⋅=【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的具体应用，余弦定理中线长定理的使用，三角形面积的求法，属于中档题21. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB.（1）求三棱锥P AMN -的体积；（2）求二面角M AN D --的正切值.【答案】（13（215. 【解析】【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证出PN 平面ABCD ，再利用已知条件求3PN =1124P AMN P ADN P ABCD V V V ---==，即可得出结论； （2）取DN 中点E ，连接ME ，过E 作EQ AN ⊥，利用已知条件得出MQE ∠即为该二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可.【详解】（1）PB PC =，PN BC ∴⊥ 又PN AB ⊥，AB BD B =，AB 、BC ⊂平面ABCD ，PN ∴⊥平面ABCD ，2AB BC PB PC ====，3PN ∴=，M 为PD 中点，P AMN D AMN M ADN V V V ---==，11113432443P AMN P ADN P ABCD V V V ---∴===⨯⨯=； （2）取DN 中点E ，连接ME ， M 、E 为中点，//ME PN ∴，PN ⊥平面ABCD ，ME ∴⊥平面ABCD ，过E 作EQ AN ⊥，ME AN ⊥,,EQ ME E AN =∴⊥平面MEQ ，AN MQ ∴⊥，MQE ∠即为该二面角的平面角，tan ME QE θ=∴， 3PN =，3ME ∴=，5AN DN ==，2AD =，125255QE =⨯=∴， 15tan 4θ=∴. 即该二面角的正切值为15.【点睛】本题主要考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与几何体的体积.属于中档题.22. 已知圆()()22:444C x y -+-=和圆()22:220D x y ++=，()2,4A ，P 为圆D 上动点.（1）过点A 作一条直线l ，若l 被圆C 和圆D 截得的弦长相等，求直线l 的方程；（2）求证：当点P 不在x 轴上时，总存在圆C 上点M 和圆D 上点N ，使得四边形AMPN 为平行四边形.【答案】（1）:4l y =或8200x y +-=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，利用弦长公式结合弦长相等，即可求得直线斜率，则直线方程得解； （2）设出点P 的坐标，根据直线,AM PN 截得的弦长相同，将问题转化为一元二次方程一定有根的问题，结合∆取值，即可容易证明.【详解】（1）设直线():24l y k x =-+，即420kx y k -+-=由弦长相等，得222220416D C D C d d r r -=-=-=2216-=，解得0k =或8- :4l y ∴=或8200x y +-=（2）设()00,P x y ，则()2200220x y -+= 设():24AM y k x =-+，则()00:PN y k x x y =-+由弦长相等，得2216-= 得：()()22222000022241616x k y x ky k k ++-+-=+ 化为关于k 的方程：()()222000022022160x k x y k y ⎡⎤+--++-=⎣⎦二次项系数()22002200x y +-=-≠ ()()()22220000022422016160x y x y y ⎡⎤∆=-+-+--=>⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴存在k 使等式成立，即存在k 使AMPN 为平行四边形【点睛】本题考查直线与圆相交时，弦长的求解，本题第二问中，将问题转化为一元二次方程一定有根，是本题的关键，属中档题.。
2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)【优质版】
江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y （单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=5．【解答】解：∵函数f（）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=4．【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（）=﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，∴1≤3cos+1≤4，∴0≤log2（3cos+1）≤2，故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以=﹣，y=，+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=4﹣2，∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，∵函数f（）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），则f（）=4+2，＜0，则函数f（）=，则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．解得+≤ω≤（+），∈．求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y （单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N，+y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，y ma=245万元．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2=，所以=﹣2…6分（2）因为f（﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f（），所以f（）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ） (8)分，又f（）=（）﹣2在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数y=g（a+1）﹣是偶函数，∴log a（a﹣+1）+=log a（a+1）﹣，对任意∈R恒成立，∴2=log a（a+1）﹣log a（a﹣+1）=log a（）=∴=，（2）由题意设h（）=f（）﹣g（）=2log a（2+t﹣2）﹣log a＜0在∈[1，4]恒成立，∴2log a（2+t﹣2）＜log a，∵0＜a＜1，∈[1，4]，∴只需要2+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2++2恒成立，∴t＞（﹣2++2）ma，令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，∴（﹣2++2）ma=1，∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，∴函数y=|f（）|=|2log a（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），令|2log a（2+2）|=2，得=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos （+）=cos2，当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵∈[﹣，]，∴|+|===2cos，则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，令t=cos，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。
2019～2020学年江苏省无锡市高一上学期期末考试数学试题及答案
绝密★启用前江苏省无锡市普通高中2019～2020学年高一年级上学期期末质量监测数学试题2020年1月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则A U B ＝A ．{1}B ．{1，2，3}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若集合M ＝{}2k k Z ααπ=∈，,集合N ＝{}k k Z ββπ=∈，,则集合M 与N 的关系是A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．M ＜N 3．与向量AB uuu r ＝(1,3)平行的单位向量是A ．(12,B ．(12-,C ．(12,2)或(12-,2-) D ．(12-,2)或(12,2-) 4．已知向量a r ,b r 满足a r ＝(﹣3,1),b r ＝(2,k ),且a r ⊥b r ,则a r ﹣b r 等于 ( )A ．(5,5)B ．(﹣5,﹣5)C ．(﹣5,5)D ．(﹣1,7)5．若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为A ．6cm 2B ．9cm 2C ．6πcm 2D ．9πcm 26. 已知曲线C 1：y ＝cos x ,C 2：y ＝cos(2x ﹣3π),则下列结论正确的是 A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 3π个单位长度,得到曲线C 2C ．把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23π 个单位长度,得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3π 个单位长度,得到曲线C 2 7．某互联网公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年8．函数233()x xf x x --=的图象大致为9．已知ω＞0,函数()2sin()f x x ωϕ=+在[2π,56π]上单调递减,则实数ω的取值范围是 A ．(0,1] B ．[12,85] C ．[23,56] D ．[23,85] 10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最⼤值为2；④函数()y f x =在[0,π]上有⼤数个零点．其中所有正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④ 11．在平面直角坐标系中,已知点A(0,﹣1),B(0,3),M,N 是x 轴上的两个动点,且MN u u u u r ＝2,则AM BN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为A ．﹣4B ．﹣3C ．2D ．312．已知函数2()4f x x x =-,x ∈R,若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根,则实数m 的取值范围为A ．(0,63-)B ．(0,623+)C ．(2,623-)D ．(2,63+)二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）。
江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
4 5
【解析】
【分析】
先由向量
a
（3，4）及
b
a
，表示向量 b
的坐标，再利用
b
＝1
求解.
【详解】因为向量 a （3，4），
b a 3, 4
所以向量
，
| b |
3 2 4 2 5 1
所以
，
1
所以
5，
又因为 λ＜0，
1
所以
5.
所以
b
3 5
,
4 5
.
故答案为：
3 ， 5
解. 【详解】因为 1 小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL, x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL 的，
由题意知 100mL 血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，
1 30%x 0. 2
所以
，
0.7x 0.2 ，
两边取对数得，
l g 0. 7x l g 0. 2 ，
1 ③f（x）＝x x ，（x∈（0，+∞））
④f（x） x 1 （2）若函数 f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质 M，则实数 a 的取值范围
是____．
【答案】
(1). ①②④
1 (2). a 2 或 a＞0
【解析】
【分析】
（1）①因为 f（x）＝﹣x+2，若存在，则 x0
当 1时， y x1 ，f
x
x 1 x 1 f
x
是奇函数.
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14.在平面直角坐标系中，向量
2019-2020江阴市高一上期末答案
2019 年江阴市普通高中秋学期期末考试卷
高一数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x | 2 x 4 B x | 3x 7 8 2x ，则 A B ＝（ ）
A. x | x 3
3.扇形的圆心角为 2 ，半径为 3
3 ，则此扇形的面积为（
）
5
A. 4
B.
C. 3 3
D. 2 3 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】由题意可得圆心角 α
2 3
，半径 r
3 ，所以弧长 l αr 2 3 , 3
故扇形面积为 S 1 lr 1 2 3 3 . 2 23
所以 1 . 5
所以
b
3 5
,
4 5
.
故答案为：
3 ， 5
4 5
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15.计算 lg 1 ln 100
【答案】 7 2
e 21log2 3 的结果是_____．
【解析】
【分析】
先将 lg 1 ln 100
e 21log2 3 ，变形为 lg 102
详
解
】
详
解
：
tan 2550 tan(1800 750) tan 750 tan(450 300)
=
tan 450 tan 300
1
1 tan 450 tan 300 1
3 3 2 3
3.
3
2
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2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高一期末数学试题及答案一、单选题1．已知集合{}B x x x=-≥-，则A B＝|3782=≤<{}A x x|24（）A．{}x x≥|2|3x x≥B．{}C．{}≤<D．{}|34x x≤<|24x x【答案】B【解析】先化简{}{}B x x x x x=-≥-=≥，再由|3782|3{}=≤<，求A B.|24A x x【详解】因为{}{}=-≥-=≥B x x x x x|3782|3又因为{}A x x=≤<|24所以{}=≥A B x x|2故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．设OM=（﹣3，3），ON=（﹣5，﹣1），则1MN等于（）2A．（﹣2，4） B．（1，2）C．（4，﹣1） D．（﹣1，﹣2）【答案】D【解析】由OM =（﹣3，3），ON =（﹣5，﹣1），求得MN ON OM=-即可.【详解】因为OM =（﹣3，3），ON =（﹣5，﹣1） 所以()2,4=-=--MN ON OM所以()11,22=--MN故选：D 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．扇形的圆心角为23π，则此扇形的面积为（ ）A ．54π B ．π C D 【答案】B【解析】根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】由题意可得圆心角2α3π=，半径r =，所以弧长αr l ==,故扇形面积为11S r 22l π===.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型. 4．tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D【解析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：000000tan255tan(18075)tan75tan(4530)=+==+=00001tan45tan3021tan45tan30+==+-【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．5．将函数y＝2sin2x的图象向左平移6π个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（）A．y＝2sin（2x6π+）+3 B．y＝2sin（2x3π+）+3C．y＝2sin（2x3π-）+3 D．y＝2sin（2x6π-）﹣3【答案】B【解析】根据三角函数的平移变换，左加右减，上加下减来求解.【详解】将函数y＝2sin2x的图象向左平移6π个单位，得到2sin[2]2sin263y x xππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再向上平移3个单位，得到2sin 233y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.6．已知向量a ，b 满足a =（x ，1），b =（1，﹣2），若a ∥b ，则a 2b +（ ）A ．（4，﹣3）B ．（0，﹣3）C ．（32，﹣3） D ．（4，3）【答案】C【解析】根据a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ，求得向量a 的坐标，再求a 2b +的坐标. 【详解】因为a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ， 所以21x -= ， 所以12x =- ， 所以a =（12-，1）， 所以a 32,32⎛⎫+=- ⎪⎝⎭b . 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．设函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--，则函数()f x 是（ ） A ．偶函数，且在()0,1上是减函数 B ．奇函数，且在()0,1上是减函数C ． 偶函数，且在()0,1上是增函数D ．奇函数，且在()0,1上是增函数 【答案】D【解析】()f x 定义域为[1,1]-，因为1()lg1xf x x+=-，所以1(-)lg()1xf x f x x-==-+，所以函数()f x 为奇函数， lg(1)x +为增函数，()lg 1x --为增函数，所以()f x 在定义域内仍为增函数，故选D8．已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） A ．π4 B ．π3C ．π2D ．3π4【答案】A【解析】因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin（54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π． 故选：A ．9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】C【解析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的， 由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x <， lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.10．已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【解析】首先可求出0c，再由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x =-，将其转化为2x y =、2log y x =与y x =-的交点，数形结合即可判断. 【详解】解：由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=， 由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x =-.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =-的图象，由图象知0a <，0b >，a c b ∴<<. 故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，在线段DE 取点F ，使得DF ＝2FE ，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．12B ．13C ．12-D ．13-【答案】D【解析】先将,AF BC 用,AC AB 表示，再由三角形为边长为2的等边三角形，得到2,cos 602AB AC AB AC AB AC ==⋅=⋅⋅=，最后用数量积公式计算 AF BC ⋅.【详解】根据题意，1123AF AD DF AB AC =+=+ ，BC AC AB =-，又因为三角形为边长为2的等边三角形， 所以2,cos 602AB AC AB AC AB AC ==⋅=⋅⋅= ，所以()22111111()()232363⎛⎫+-=-+⋅=+⋅=- ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB ，故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的表示及运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 12．已知函数f （x ）501231x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，，＞，若0≤b ＜a ，且f （a ）＝f （b ），则bf （a ）的取值范围为（ ）A ．（32，72]B ．[2516-，+∞） C ．[0，72]D ．[2516-，72]【答案】A【解析】作出函数图象，易知b 的范围，再将bf （a ）转化为bf （b ），用二次函数法求解. 【详解】如图所示：因为f （a ）＝f （b ）， 可知：112b <≤，所以bf （a ）= b f （b ）=b (b +52)=2525416b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，所以bf （a ）的取值范围为（32，72]. 故选：A 【点睛】本题主要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题 13．设α∈{﹣2，﹣1，12-，12，1，2}．使y ＝x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____． 【答案】-1【解析】先根据单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性. 【详解】因为y ＝x a 在（0，+∞）上单调递减， 所以α0< ， 当α=-2时，2y x，()()()22f x x x f x ---=-==是偶函数，当12α=-时，12y x -=，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，当1α=-时，1y x -=，()()()11f x x x f x ---=-=-=-是奇函数.故答案为：-1 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．在平面直角坐标系中，向量a =（3，4），向量b a λ=，（λ＜0），若b ＝1，则向量b 的坐标是_____．【答案】3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 【解析】先由向量a =（3，4）及b a λ=，表示向量b 的坐标，再利用b ＝1求解. 【详解】因为向量a =（3，4）， 所以向量()3,4λλλ==b a ， 所以()23|5|1λλ===b ，所以15λ=±，又因为λ＜0，所以15λ=-.所以34,55⎛⎫--⎪⎝⎭=b . 故答案为：3455⎛⎫--⎪⎝⎭， 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．计算lg 1100-2132log +的结果是_____．【答案】72【解析】先将lg 1100-2132log +，变形为21log 622lg 10ln 2e --+，再利用对数的性质求解. 【详解】 lg 1100-2132log +，21log 622lg 10ln 2e -=-+，--+=17=2622.故答案为：72【点睛】本题主要考查了对数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质M ． （1）下列函数中具有性质M 的有____ ①f （x ）＝﹣x +2②f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]） ③f （x ）＝x 1x+，（x ∈（0，+∞）） ④f （x）=（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则实数a 的取值范围是____． 【答案】①②④a 12≤-或a ＞0【解析】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，解一元二次方程即可.②若存在，则00sin 1x x =，即00sin 10x x -=，再利用零点存在定理判断.③若存在，则00011x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，直接解方程.④若存在，则1x =，即10x -=，令()01f x x =-，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化：当2x ≥ 时，213a x x=- 有解，当12x -≤< 时，21a x x=-+ 有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，即200210x x -+=，所以01x =，存在.②因为f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]），若存在，则00sin 1x x =，即00sin 10x x -=，令()000sin 1f x x x =-，因为()πππ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭1sin 110,sin 10222f f ， 所以存在01,2x π⎛⎫∈⎪⎝⎭.③因为f （x ）＝x 1x +，（x ∈（0，+∞）），若存在，则00011x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()000,x =∉+∞，所以不存在.④因为f （x）=（x ∈（0，+∞）），若存在，则1x =，即10x -=， 令()01f x x =-，因为()1110,11022ff ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解， 当2x ≥时，213a x x=- 有解，令2239()3[2,)24g x x x x ⎛⎫=-=--∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以1(,](0,)2a ∈-∞-+∞ .当12x -≤< 时，21ax x=-+ 有解，令22111()[2,]244g x x x x ⎛⎫=-+=--+∈- ⎪⎝⎭ ，所以1a∈-∞-.(,](0,4]2综上：实数a的取值范围是a1≤-或a＞0.2故答案为：(1). ①②④(2). a1≤-或a＞02【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知不共线的向量,a b满足3b=，,a b的夹角为θ．a=，2（1）θ＝30°，求a b+的值；（2）若()()+⊥-，求cosθ的值.2a b a b【答案】（1（2）1-6【解析】（1）根据3b=，,a b的夹角θ＝30°，通过a=，2()222+=+=+⋅+a b a b a a b b求解.()2()（2）由()()+⋅-=20a b a b，展开+⊥-，得()()2a b a b22a ab b求解.+⋅-=()2()0【详解】（1）因为3b=，,a b的夹角）θ＝30°，a=，2所以()222()2()13a b a b a a b b.⋅=+=+=+++（2）因为()()a b a b+⊥-，2所以()()+⋅-=a b a b，20所以22a ab b，()2()0+⋅-=所以96cos80θ+-=，所以1cos6θ=-.【点睛】本题主要考查了数量积的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}．（1）若m＝2，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【答案】（1）{x|3≤x＜5}；（2）（﹣∞，1]【解析】（1）先化简集合A，再求得∁R A，由m＝2，得B ＝{x|1＜x＜5}，然后求（∁R A）∩B.（2）由A∩B＝B，得到B⊆A，再分B＝∅时，由m﹣1≥2m+1求解，当B≠∅时，有12114213m mmm-+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜求解，最后取并集.【详解】（1）集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}＝{x|﹣x2﹣x+12＞0}＝{x|﹣4＜x＜3}，所以∁R A＝{x|x≤﹣4或x≥3}，当m＝2时，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}＝{x|1＜x＜5}，所以（∁R A）∩B＝{x|3≤x＜5}.（2）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 当B ＝∅时，m ﹣1≥2m +1，解得m ≤﹣2； 当B ≠∅时，有12114213m m m m -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜，解得﹣2＜m ≤1，综上：实数m 的取值范围是（﹣∞，1]. 【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P 的坐标是（3a ，a ），其中a ≠0． （1）求cos （α4π-）的值；（2）若tan （2α+β）＝1，求tanβ的值． 【答案】（1）；（2）17【解析】（1）根据题意，当a ＞0时，点P 在第一象限，求出c osα，sinα，再利用两角差的余弦求解，同理，当a ＜0时，点P 在第三象限，按同样的方法求解（2）由终边上点P （3a ，a ），可得tan 13α=，用二倍角公式求出tan2α，又因为 tan （2α+β）＝1，利用角的变换转为tanβ＝()tan[22]αβα+-求解.【详解】（1）由题意可得，当a ＞0时，点P 在第一象限，cosα==，sinα==所以cos （4πα-）2102105=⨯+⨯=， 当a ＜0时，点P 在第三象限，cos α=sin 10α=-，所以cos （4πα-）((22=+=.（2）由题意可得，tan 13α=， 故tan2α22314tan tan αα==-， 因为tan （2α+β）＝1， 故tanβ＝()tan[22]αβα+-()()2211227tan tan tan tan αβααβα+-==++. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．已知向量a =（2sin x ，cos x ），b =x ，2cos x ）．（1）若x ≠k π2π+，k ∈Z ，且a b ⊥，求2sin 2x ﹣cos 2x 的值； （2）定义函数f （x ）1a b =⋅+，求函数f （x ）的单调递减区间；并求当x ∈[0，2π]时，函数f （x ）的值域．【答案】（1）14-；（2）单调递减区间为[k 263k ππππ++，]，k ∈Z ，值域[1，4]【解析】（1）由a b ⊥，得220cos x +=，从而求得tan x 3=-，再用商数关系，转化2sin 2x﹣cos 2x 22211-=+tan x tan x 求解.（2）化简函数f （x ）1a b =⋅+=2sin （2x 6π+）+2，利用整体思想，令122k ππ+≤2x 3262k πππ+≤+可求得减区间.由x 102π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，得到2x 7666πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，从而有sin （2x 6π+）112⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求解. 【详解】 （1）因为a b ⊥， 所以220cos x +=，因为x 12k ππ≠+，所以cos x ≠0，所以tan x =，所以2sin 2x ﹣cos 2x 2221114tan x tan x -==-+. （2）f （x ）1a b =⋅+＝x cos x +2cos 2x +12x =+cos2x +2＝2sin （2x 6π+）+2，令122k ππ+≤2x 3262k πππ+≤+， 解得，263k x k ππππ+≤≤+，故函数的单调递减区间为[k263k ππππ++，]，k ∈Z .因为x 02π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以2x 7666πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， 所以sin （2x 6π+）112⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，， 所以函数f （x ）的值域[1，4]．【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知奇函数f （x ）222x b x +=+，函数g （θ）＝cos 2θ+2sinθ32-，θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ．（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明； （3）当x ∈[0，1]时，函数g （θ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．【答案】（1）b ＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）566ππ≤<m【解析】（1）根据函数f （x ）222x bx +=+为奇函数，令f （0）＝0求解.（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，得到()()114max f x f ==．即g （θ）的最小值为14，再令t ＝sinθ，转化为二次函数求解. 【详解】 （1）因为函数f （x ）222x bx +=+为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，解得b ＝0．（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．证明：设1201x x ≤≤≤则：f （x 2）﹣f （x 1）()21122122222121()1112112(1)(1)x x x x x x x x x x --⎛⎫=-=⨯ ⎪++++⎝⎭，因为1201x x ≤≤≤，所以x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，所以()21122221()1102(1)(1)x x x x x x --⨯++＞，即f （x 2）> f （x 1），所以函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．（3）由（2）得：函数f （x ）在[0，1]上的单调递增， 所以()()114max f x f ==．所以g （θ）的最小值为14．令t ＝sinθ，所以y 2122=-+-t t 的最小值为14，令211224=-+-=t t 解得13,22==t t 所以1322≤≤t ， 即112sin θ≤≤，所以5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又因为θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ，所以566ππ≤<m ．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22．已知函数y ＝f 1（x ），y ＝f 2（x ），定义函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞．（1）设函数f 1（x ）＝x +3，f 2（x ）＝x 2﹣x ，求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）在（1）的条件下，g （x ）＝mx +2（m ∈R ），函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；（3）设函数f 1（x ）＝x 2﹣2，f 2（x ）＝|x ﹣a |，函数F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ），求函数F （x ）的最小值．【答案】（1）()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜；（2）()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，；（3）()2914211[]2229142min a a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩，＜，，＞ 【解析】（1）根据函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞的定义，两个函数中取小的.（2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根，因为函数()f x 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.（3）根据题意F （x ）2219241924x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，，＜．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.【详解】（1）∵f 1（x ）＝x +3，()22f x x x =-，当f 1（x ）≤f 2（x ），即x ≥3或x ≤﹣1时，f （x ）＝x +3， 当f 1（x ）＞f 2（x ），即﹣1＜x ＜3时，()2f x xx =-，综上：()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜． （2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点， 即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根， 因为函数()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜，函数g （x ）＝mx +2（m ∈R ）， 所以当x ≤﹣1或x ≥3时，mx +2＝x +3恰有一个实数解， 所以11103m x ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，或[)1110m x-=∈-，， 解得，[)40113m ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦，，． 当﹣1＜x ＜3时，mx +2＝x 2﹣x 恰有两个不同的实数解， 即当﹣1＜x ＜3时x 2﹣（m +1）x ﹣2=0恰有两个不同的实数解，设函数h （x ）＝x 2﹣（m +1）x ﹣2，由题意可得()()010301132h h m ∆⎧⎪-⎪⎪⎨⎪+⎪-⎪⎩＞＞＞＜＜， 所以2(1)8004335m m m m ⎧++⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩＞＞＜＜＜，解得403m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 综上，m 的取值范围为()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，． （3）F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ）＝x 2+|x ﹣a |﹣222221924221924x a x a x x a x a x x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎧+--≥⎪⎝⎭==⎨⎨-+-⎩⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，，，＜，＜． ①若a 12＞，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是单调增函数， 此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②若1122a -≤≤，则函数F （x ）在（﹣∞，a ）上是单调减函数，在（a ，+∞）上是单调增函数，此时，函数F （x ）的最小值为F （a ）＝a 2﹣2； ③若12a -＜，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上是单调增函数， 此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭； 综上：()2914211[]2229142min a a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩，＜，，＞． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.。