2位错的弹性理论

第二章 位错的弹性理论
➢位错具有应力场 ➢弹性应力场可由弹性理论计算 ➢包含弹性应力场、能量、线张力、相互
作用力等内容
➢2.1 弹性力学基本知识
➢1.弹性连续介质 基本假设：
变形服从胡克定律 是各向同性的 介质完全连续，无结构间隙
已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域
2.记号 （1）应力 用应力均匀分布的六面体单元表示应力
y2
σyz
=
Gb 2πgx 2
x +
y2
没有正应力和正应变，只有切应力和切应变
➢柱坐标下：
σrr =σθθ=σzz =σrθ=σzr = 0
σθz
=
Gb 2πr
εθz
=
b 4πr
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
刃型位错的应力应变场及模型
xx

D
y(3x2 +y2 ) (x2 +y2 )2
单元体受力情况
力矩平衡微分方程
➢由 Mx 0 可得：
yz zy
➢同理：
xy yx zx xz
➢即切应力互等
力平衡微分方程
➢单元体静止时(存在体积力)：
xx yx zx X 0
x y z
xy yy zy Y 0
σyy =λεxx + (λ+ 2G)εyy +λεzz
σzz =λεxx +λεyy + (λ+ 2G)εzz
σxy = 2Gεxy
σxz = 2Gεxz σyz = 2Gεyz
其中G = E 2(1 +ν)

=
νE (1 ν)(1
2ν)

2Gν (1- 2ν)
6.以位移分量表示平衡方程
➢ 静力平衡，无体积力
xx yx zx 0
x y z
考虑应力-应变-位移关系
xy yy zy 0
x y z
xz yz zz 0
x y z
➢ 用位移分量表示的平衡方程
2ux
1 1 2v

x

0
2uy
1 1 2v
5. 应力与应变关系
εxx

1 E
[σxx
(σyy
σzz )]
εyy

1 E
[σyy
(σxx
σzz )]
εzz

1 E
[σzz
(σxx
σyy )]
εyz 21Gσyz
εzx

1 2G
σzx
εyy 21Gσxy
➢或者
σxx = (λ+ 2G)εxx +λεyy +λεzz
yz

1 (uy 2 z

uz y
)

1 2 yz
(3)由胡克定律求出
➢螺位错应力应变场分布
εxx =εyy =εzz =εyx = 0
εxz
=
-
b
g 4π x
2
y +
y2
εyz
=
b 4πgx 2
x +
y2
σxx =σyy =σzz =σyx = 0
σxz
=
-
Gb
g 2π x
2
y +
x y z
xz yz zz Z 0
x y z
➢单元体运动时：
xx
x

yx
y

zx
z

X


2ux t 2
xy
x

yy
y

zy
z
Y


2uy t 2
xz
x

yz
y

zz
z

rz z 0
其中：D= Gb 2(1- )
进一步可由胡克定律求出 应变
刃型位错的应力场分布
1.同时存在正应力分量与 切应力分量；
2.应力分布与z无关；
3. y>0处为压应力
y<0处为拉应力
4.滑移面（y=0）只有切 应力；
多余半原子面处（x=0） 只有正应力
5.y=x与y=-x处，纯拉压 状态
yy

D y(x2 -y2 ) (x2 +y2 )2
zz (xx yy )
xz zx yz zy 0
xy

yx

D x(x2 -y2 ) (x2 +y2 )2
rr



D
sin r

zz (rr )
r

D cos r
Z


2uz t 2
4. 应变与位移的关系
xx

ux x
,yy

uy y
,zz

uz z
xy

1 (ux 2 y

uy x
)

1 2 xy
xz

1 (ux 2 z

uz x
)

1 2 xz
yz

1 (uy 2 z

uz y
)

1 2 yz
变形后的形状变化
优点：模型简单
缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux,u y,uz
(2) 由位移确定
xx

ux x
,yy

uy y
,zz

uz z
xy

1 (ux 2 y

uy x
)

1 2 xy
xz

1 (ux 2 z

uz x
)

1 2 xz
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
➢由其中的螺位错与刃位错的应力应变场 叠加得到
1 r
3.位错的应变能
➢因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee
忽略较小的错排能Ec，E=Ee
表示为：W/L——单位长度位错线 的能量
➢如何求解：
1）找出区域内应变能的体积密度函数并 积分
正面正方向为正 负面负方向为正
其余应力为负
单元体上的应力分量
与单元体有关的坐标变换
（2）应变
正应变
ii

l l
伸长为正，缩短为负
切应变 ij 两方向间直角变小为正，变大为负
（3）位移 ux , uy , uz
沿坐标轴正向为正，负向为负
3.平衡微分方程
➢单元体平衡时
ห้องสมุดไป่ตู้
Mx 0 My 0 Mz 0 Fx 0 Fy 0 Fz 0
2）通过形成一个位错所做的功确定
➢直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W Gb2 ln R
L 4 r0
➢直刃型位错的应变能
外力做功形成位错法
W = Gb2 ln R
L 4(1v) r0
y


0
2uz

1 1 2v
z


0
其中：
2

2 x2

2 y 2

2 z 2
,
xx
yy
zz
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型：
不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中