分式线性映射及应用

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§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
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§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
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§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
Note1. 条件 ad bc 0确保没有常量函数.
Note2. 其逆映射也为分式线性映射. Note3.多个分式线性映射复合后仍是分式线性映射.
而将直线映射成经过原点的广义圆.
w az b a bc ad 1 (ad bc 0)
cz d c c cz d
w1
cz,
w2
w1
d,
w3
1 w2
, w4
bc
c
ad
w3, w
a c
w4
结论. 分式线性映射将广义圆映射成广义圆.
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§2 分式线性映射
3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射w f (z) 将 z1和 z2映 成 平w面上的点 和w1 w，2 将圆 映C 成 平w面上圆 ，则 和w1 关w于2 圆 对称 .
w f (z) ，且满足 f () 0( 1).
z-平面
w-平面
1
. .O 1 .
w f (z)
w ei z 1z
.1
O
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§3 唯一决定分式线性映射的条件
Exercise1.将单位圆盘 z 1 映成单位圆盘 w 1 的分式线性
映射 w f (z) ，且满足 f (0) ( 1)
c
* 现可利用待定系数法来确定分式线性映射的系数
z1 z2
w1 w2
ba
? ?
z3 w3 c ?
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§3 唯一决定分式线性映射的条件
** 设在 z 平面上任意给定三个相异的点 z j ( j 1,2,3) ，在 w
平面也任意给定三个相异的点wj ( j 1,2,3) ，则存在唯一
的分式线性映射，将 z j ( j 1,2,3) 依次映射成 wj ( j 1,2,3) . 该分式线性映射 w f (z) 由下面的方程给出
0
z ei w w z ei
w平面上的 z 平面上的0
1w
z ei
Exercise2.将上半平面映成上半平面的分式线性映射应满足
的条件是 __a_,_b_,_c,_d___R__a,_a_ad__a_b_ac___0__.
z-平面
w-平面
. ..
x1 O x2 x3
.. .
y1 y2 O y3
观察发现:分式线性映射可以分解成平移,相似与旋转,反演这 样三类基本映射.
(1)平移映射 w z d (d是复常数)
保 圆性
其几何表现：z沿d的方向平移 d 距离
(2)相似与旋转映射 w az (a是复常数)
z rei , a a ei w a rei( )
其几何表现：z先旋转再将模长伸缩到 a 倍
11
z z2
z z2
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§3 唯一决定分式线性映射的条件
两个重要的分式线性映射
（1）将上半平面 Im z 0 映成单位圆盘 w 1 的分式线性映射
w f (z) ，且满足 f ( ) 0(Im 0).
z-平面
.
w f (z)
w-平面
.1
. O
w ei z z
O
（2）将单位圆盘 z 1 映成单位圆盘 w 1 的分式线性映射
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第六章 共形映射
§1 共形映射的概念 ✓§2 分式线性映射 ✓§3 唯一决定分式线性映射的条件
§4 初等函数的映射性质
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上次课主要内容回顾
提问：导数辐角的几何意义是什么？ Arg f (z0 ) — 旋转角/转动角
提问：导数模的几何意义是什么？ f (z0 ) — 伸缩率
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上次课主要内容回顾
Note1.实际上用上两种方法找到的分式线性映射是唯一的.
Note2. 当对应点公式中出现 zk , wk中取 的情况时 只须将含 的那一项整个换成1.
举例. z1 0, z2 , z3 w3
w 0 : w3 0 z z1 : z3 z1
w w3 z z2 z3 z2
w : w3 k z z1 w k z z1
a的角形域的张度
根式函数将顶点在原点张度不超过 2的 角形域的张度缩
小到 倍a.
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§4 初等函数的映射性质
3. 指数函数 w ez
z-平面
ai
w ez
w-平面
a
O
z ln w
O
令z x iy, w ei
w ez exiy exeiy ei ex ( x ), y (0 y 2 )
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§2 分式线性映射
Note.分式线性映射要么将圆的内部映成圆的内部
要么将圆的内部映成圆的外部.
z2
C
Q
w2
C
z1
w1
Example.求区域 D {z : z 1 2,在z 映1 射 2}
w z下 i的象区域.
zi
z 平面
i
w zi
w 平面 C2
zi
C2
1
0
C1
1
450 i 0,i
. z0. z1
R
.z2
w az b
cz d
保对称性
C
提问. 什么是关于圆周对称?
w.2
.w1 .w0
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§2 分式线性映射
定义 称两点 z1 和 z2关于圆 C : z z0 R 对称，若 z1和 z2在 z0 出发的同一条射线上，且满足
z1 z0 z2 z0 R2 . 特别，z0关于圆 C 的对称点是 .
(3)反演映射 w 1 z
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§2 分式线性映射
(3)反演映射 w 1
令w
u
iv,
z
x
z
iy,而z
1
w
x
u2
u
v2
,
y
u2
v
v2
对于z平面上任意给定的圆 : A(x2 y2 ) Bx Cy D 0
w平面上的象曲线 : D(u2 v2 ) Bu Cv A 0
Note. 反演映射将经过原点的广义圆映射成直线,
又由平面几何学知：z1 z0 z2 z0 z z0 2
. z0. z1
C
z z0 R
R
设圆C与经过z1, z2任一个圆C正交于点z
C
那么连接z1, z2的直线也必与圆C正交，
则该直线必经过圆C的圆心z0 又 z0 z R, z1 z0 z2 z0 z0 z 2 R2
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角形域 D: 角形域 D:
0 arg z (0 2 ) — 确保幂函数是
0 arg w a
a
(0 a 2 )
单叶解析函数
2. 根式函数 w a z — 单值解析分支
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§4 初等函数的映射性质
总结幂函数与根式函数的映射性质:
2
幂函数将顶点在原点张度不超过 拉大到 a倍,
分式线性映射的重要性质:保角性,保圆性,保对称性.
1.保角性 分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 提问:它是复平面到复平面的一对一的映射?
当z d (c 0)时，w ? c
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§2 分式线性映射
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射
(1)它是扩充复平面到扩充复平面的一对一的映射 记f (z) az b (ad bc 0) cz d 当c 0时f ()
由实轴映成实轴可知： w f (z)为实系数函数
f (x)
ad bc (cx d )2
0 ad
bc
0
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§4 初等函数的映射性质
尽管分式线性映射的确具有很多好的性质:保角性,保 圆性,保对称性,是共形映射等等,但仅仅用它来构造 共形映射显然是不够的.
举例:将第一象限映射为上半平面?
当c 0时f ( d ) , f () a
c
c
(2)它是扩充复平面到扩充复平面的共形映射
(a)w f (z)在扩充复平面内处处解 析
(b) f (z)
ad bc (cz d )2
是否不等于零
?
当z
时,
f () 0
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§2 分式线性映射
2.保圆性
广义圆 广义圆
分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面上的圆
0 1
(i,i) (,0)
i
C1
保圆性 保角性
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§2 分式线性映射
z 平面
i
zi
C1
C2
w zi
w 平面
1
0
1
i
i 0,i
1 i
C1
C2
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§2 分式线性映射
Exercise.复平面上满足条件 Re 1 1 的点集是：x2 y2 1
1 z 2
z 平面
?
w 1 1 z
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
. w3
.z1
D
.
z2
. . w f (z)
z3
w1
D
.
w2
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§3 唯一决定分式线性映射的条件
该分式线性映射 w f (z) 由下面的方程给出
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
.z2 . z0. z1
R
C
引理 z1 和 z2关于圆 C 对称的充要条件是：过 z1和 z2的任何 圆均与圆 C 正交.
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§2 分式线性映射
引理 z1 和 z2关于圆 C 对称的充要条件是：过 z1和 z2的任何 圆均与圆 C 正交.
若z1, z2关于圆C对称,
z
.z2
则由定义中 z1 z0 z2 z0 R2
带形域 D: 0 Im z a (0 a 2 ) 角形域 D: 0 arg w a (0 a 2 )
4. 对数函数 w ln z
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About Functions of A complex Variable
Ch1 复数与复变函数 C Ch6 共形映射
w 平面
1 2
w 平面
1 1
2
z w1 w
z 平面
1 1,1 0, 1 1 0 1
2
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§2 分式线性映射
思考题:已知区域和象区域求分式线性映射?
举例
z 平面
i
D C1
C2
w 平面 C2
?
450
D
i (1)i 0,i ,0 1
(2)i 0, i ,0 2
C1
w zi
提问：共形映射是如何定义的？ 定义 设函数 f (z) 在 z0 的某邻域内有定义，在 z0处具有保角 和伸缩率不变的性质，则称函数 f (z)在 z0处是共形的. 若函 数 f (z)在区域 D 内每一点是共形的，则称 f (z)为区域 D内的 共形映射.
提问：一个解析函数构成映射满足什么条件就是 共形映射？
zi
w2 zi
zi
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§3 唯一决定分式线性映射的条件
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
提问:为什么可用三对对应点来确定一个分式线性映射?
(1)当c 0时, w a z b az b(整线性映射)
dd
(2)当c
0时, w
a c
zb c
az b
z d z c