指数函数图像与性质

应用举例
例1：下列哪些是指数函数？
(1 ) y = 2 (3) y = 2
x
(2) y = (2)
x
x
x +1
(5 ) y = 2
x
(4) y = 2 + 1 2x (6) y = 2
指数函数概念
一般地， 一般地，函数 叫 指数函数，其中x是自变量 是自变量， 做指数函数，其中 是自变量，函数的 定义域是 R , 值域是 (0,+∞) .
解.（1）函数 y = 1 . 7 x 在 R 上是增函数； （ ）
∴ 1 .7
2 .5
例3.比较下列各式大小 比较下列各式大小 ①、 ③、
1.7 2.5 ,1.7 3
②、 . 8 2 ; 0 . 8 3 0
1.7 0.3 , 0.9 3.1
∵ 2 .5 < 3, < 1 .7 3
解.（1）函数 y = 1 . 7 x 在 R 上是增函数； （ ）
R ( 0 , + ∞)
性 单调性 质 (4)单调性
(5)函数值 函数值 的分布情 况
(3)定点 定点
在R上是增函数 上是增函数 当x＞0时，y＞1 时 当x＜0时，0＜y＜1 时 ＜
在R上是减函数 上是减函数 当x＞0时， 0＜y＜1 时 ＜ 当x＜0时， y＞1 时
应用示例： 应用示例： 例2.已知指数函数 f ( x ) = a 2.已知指数函数
x
1 如 y = ( 2) 在 x = 时就没有意义 。 2
x
③若a=1，则对于任何x ∈ R， x a =1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了便于研究，规定：a>0 ,且a≠1 a x 都有意义，且 在规定以后，对于任何x ∈ R， x a >0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
作函数图象
y=2
x
1x y =( ) 2
作函数图象
x -1 y
1 2
0 1
x
1 2
2 4
3 8
x -3 y 8
-2
4
-1 2
0 1
1
1 2
y=2
1 x y=( ) 2
1 x y=( ) 2
1x y =( ) 3
Y
y y =3
x
y = 2x
O
-3 -2 -1
o
1
2X 3
x
y=( ) 2
1x y=( ) 3 1x
小结： 小结：
1.本节课学了哪些知识?
指数函数的概念 指数函数的图象 指数比较大小的方法； 指数比较大小的方法；
2.记住两个基本图形:
a>1 图 象
y y=1 0 y=ax (a>1) (0,1) x y=ax (0<a<1) y=1 0
0<a<1
y (0,1) x
练习：此图是① ＝ 练习：此图是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx， ＝ ＝ ④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关 ＝ 的图象， ， ， ， 与 的大小关 系是（ 系是（ ） A a＜b ＜1 ＜ c ＜ d ＜ B b＜a ＜1 ＜ d ＜ c ＜ C 1＜a ＜b＜ c ＜ d ＜ ＜ D a＜b ＜1 ＜d ＜ c ＜
…
y=2
x
1x y =( ) 2
x
y = 1.073
1 y = 2
x 5730
指数函数概念
一般地， 一般地，函数 叫 指数函数，其中x是自变量 是自变量， 做指数函数，其中 是自变量，函数的 定义域是R， 定义域是 ，值域是 (0,+∞) .
为什么要规定a>0,且a≠ 1呢？
①若a=0，则当x>0时， x =0； a 当x ≤ 0时，a x 无意义. ②若a<0，则对于x的某些数值，可使 a 无意义.
解：因为指数函数y=ax的图像经过点（3，π），所以 f (3) = π .
即 a3 = π ,解 得 a = π
1 3
1 3
,于 是 f (x) = π
x 3
.
.
所以， f (0) = π 0 = 1， f (1) = π = 3 π ， f ( 3) = π 1 =
1
π
例3.比较下列各式大小 比较下列各式大小 ①、 ③、
①
②
③ ④
次数 1次 次 2次 次 3次 次 4次 次 x次 次 …
1 2 1 1 1 2 × = ( ) 2 2 2 1 2 1 1 ( ) × = ( ) 2 2 2 1 3 1 1 ( ) × = ( ) 2 2 2
长度
3
4
1 x 1 1 1 x ( ) × =( ) 2 2 2
该纸条截x次后，得到的长度y 该纸条截x次后，得到的长度y与x的关系式是 1 y = ( )x 2
解.（1）函数 y = 1 . 7 x 在 R 上是增函数； （ ）
∴ Байду номын сангаас .7
2 .5
( 2 ) 函数 y = 0 . 8 x 在 R 上是减函数； ∵ 2 > 3
∴ 0.8
(3)
2
< 0 .8 3
由指数函数性质知：
∴ 1 .7 0 .3 > 0 .9 3 .1
1.70.3 > 1.70 = 1而0.93.1 < 0.90 = 1
y=3X
Y
y = 2x
Y=1
O
X
通过作图，我们发现y=ax的图象大致分两 种类型，即0＜a＜1和a＞1，图象如下：
y y=a
x
y =a x (0＜a ＜1)
y
(a＞ 1)
y=1 (0,1) y=1
(0,1)
0
x
0
x
指数函数的图象和性质
y=ax
图 象
o
a＞1
y
0＜a＜1
y
1
1
x
o
x
(1)定义域 定义域 (2)值域 值域
x
(a>0,且a≠1）的图象 且 ）
经过点（ ， ）， ），求 f(0)、f(1)、f(-3)的值 的值. 经过点（3，π），求 f(0)、f(1)、f(-3)的值
分 析 ： 要 求 f ( 0 ) , f (1) , f ( 3 )的 值 ， 需 要 我 们 先 求 出 指 数 函 数 的 解 析 式 。 根 据 函 数 图 像 经 过 （ 3， π） 这 一 条 件 ， 可 以 求 得 底 数 a的 值 。
指数函数及其性质
（一）
材料1: 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个…一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞 分裂的个数y与x的函数关系是什么?
细胞分裂过程 细胞个数 第一次 第二次 第三次 第x次 次 21 22 23 2x
………… ……
细胞个数y与分裂次数 之间的关系式为 细胞个数 与分裂次数 x之间的关系式为 y =2x
材料2：
将一纸条第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的 将一纸条第一次截去它的一半 第二次截去剩余部分的 一半，第三次截去第二次剩余部分的一半， 一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下 问截的次数与剩下的纸条之间的关系. 去,问截的次数与剩下的纸条之间的关系 问截的次数与剩下的纸条之间的关系
比较指数大小的方法： 比较指数大小的方法：
①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是 构造函数法：要点是利用函数的单调性， 同底不同指（包括可以化为同底的）， ），若底数是参变量要 同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要 注意分类讨论。 注意分类讨论。 ②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同 搭桥比较法：用别的数如0 做桥。 底不同指。 底不同指。
∴ 1 .7
2 .5
( 2 ) 函数 y = 0 . 8 x 在 R 上是减函数； ∵ 2 > 3
∴ 0.8
2
< 0 .8 3
例3.比较下列各式大小 比较下列各式大小 ①、 ③、
1.7 2.5 ,1.7 3
②、 . 8 2 ; 0 . 8 3 0
1.7 0.3 , 0.9 3.1
∵ 2 .5 < 3, < 1 .7 3
1.7 2.5 ,1.7 3
②、 . 8 2 ; 0 . 8 3 0
1.7 0.3 , 0.9 3.1
例3.比较下列各式大小 比较下列各式大小 ①、 ③、
1.7 2.5 ,1.7 3
②、 . 8 2 ; 0 . 8 3 0
1.7 0.3 , 0.9 3.1
∵ 2 .5 < 3, < 1 .7 3