应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答共26页文档
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比较上下式相应的系数,可ห้องสมุดไป่ตู้:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
因 ΣYCC1 1112111 111 21 1 111 11122(10 )2(10)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y X X 1 1 X X 2 2 ~ N 2 1 1 2 2 , 2 2 (1 0 )2 (1 0 )
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
12,21 1.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
X1X2~N(12,22(1)); X1X2~N(12,22(1)).
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y X X((1 1)) X X((2 2)) IIp p IIpp X X((1 2)) CX
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y~N 2p(C ,C C )
因DY() CD(X)C IIpp
Ip Ip
12
2 1
IIpp
Ip Ip
11
2 2
1 2
21IIpp
CY o 1 ,Y 2 ) v 1 (1 1 1 2 1 1 1 1 0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y Y Y 1 2 X X 1 1 X X2 2 1 1 1 1 X X 1 2 CX
则 Y ~ N 2 (C ,C C )
所以 X(1)X(2)~Np((1)(2),2(12)); X(1)X(2) ~Np((1)(2),2(12)).
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f(x 1 ,x 2 ) 2 1 e x 1 2 ( p 2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2x 1 2 1x 2 4 6 )
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
0 0 2,A00 .5 .5
1 0
00 .5 .5,d1 2.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
y Ad111212,
y A(2I3)A2AA31 11.
1
第二章 多元正态分布及参数的估计
令uu21
x1 x2
4 3
u 1 u 22 1ex 1 2 ( p 2 u 1 2 [ u 2 2 2 u 1 u 2 )d ]1 d u 2u
1 2
u1 2
u1e2
1 2
u2e1 2(u2u1)2d2u d1u
2 1 u 1 e u 2 1 2 2 1 (u 2 u 1 )e 1 2 (u 2 u 1 )2 d2 u u 1 e 1 2 (u 2 u 1 )2 d2 d u 1
解二:比较系数法 设 f(x 1,x2)2 1ex 1 2 p (2 x 1 2x2 2 2 x 1x2 2x 1 2 1x2 4 6) 5
2 1 2 11 2ex 2 p 1 2 2 2 1 (1 2)[2 2(x 1 1)2 2 1 2(x 1 1)x (2 2) 1 2(x2 2)2]
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
f1 (x 1 ) f(x 1 ,x 2 )d2 x 2 1e 1 2 (2 x 1 2 2x 1 2 6) 5 e 1 2 (x 2 2 2 x 1 x 2 1x 2 4 )d2
1 1 2 (2 x 1 2 2x 1 2 6)5 1 2 (x 2 2 2 x 2 (x 1 7 ) (x 1 7 )2 )
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
Ip Ip
2(1O2)
O 2(1 2)
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y X X ((1 1 )) X X ((2 2)) ~N 2p ((1 1 )) ((2 2)) , 2 ( 1 O 2)2 ( 1 O 2)
1
2
u12eu212du1 1
0
2
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E (X) 3 4 , D (X) 1 1 2 1
且 f(x 1 ,x 2 ) 2 1ex 1 2 p (x [) 1 (x)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
x14)2
2
X1~N(4,1).
类似地有
f2(x2) f(x 1 ,x2)d1 x 212e 1 4 (x2 3 )2
X2~N(3,2).
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第二章 多元正态分布及参数的估计
12Co (Xv 1,X2)E[(X1E(X1))X (2E(X2)]
E[(X14)(X23)]
(x14)(x23)f(x1,x2)d1d x2x
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
因 ΣYCC1 1112111 111 21 1 111 11122(10 )2(10)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y X X 1 1 X X 2 2 ~ N 2 1 1 2 2 , 2 2 (1 0 )2 (1 0 )
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
12,21 1.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
X1X2~N(12,22(1)); X1X2~N(12,22(1)).
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第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y X X((1 1)) X X((2 2)) IIp p IIpp X X((1 2)) CX
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第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y~N 2p(C ,C C )
因DY() CD(X)C IIpp
Ip Ip
12
2 1
IIpp
Ip Ip
11
2 2
1 2
21IIpp
CY o 1 ,Y 2 ) v 1 (1 1 1 2 1 1 1 1 0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y Y Y 1 2 X X 1 1 X X2 2 1 1 1 1 X X 1 2 CX
则 Y ~ N 2 (C ,C C )
所以 X(1)X(2)~Np((1)(2),2(12)); X(1)X(2) ~Np((1)(2),2(12)).
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f(x 1 ,x 2 ) 2 1 e x 1 2 ( p 2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2x 1 2 1x 2 4 6 )
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
0 0 2,A00 .5 .5
1 0
00 .5 .5,d1 2.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
y Ad111212,
y A(2I3)A2AA31 11.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
令uu21
x1 x2
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u 1 u 22 1ex 1 2 ( p 2 u 1 2 [ u 2 2 2 u 1 u 2 )d ]1 d u 2u
1 2
u1 2
u1e2
1 2
u2e1 2(u2u1)2d2u d1u
2 1 u 1 e u 2 1 2 2 1 (u 2 u 1 )e 1 2 (u 2 u 1 )2 d2 u u 1 e 1 2 (u 2 u 1 )2 d2 d u 1
解二:比较系数法 设 f(x 1,x2)2 1ex 1 2 p (2 x 1 2x2 2 2 x 1x2 2x 1 2 1x2 4 6) 5
2 1 2 11 2ex 2 p 1 2 2 2 1 (1 2)[2 2(x 1 1)2 2 1 2(x 1 1)x (2 2) 1 2(x2 2)2]
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
f1 (x 1 ) f(x 1 ,x 2 )d2 x 2 1e 1 2 (2 x 1 2 2x 1 2 6) 5 e 1 2 (x 2 2 2 x 1 x 2 1x 2 4 )d2
1 1 2 (2 x 1 2 2x 1 2 6)5 1 2 (x 2 2 2 x 2 (x 1 7 ) (x 1 7 )2 )
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
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第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
Ip Ip
2(1O2)
O 2(1 2)
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y X X ((1 1 )) X X ((2 2)) ~N 2p ((1 1 )) ((2 2)) , 2 ( 1 O 2)2 ( 1 O 2)
1
2
u12eu212du1 1
0
2
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第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E (X) 3 4 , D (X) 1 1 2 1
且 f(x 1 ,x 2 ) 2 1ex 1 2 p (x [) 1 (x)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
x14)2
2
X1~N(4,1).
类似地有
f2(x2) f(x 1 ,x2)d1 x 212e 1 4 (x2 3 )2
X2~N(3,2).
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第二章 多元正态分布及参数的估计
12Co (Xv 1,X2)E[(X1E(X1))X (2E(X2)]
E[(X14)(X23)]
(x14)(x23)f(x1,x2)d1d x2x