四边形中的旋转、折叠问题

四边形中的旋转、折叠问题

例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x

轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝3

4

．

（1）求B′点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式．

例题：（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F 求证：AE=CF。

（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。

求证：EI=FG。

例题：（2012•德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四边形AGEF是菱形．

（2）连接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，

∵点O是AE的中点，

∴ON是梯形ABCE的中位线，

∴点N是线段BC的中点．

（3）作OM⊥AD，

设DE=x，则MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

故AE为△AED的外接圆的直径．

延长MO交BC于点N，则ON∥CD，

∵四边形MNCD是矩形，

∴MN=CD=4，

∴ON=MN﹣MO=4﹣x，

∵△AED的外接圆与BC相切，

∴ON是△AED的外接圆的半径，

∴OE=ON=4﹣x，AE=8﹣x，

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴22+x2=（8﹣x）2，

得x=DE=，OE=4﹣x=，

∵△FEO∽△AED，

∴=，

解得：FO=，

第17题

C

B

G

F

E

D

A ∴FG=2FO=．

故折痕FG 的长是

．

对应练习

1.（2012•泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，

BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）

2.（2012•泰安）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，

OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ）

3.（2012•泰安）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为（ ）

4.如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点， 将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD

于F 点，若CF =1，FD =2，则BC 的长为_______．

5.矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，

折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）(试题82页）

A

B C

D

D ′

′N

M

F (第10题)

6.（2010山东潍坊）如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＞AD ，AD ＝2，AB ＝4，点E 在AB 上，将△CBE 沿CE 翻折，使B 点与D 点重合，则∠BCE 的正切值是________．(89

页) 7.梯形中的对角线（88页）

8..如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】

(A)4个

(B)3个

(C)2个

(D)1个

9如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠AMD ′＝36°，则∠NMD ′等于

（A ）144° （B ）126° （C ）108° （D ）72°

10.一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF 绕点A （F ）逆时针旋转60°后（图2），测得CG =10cm ，

则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为 (A) 75cm 2 (B) )32525(+cm 2

(C))33

25

25(+

cm 2 A B

C D

E

(F ) B

F )

D E

G

(第8题)

图2

图1