排列组合公式及恒等式推导、证明(word版).doc

排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）

说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。

一、排列数公式：

!(1)(2)(1)()!mn nAnnnnmnm=---+=-L

(1)(1)321nn Annn=--创L

推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：

第一步，排第一位：有 n 种选法；

第二步，排第二位：有（n-1）种选法；

第三步，排第三位：有（n-2）种选法；

┋

第m步，排第m位：有（n-m+1）种选法；

┋

最后一步，排最后一位：有 1 种选法。

根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：

(1)(2)(1)!!!()!mmnnmm AnnnnmnCAmmnm---+===-L

1nn C=

推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进

行：

第一步，取第一个：有 n 种取法；

第二步，取第二个：有（n-1）种取法；

第三步，取第三个：有（n-2）种取法；

┋

第m步，取第m个：有（n-m+1）种取法；

┋

最后一步，取最后一个：有 1 种取法。

上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题mn A分解为两个步骤：

第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题mn C；

第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列mm A。

根据乘法原理，mmmnnm ACA=即：

(1)(2)(1)!!!()!mmnnmm AnnnnmnCAmmnm---+===-L

组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。根据

上述公式，

C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。

这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。

三、重复组合数公式：

重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m次所得的组合。

重复组合数公式：1mmnnm RC+-=（m可小于、大于、等于n,n≥1）推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：

n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当

于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！于是答案就是：1(1)!!(1)!mmnnm mnRCmn+-+-==-

四、不全相异的全排列在不全相异的n个物体中，假设有n1个物体是相同的，n2个题是相同的，……个物体是相同的个物体中不相同的物体类数一共种。那么，这些物体的全排列数n!/(!!…!

可以想成个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第种物体种，第二种物体种，以此类推。

例：有3个红球，2个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。答：一共有10种，

aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bb aaa。

五、排列恒等式的证明：

①1(1)mmnn AnmA-=-+

证明：右边=!!(1)(1)!()!mn nnnmAnmnm-+==-+-左边=右边

1mmnn nAAnm-=-

证明：右边=(1)!(1)!()!mn nnnAnmnmnm-?=----

左边=右边

11mmnn AnA--=

证明：右边=(1)!!()!()!mn nnnAnmnm-==--

②

③

左边=右边

11nnnnnn nAAA++=-

证明：右边=11(1)!!(1)!!!nnnnnn AAnnnnnnnnA++-=+-=+-==gg 右边=左边

11mmmnnn AAmA-+=+

证明：右边

=1!!(1)!!(1)!()!(1)!(1)!(1)!mn nnnmnmnnmAnmnmnmnm+-+-++===--+-+-+g

1!22!33!!(1)!1nnn+??+?+-L

证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!

=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！

=右边

六、组合恒等式的证明

首先明弄清组合的两个性质公式：

④

⑤⑥互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种mnmnn CC-=11mmmnnn CCC-

分类计数原根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含

+=+

新加元素

①1111mmmnnn mnmCCCnmm+-+-+==-

证明：

111(1)!!()(1)!(1)!!()!11!!(1)!(1)!!()!mmnnmmnn mmnnCCnmnmmnmmnmnmnmnnC Cmmmnmmnm+-++===--+----+-+===--+-g

证

明：右边= 1(1)!!!(1)!!()!mmnn nnnnCCnmnmmnmmnm--===-----g

证明：

右边=(1)!!(1)!()!!()!mn nnnCmmnmmnm-==---g

=左边

证明：根据组合性质，左边各式可写成：②

③11mmnn nCCm--=⑤

1mmnn nCCnm-=-

1121rrrrrrrrnn CCCCC++++++++=L．

111112111232113431111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrnnnrrrnnn CCCCCCCCCCCCCC CCC+++++++++++++++++++--+++==-=-=-=-=-M

左右两边相加即得：