华东师范大学1997-2011年数学分析试题及解答

上有界，且当
n
时，
f n ( x ) f ( x ), x a , b 证明：
（1）
f (x)
在 a , b 上有界；
（2）
lim s u p f n ( x ) s u p f ( x ) , ( s u p lim f n ( x )) n
a xb a xb
三.用条件极值的方法证明不等式：
2 2 x 12 x 2 ... x n x x 2 ... x n ( x 0 , k 1, 2 , ..., n ) 1 k n n 2
四.设 f ( x ) 在
( a , ) 上可导，且 lim f ' ( x ) ，证明 f ( x ) 在 x
n2 1 1 1 x1 x 2 xn2
n 1
即得
n 2
1 1 n
1
n2 n 1 (n 1) 1 n
1
=
n2 n (n 1) 1 n 1

n2 。 n 1
1 ⑵由⑴与 1 为递增数列，得到 n 1 1 1 1 e 1 n n
x a,b f n ( x) f ( x)
（1） 设
1 1 f n ( x) f ( x)
,
求
f ( k ) (0), k 1, 2,
（2） 设 an 收敛， lim nan 0 ，证明： n(an an 1 ) an 。 x
n 1



n 1
D
中 f 为连续函数，f(1)=1.证明 F' (1) 4.
3
五 （12 分） 设 D 为由两抛物线
2 y x 2 1 与 y x 1 所围成的闭域。
x2 y2 试在 D 内求一椭圆， 2 2 1, 使其面积为最大。 a b
六（12 分）设 u ( x , 满足 F
n 1
（3） 设 f n ( x) 为 a,b 上的连续函数序列，且 f n ( x) f ( x) ， x a,b ， 则当 n 充分大时， f n ( x) 在 a,b 上 证明： 若 f ( x) 在 a,b 上无零点， 也无零点；并有
1 1 ， x a,b 。 f n ( x) f ( x)
f ( x0 ) 为极大值； f ( x0 ) 为极小值。
当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y 0 ) 同号时， 当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y 0 ) 异号时， （3） 对方程 x
2
xy y 2 27 ， 在隐函数形式下 （不解出 y） 求 y=f(x)
( a , ) 上不一致连续。
五.设 f ( x ) 在
a , b 上二阶可导，且
f (x) 0
， f ( x ) 0 ，证明：
''
f (x)
2 b a

b a
f ( t )d t , x a , b .
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六.设 f ( x , y ) 在 D （1）
a , b c , d 上有二阶连续偏导数。
上 介 于
0 zh
的 一 块 ，
cos , cos , cos 为 s 的下侧法向的方向余弦。
2
华东师范大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学试题
一． （1） 简答题（20 分） 用定义验证： lim
n
3n 2 2 3 ； 2 2n n 1 2
（2）
cos x, x 0 , 求f ' ( x) ； f ( x) 2 ln(1 ), 0 x x
⑵
cos x sin 3 x cos x(1 cos 2 x) dx 1 cos 2 x 1 cos 2 x d (cos x)
=
t (t 2 1) t (1 t 2 ) 2t dt 1 t2 1 t 2 dt
2t t2 = t dt ln(1 t 2 ) C 2 2 1 t
也收敛。
五（20 分）设方程 F y=f(x)。又设 F （1）
( x , y ) 0 满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数
( x , y ) 具有连续的二阶偏导数。
f ''( x )
1
求
（2）
若 F ( x0 , y 0 )
0, y0 f ( x0 ) 为 f(x)的一个极值，试证明：
的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。
六（12 分）改变累次积分
I

4 2
dx 4
x
4 x 20 x8
( y 4)dy
的积分次序，并求其值。
七 （12 分） 计算曲面积分 I
( x
s
2
cos y 2 cos z 2 cos )ds
其 中
s
为 锥 面
z
x2 y2
y)
有连续二阶偏导数， F ( u , t ) 有连续一阶偏导数，且
' (u x , u 'y ) 0 , ( F s ' ) 2 ( F t ' ) 2 0 , 证明：
'' '' '' 2 ux 0. x u yy ( u xy )
七（12 分）设 f ( x ) 为 ( , ) 的周期函数，其周期可小于任意小的正数。 证明若 f ( x ) 在 ( ,
。于是对于一切 x (a, a ) ，有
f ( x) f (a ) f ( x) f ( x1 ) f ( x1 ) f (a )
) 上连续，则 f ( x ) 常数。
4
华东师范大学 1999 年攻读硕士学位研究生入学试题
一．设 a 0 , 0 x 1 a ， x n 1 x n ( 2 证明： x n 收敛，并求其极限。
xn ), a
n N
，
二.证明：若函数 单调.
f 在区间 I 上处处连续，且为一一映射，则 f 在 I 上为严格
( f ( x) 0)
绕 x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出 S 的 面积公式为： A 2 a f ( x) 1 f '( x) dx
b 2
六、 （24 分）级数问题：
x , x0 sin x f ( x) 1, x 0
f n ( x)
二、
1 ⑴欲证 1 n
n 2
1 n
1 1 n 1
n 1
2 n
，即
1 1 n
1
n2 n 1 1 , x n 2 1 。由 n
，
因此，令 x1 x 2 x n 1 1
n 2
x1 x 2 x n 2
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
一（12 分）设 f(x)是区间 I 上的连续函数。证明：若 f(x)为一一映射，则 f(x) 在区间 I 上严格单调。
二（12 分）设
1, x为有理数 D( x) 0，x为无理数
证明：若 f(x), D(x)f(x) 在点 x=0 处都可导，且 f(0)=0,则
n n 1
n
1 1 n ln1 1 (n 1) ln1 n n 1 1 1 1 ln1 , ln1 。 n n n n 1
三、证明 ：
0,
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，当 x ( a, a ) 时，若 f ( x) f ( a ) ，则 f 在 a 右连续。
=
1 cos 2 x ln(1 cos 2 x) C 2
Fx yzF1 2 xF2 Fz xyF1 2 zF 2 gradz {z x , z y } ⑶ Fy zxF1 2 yF2 zy F xyF1 2 zF2 zx
n 1

n 1
1 ) a n 也是发散级数。 n
（2）证明


2 n s in
1 3n x
n 1
在 0 , 上处处收敛，而不一致收敛。
四（12 分）设
D : x 2 y 2 z 2 t 2 , F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz , 其
华东师范大学 2000 年数学分析解答
一、 ⑴
lim
x 0
x ln(1 x) lim x 0 x ln(1 x)
1
1 1 x
x ln(1 x) 1 x
lim
x 0
x 1 1 lim x 0 (1 x) ln(1 x) x ln(1 x) 1 1 2
（2）
1 1 1 ln(1 ) , n 1, 2 n 1 n n
三、 （12 分）设 f(x)在 a, b 中任意两点之间都具有介质性，而且 f 在 （a，b）内可导，
f '( x) K
（K 为正常数） ， x ( a, b)
证明：f 在点 a 右连续，在点 b 左连续。 四、 （14 分）设 I n 0 (1 x 2 )n dx ，证明：
a xb n
八．设 S
R 2 , P0 ( x 0 , y 0 ) 为 S 的内点， P1 ( x 1 , y 1 ) 为 S 的外点，证明：
直线段 P0 P1 至少与 S 的边界 S 有一个交点。
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华东师大 2000 年数学分析试题
一、 （24 分）计算题： （1） 求 lim( x 0 （2） 求
f '(0) 0
三（16 分）考察函数 f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式：
a b ( ab )
a b
a b 2
( a 0, b 0)
四（16
分）设级数 a n n 收敛，试就 d n 为正项级数和一般项级数两种
n 1 n 1


情况分别证明
a
n 1

n
n n
( 1 ) In (2) In
1
2n I n 1 , n 2 , 3 , 2n 1 f ( x) 2 , n 1, 2 , 3 n
五、 （12 分）设 S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段
y f ( x), x a, b , z 0
否则， x 0 (a, a ) ，使 f ( x0 ) f ( a ) （不妨设 f ( x0 ) f ( a ) ） 。
满足：
f ( x0 ) f (a) ， f (a)
由介值性， x1 ( a, x0 ) ，使 f ( x1 )

2
。
（3）
计算
x3 1 x2
d x.
二 （ 12

分 ） 设
f(x) 有 连 续 的 二 阶 导 函 数 ， 且
f ( ) 2 , [ f ( x ) f '' ( x ) ] s in x d x 5 , 求 f(0).
0
三（20 分） （1）已知 a n 为发散的一般项级数，试证明 (1
1 1 )； ln(1 x) x
cos x sin 3 x dx 1 cos 2 x
（3） 设 z z ( x, y ) 是由方程 F ( xyz , x 2 y 2 z 2 ) 0 所确定的可微隐函数， 试求 grad z。 二、 （14 分）证明：
1 1 n （1 ） (1 ) 为递减数列： n
通过计算验证：

D
f x''y ( x , y ) d x d y

D
f y''x ( x , y ) d x d y
（2）
利用（1）证明：
f x''y ( x , y ) f y''x ( x , y ), ( x , y ) D
.
七 . 设 对 每 个 n, fn ( x) 在
a , b