由分布列求期望、方差

• 点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值 时，若p1＝p2＝…＝pn＝ 1/n ，则x1，x2，…，xn 的方差就是我们初中学过的方差．因此，现在学的方 差是对初中学过的方差作了进一步拓展．
• 类型一 求离散型随机变量的期望 • 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步 骤： • ①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式 Eξ ＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．
• 回归课本 • 1.一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
• 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望或 平均值、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离 散型随机变量取值的平均水平．
• 3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1， x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…， pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随 机变量ξ的均方差，简称方差．Dξ的算术平方根叫做 随机变量ξ的标准差，记作σξ.随机变量的方差与标准 差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．
• 类型二 离散型随机变量的方差 • 解题准备： 求离散型随机变量 ξ 的期望与方差的方 法． • (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； • (2)求ξ取每个值的概率； • (3)写出ξ的分布列； • (4)由期望的定义求Eξ； • (5)由方差的定义求Dξ.
• 【典例 2】 编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ. • (1)求随机变量ξ的概率分布； • (2)求随机变量ξ的数学期望和方差． • [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有0、1或3，若2 人对号入座第3人必对号 入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能事件概 率公式易求分布列． • (2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可．
所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝
21 . 64
(2)Eξ＝2×
9 18 21 12 4 15 ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ . 64 64 64 64 64 4
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及 离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)， 对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地 方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发 生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分 布列的数学期望公式即可．
• [点评] 本题是研究对号入座学生个数为离散型随机 变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对 号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含 的结果数，基本事件的总数．若问题推广为错位入座 的学生个数．其变量ξ的概率分布列、期望、方差也 可用类似方法解决．
【典例1】 (2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口 袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1， 三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任 意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记 第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ. (1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由． (2)求随机变量ξ的期望Eξ.
[解析]
(1) P(ξ＝0)＝ 1 1 ＝ ； A33 6
2 1 C31 1 ＝ ； 3＝ ； P(ξ＝ 1)＝ A3 3 A33 2
P(ξ＝ 3)＝
∴概率分布列为：
ξ P
0 1 3
1 1 2
3 1 6
1 1 1 (2)Eξ＝1× ＋3× ＋0× ＝1. 2 6 3 1 1 1 Dξ＝(0－1)2·＋(1－1)2·＋(3－1)2·＝1. 3 2 6
[解析 ]
(1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、百度文库3、 4、 5、 6.
32 9 因为 P(ξ＝ 2)＝ 2＝ ； 8 64 P(ξ＝ 3)＝ P(ξ＝ 4)＝ P(ξ＝ 5)＝ P(ξ＝ 6)＝ 2× 32 18 ＝ ； 82 64 32＋ 2×3×2 21 ＝ ； 82 64 2× 3× 2 12 ＝ ； 82 64 2× 2 4 ＝ . 82 64