第2章群论复习题

第二章群论复习题

一、填空题

1.集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条

件： 。

2.设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：

[][]b a ,是两个等价类。则[][]⇔=b a 。

3.设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()a G 的阶等于 。

4.设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是 。

5.3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集 。

6.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。

7.设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是 。

8.设G =)(a 是10阶循环群，则G 的子群的个数为_________.

9.在5次对称群5S 中，.______)15423(_____,)125)(13(1==-

10.设G =)(a 是15阶循环群，则G 的子群的个数为_________.

11.整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.

二、判断题

1.（ ）若B A ,都是群G 的子群，则B A 也是G 的子群。

2.（ ）交换群的子群是循环群。

3.（ ）循环群的同态象是循环群。

4.（ ）一个阶是11的群只有两个子群。

5.（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。

6.（ ）交换群的子群是不变子群。

7.（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群

8、（ ）群G 的指数是2的子群一定是不变子群。

三、计算题

1.将置换(456)(567)(761)σ=写成不相交循环置换的乘积，并求σ的阶；

2.求三次对称群3S 的所有子群。

3.计算置换121

1n n n σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

的奇偶性。 4.求解模20剩余类20Z 的所有子群。

四、证明题

1.令G 是实数对(,),0a b a ≠的集合，在G 上定义(,)(,)(,)a b c d ac ad bc =+，

证明G 是群

2.设(),,,,1a b ax b G f x a b c d R c d cx d ⎧⎫+⎪⎪==∈=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭

，证明G 关于变换的乘法构成群。

3.令Ω是任意集合，G 是一个群，G Ω是Ω到群G 的所有映射构成的集合。对任意两个映射,f g G Ω∈,定义乘积fg 是这样的映射：,()()()a G fg a f a g a ∀∈=,证明：G Ω是群。

4.对任意1,:a G f a a -∈→是群G 的自同构当且仅当G 是交换群。

5.设,a b G ∈且ab ba =,,a m b n ==，记(,),[,]a b a b 分别表示,m n 的最大公因子与最小公倍数，则 (1) [,](,)n m a b a b a b =

(2) G 中存在(,)a b 阶的元 (3)G 中存在[,]a b 阶的元

6.设,a b G ∈，证明：a 与1a -，ab 与ba 含有相同的阶。

7.令G 是实数对(,),0a b a ≠的集合带有乘法(,)(,)(,)a b c d ac ad bc =+的群，证明：{(1,)|}K b b R =∈是G 的正规子群且*/G K R ≅，其中*R 是非零实数乘法群。