2014-2015学年高三数学寒假作业(3)(Word版,含答案)

高三数学寒假作业（三）

一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1. 集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为

A.3 B ．4 C ．11 D ．12 2.设集合}{{}2|11,|M x x N x x x =-<<=≤，则M N =（ ）

A ．[)0,1

B ．(]1,1-

C ．[)1,1-

D ．(]1,0-

3.若命题p ：0log ,2>∈∀x R x ，命题q ：02,00<∈∃x

R x ，则下列命题为真命题的是（ ） A. q p ∨ B. q p ∧ C. q p ∧⌝)( D.)(q p ⌝∨ 4.下列各组函数中，表示相等函数的是( )． A ．y ＝55x 与y

B ．y ＝ln e x

与y ＝e

ln x

C ．

与y ＝x ＋3

D ．y ＝x 0

与y ＝

01

x

5.若函数f (x) (x ∈R)是奇函数，则（ ）

A ．函数f (x 2

)是奇函数 B ．函数 [f (x) ]2

是奇函数 C ．函数f (x)⋅x 2

是奇函数 D ．函数f (x)＋x 2

是奇函数

6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2＝3，a 6＝11,则S 7等于． A ．13 B ．35 C ．49 D ．63

7.，则sin 2x =（ ） A

8.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条

渐近线的交点分别为,B C ．若1

2

AB BC =

，则双曲线的离心率是（ ） A

9.

已知函数2

2log (log )a a y x x =-+对任意1

(0,)2

x ∈时都有意义，则实数a 的范围是（ ） A.11322

a ≤<

B. 01a <<

C.

1

12

a <<

D. 1a >

二、填空题

10.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪

--≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为

11.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．

12.在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若b c a 32

2=-，且C A B sin cos 8sin =,

则边b 等于 .

13.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ，则

FD DE ⋅=uu u r uu u r

________．

F

E D

C

B A

三、计算题

14.已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦上的最大值和最小值. 15.

（本题满分14分）

如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A

，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．

16.（本题满分12分）

如图，椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B

，且

|||AB BF =

. （1）求椭圆C 的离心率；

（2）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥.求直线l 的方程及椭圆C 的方程.

A

B

C D

E

C 1

A 1

B 1

F

高三数学寒假作业（三）参考答案

一、选择题

1~5 CADDC 6~9 CCCA 二、填空题 10.10 11.23

12.4 13.32

-

三、计算题 14.

（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==， ∴函数()f x 的最小正周期为π.

（Ⅱ）由26

2

3

x x π

π

π

π-

≤≤

⇒-

≤≤，∴sin 21x ≤≤，

∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的最大值为1，最小值为. 15.

证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ． 因为F 为C 1B 的中点，所以FG 1

//

2

C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A //C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG //EA ．

所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，

所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分

（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ， 所以A 1A ⊥BD ．

因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．

因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分

根据题意，可得EB ＝C 1E ＝

2

AB ，C 1B ， 所以EB 2

＋C 1E 2

＝C 1B 2

．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ， EB 平面BDE ，

所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分 16.

（1）由已知|||AB BF =，

，222445a b a +=，

222244()5a a c a +-=，∴ c e a ==

.…………………………………………4分 （2）由（Ⅰ）知2

2

4a b =，∴ 椭圆C ：22

2214x y b b

+=.

设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，