统计学各章计算题公式及解题方法

x
= ———- — = =
8.
6. 一组的累积频数
四分位数位置的确定:
下四分位数：Q A =苇一 上I 甲分位数：% = 3
山：
1）
未分组数据:
;组距分组数据:
7. 简单均值:
JI
r + r ■+ + [
_ r 〒叫T …T f : L x = -------------
n
y Mf.,
_晒斤+叫&—+出血自叭'r i
加权均值： 各组组中值
，其中,
统计学各章计算题公式及解题方法
第四章数据的概括性度量
组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算: 单变量数列的中位数：先计算各组的累积次数（或累积频率）一根据位置公式确定中位 数所在的组一对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在 该组内均匀分布） 组距式数列的中位数计算公式：
位数所在组的频数, 1. 下限公式:
;上限公式:
，其中，L 为众数所
在组下限，U 为众数所在组上限,
卜I 为众数所在组次数与前一组次数之差，
阪为众数所
在组次数与后一组次数之差， d 为众数所在组组距 2. 中位数位置的确定：未分组数据为
n+ 1
~T~ ;组距分组数据为
3. 未分组数据中位数计算公式:
4.
5.
下限公式: n 2 -几-1 二匕 ------ ---- X d
* m n
2+^i+l
= U -
;上限公式:
，其中,
为中
,门为偶数
几何均值（用于计算平均发展速度） 四分位差（用于衡量中位数的代表性）
异众比率（用于衡量众数的代表性）
离散系数：叫-丘
第七章参数估计
的估计值:
置信水平
9. 10.
11.
12. 13. 14. 15.
16.
17. 18.
19.
1.
2 （策一三）£
z i=l
2 f = 1 样本方差：未分组数据：
斥-1
;分组数据：
S
A
n -1
n - 1
总体标准差：未分组数据:
90% 0.1 0.05 1.654 95%
0.05
0.025
1.96
极差：未分组数据：
' -
；组距分组数据:
R =最高组上限
-Kttfi 下限 平均差（离散程度）
= ---------------
:未分组数据：“
“
k
Y 网
Tt ； .0= 1
M J = --------------------
d
n
£ （叼-M
F 一2 _ ' = 1
£ （叫-心 z 上=】
N
;分组数据：
a
-
N
\
i = 1
a =
N
;分组数据：
4
N
样本标准差：未分组数据:
: '
；组距分组数据:
总体方差：未分组数据:
;分组数据:
99% 0.01 0.005 2.58
其中，】查，查找时需查的数值
bfl -p）
3. 大样本总体比例的区间估计：
（n - 1}s22（n- 1）s2
4. 总体方差■在--置信水平下的置信区间为：
5. 估计总体均值的样本量：■' ，其中，E为估计误差
（勺-刃
口=-------- ---------
6. 重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：，其中n为总体比例
第八章假设检验
1. 总体均值的检验（已知或未知的大样本）［总体服从正态分布，不服从正态分布的
用正态分布近似
总体均值检验（未知，小样本，总体正态分布）
假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式
心p>p u%：咗弘
g p<p u"i：。

已知
X 序=—
统计量。

未知
拒绝域It] > - 1)t <- t£r(n - 1)t > tjn - 1J
1’值决策Pco|，拒绝
3. 一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）
假设的总体比例）
（其中卜』为
假设假设形式
双侧检验
|^o: K= n
//]： MH n
左侧检验
//］：n< n0
右侧检验
jr u "i：心讪
统计量
拒绝域
拒绝
01 0.1 0.05 0.01 双侧检验
± 1.65
士 1.96
± 2.58 单侧检验
± 1.28
+ 2.65
± 2.33
1.期望频数的分布(假定行变量和列变量是独立的)
一个实际频数 5的期望频数 %，是总频数的个数n 乘以该实际频数 5落入第(行和第
2.
统计量(用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性；用于测定两个分类变量之间的
实际频数，％为列联表中第i 行 第j 列的期望频数
1)
检验多个比例是否相等 检验的步骤 提出假设Hb : i =
2
=…=j ； H :
i
,
2
,…，j 不全相等；计算检验
2
的统计量；进行决策：根据显著性水平
和自由度(r-l)( c-1)查出临界值 ，若
2 2
2
> ，拒绝H o ；若2< ，不拒绝 H
2)
利用样本数据检验总体比例是否等于某个数值 检验的步骤
提出假设H o ： i = , 2 =,•••; H :原假设的等式中至少有一个不成立；计算检 验的统计量；进行决：根据显著性水平
和自由度(r-1)( c-1)查出临界值
2
;若
2 2
2
> ,拒绝H o ；若2< ，不拒绝 H
3)
检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立 检验的步骤
提出假设H 0：行变量与列变量独立；
H :行变量与列变量不独立；计算检验的统计
2 I 2|
量；进行决策：根据显著性水平
和自由度(r-1)( c-1)查出临界值山，若2兀』，拒
2
绝H o ；若2< -,不拒绝“
3. 相关系数：测度2 2列联表中数据相关程度；对于 2 2列联表， 系数的值在0〜1
之间
其中，n 为实际频数总个数，即样本容量
4. 列联相关系数（C 系数）用于测度大于 2 2列联表中数据的相关程度
相关程度
二二(f -eV
2 _ y 1 f J * - 2J e*. f - V - 1
9
自由度为(r - l)(c -1)
人；为列联表中第
i 行第j 列的
j 列的概率，即:
M +冲，其中，C的取值范围是0^C<1; C = 0表明列联表中的两个变量独立；C 的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大；根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较
5. V相关系数
v= I . ~
^nmin\{r- 1）. U- 1）］，其中，v的取值范围是0 < V< 1；V = 0表明列联表中的两个变量独立；
v=i表明列联表中的两个变量完全相关；不同行和列的列联表计算的
列联系数不便于比较；当列联表中有一维为2, min［（r-1）,（c-1）］=1, 此时V=
第十章方差分析
1. 单因素方差分析的要点：
1）建立假设的表述方法：
坷：旳二血二…=以,自变量对因变量没有显著影响
心旳....... 斥不全相等，自变量对因变量有显著影响
2）决策：
i. 根据给定的显著性水平比在F分布
表中查找与第一自由度= 、第二自由
ii. 若F> ，则拒绝原假设丨弓，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响iii. 若，则不拒绝原假设n o,不能认为所检验的因素对观察值有显著影响
3）单因素方差分析表的结构:
方罢甘忻
S5 t平弓袍）KS （均
方】
F g)P-^Lu? （P佰》F ecit洁临雪即
1£-J
S5A
vu=—
常£1
差）ll-l MSA■卅］
旦丰r曲全袖池划值越并魁u k丸也去耿
屮■ 5 PTR勺t■姚
SSI=£SA+^E n-h亠
2. 方差分析中的多重比较（步骤）：采用Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSD
1）提出假设：
"n；叭i：（第I个总体的均值等于第吻个总体的均值）
丿心；»严儿（第（个总体的均值不等于第个总体的均值）
2） 计算检验统计量：
In, n.
1）无交互作用的双因素方差分析表结构:
2）有交互作用的双因素方差分析表结构:
关系强度测量：变量间关系的强度用自变量平方和
（SSA ）及残差平方和（SSE ）占总平方和
3)
计算LSD
3.
4)
决策:
x -X 」＞LSD 双因素方差分析:
,则拒绝叫；若匡
，则不拒绝
SS
df 白舖
彳了 JJr?
1
9J
£SC
r -1
段茎 (»
■
-；｝ x 0*・ 1 ■
沽计
5JT=空尸十£比t SS&
h-l
HS F
F cyit.
杵
F 道
XSR Fn=
—
轉出
摊岀
55C
■ 一 i
f-二 --
V5L
给出
F
P —walofi
F ciri i
rtt ________ r tt _____ 閘值
(IT)
SSC
內部氓
羞｝
JJf
沏二航一储耽
—1
扎R =
UR.
F — "1
用兀二
r - 1
SSE
-----------
erf 啊-1)
'・
1?札册二
n -1
-
F
^~
MSC
给出
-V55
鑰出
4.
（SST ）的比例大小来反映，根据
平方根R 进行判断
尺二SST （总咿方和）
第十一章 一元线性回归
1.
样本的相关系数：
刃
挖（乂-好送©-强
2.
相关系数的显著性检验步骤：
丽（对胁刚
1）提出假设:
n 0： p = o ； //］： P* 0
方差分
•；k 平
■訓
平方右 自由莓 均
方
H+＞咖傑里申趙一•卜朮平 申
10. 线性关系的显著性检验:
1）提出假设:
，线性关系不显著；心卩1工°
，有线性关系
J_n-2
t = Irl i
~2 _
*t(n - 2)
2） 计算检验统计量:
J 17 r
Itl
Itl
3） 确定u 并决策： 乙拒绝心 ；
至，不拒绝"D
3. 一元回归模型：
「几十$广…
4.
一元线性回归方程形式:"—5 :爼人，其中.是直线方程在y 轴上的截距，是当’=0 时，y 的期望值； 是直线的斜率，称为回归系数，表示当 阀每变动一个单位时y 的平
均变动值
5. 一元线性回归中，估计的回归方程：卜： f %%其中•是估计的回归直线在 y 轴上的
截距，：是直线的斜率，它表示对于一个给定的 的值，是y 的估计值，表示当•每变
动一个单位时y 的平均变动值
6.
根据最小二乘法求 以及的公式：
SST （总平方和）-SSR 硒归平方和｝ +SSE 〔残差平方和） 判定系数（回归平方和占离差平方和的比例）
：
2 SSR i ■1 i h 1
R = ----- =
557'
i = 1
估计标准误差（实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根
）:
亠刃‘=
/ = 1
n~2
7.
误差平方和之间的关系:
n M ri
Y S -旁辽阳刃£十》(尤
-yf
1—1 ，即:
8. 9. ----- =
1 亿-刃
y 0 士匕/科-2）亏
1 + + n
爪
』一】
StmiRY OUTP-JT
回归统计
y
Multiple R R Square Ad jus ted R Square 初
准罠差 翊值
相关系数尺 和定系数尸 调壘的判
定丟数 n
df
SS MS F
iiarLiticaruce F 回归分析
1 SSK :3 -—
' -M5E
pf ＞用于决策
nr2
SSE =——-
TJ - 2
- — 总计
ri-l 331 — - —
Coeificients
怖盘误差
t Stat F-value
Lover 95將
Urpec 3SW
Tritercacrt
丈備i+疑
甬
截距射饌的歸信区间
11. 12. 13. 3） 确定显著性水平并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值尸优 4） 决策：若nF”，拒绝心；iyF“，不拒绝 回归系数的显著性检验：
1） 提出假设："，久=°，线性关系不显著； g Pi*°，有线性关系
n.
t --------- tin - 2）
2） 计算检验统计量：
氷
3） 确定显著性水平a 并决策：若M A %拒绝％;山5⑵不拒维儿
置信区间估计：；;—」在I
；置信水平下的置信区间:
JL
丸士尬仇- 2）亏1
n » 11
N 为估计标准误差,
预测区间估计： 在： 置信水平下的预测区间:
2） 计算检验统计量:
其中,
15. 几点说明：
1）判定系数测度了回归直线对观测数据的拟合程度，若所有观测点都落在直线上，残差平方和SSE=0 R「=1,拟合是完全的
2）在一元线性回归中，相关系数r实际上是判定系数丿’的平方根
3）相关系数r与回归系数是同号的
第十三章时间序列预测和分析
1. 环比增长率：报告期增长率与前一期水平之比减 1 :
q 二厂-1 （1=1. 2. A. II）
*i- 1
2. 定基增长率：报告期水平与某一固定时期水平之比减1
G t――（i = l+A, n）
5 ,其中，丫。

表示用于对比的固定基期的观察值
3. 平均增长率：序列中各逐期环比值（也称环比发展速度）的几何平均数减1后的结果（描
述现象在整个观察期内平均增长变化的程度）
fF Y Y~ ly-
--1,百衣朮平均增长率・II为环比值的个数r i r n-1 a
1）当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率
2）在有些情况下，不宜单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析4. 时间序列预测的步骤：
1）确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型
2）找出适合此类时间序列的预测方法
3）对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案
4）利用最佳预测方案进行预测
5. 均方误差：通过平方消去正负号后计算的平均误差，用MSE表示
MSE=------------------- .兀中岭为观測值.林为预测值
n 1 B
6. 简单平均法：根据过去已有的t期观察值来预测下一期数值。

设时间序列已有的其观察
值为；贝『•一i.期的预测值伍M为:
f=l
有了1 +】的实际值，则预测误差为：e l n = Y tw r t^l
Y（★十］+岭it十2 +人+岭［+片
p—V ---------------------------------------------------------- -
,+ L 厂k
谋晨平力和
MSE = - —
预测误差用均方误差表示：谀签个妁
8. 指数平滑法（一次）：以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其
预测模型为：
］=^+（1"^,其中口为平滑系数皿＜。

＜1）,在开始计算时，没有第1个时期的预测值h,通常可以设儿等于1期的实际观察值，即F1 = Yl
9. 线性趋势预测：
A aA
1）一般形式：◎= «■ +叫岭为时间序列趋势值，E为时间标号，□为趋势线在Y轴上
的截距，为趋势线的斜率，表示时间M变动一个单位时观察值的平均变动数量
2）由最小二乘法求得:
3) 预测误差可用估计标准误差来衡量：
S Y~ E |
■\ n~m m为趋势方程中未知常数的个数
10. 指数曲线：用于描述以几何级数递增或递减的现象
A I
1) 一般形式：二—;,a、b为未知常数,若b>1，增长率随着时间t的增加而增加, 若b<1，增长率随着时间t的增
加而降低，若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
2) 将一般形式转换为对数直线形式，由最小二乘法求得：
^tigr=lea^t+垠占y
3) 求出瓦及：’，取反对数
11. 修正指数曲线：描述初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则K为增长极限现象
1) 一般形式：，’一’，K a、b 为未知常数，K>0, 0, 0<b^ 1
2) 趋势值K无法事先确定时采用；将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m
个时期；令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和
设观察值的三个局部总和分别为:巧；％ ^,
rrj
t =1;
2ui
t= nl + 1
3rn
1 = ■+ I
ii. 根据三和法求得:
、b —1
m—b（b tn -1）if賦泸r）i
12. Gompertz曲线：描述初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平
线现象
3.
指数体系：式中 刃戸为报告期总量指标, \
为基期总量指标，q 为数量指标，p
* tl
1） 一般形式:丫严 Kd , K 、a 、b 为未知常数；K>0, 0<a ^ 1, 0<b ^ 1 2） 求解系数方法： i.
将其改写为对数形式：览沪产讯览Q ）"
ii.
仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出
卫乩，、b ;取：和診园的反对数
求得和：
1IH
£站
t ■ 2tti + 1
则有: 第十四章指数
1）拉氏数量指标指数（同度量因素固定在基期）
为质量指标
因素影响差额之间的关
1.
简单综合指数: （误差太大）
2.
加权综合指数: %
乙（数量指标）
2）帕氏质量指标指数（同度量因素固定在报告期） 刃1卩1 刃I %
令:
2FW
=I
t IFF t
5
2~51)
^a = (S 2-S^ b 1 ,
0 - 1) 血(b J 1)
一■期
质量指标）；
刃円一 E W )=①欝珂-》詞+
- 2时o)
居民消费价格指数：
股票价格指数：
I
映亠込今II 市价总值
八加带数=顽丽丽50
一“
，式中：代表规格品个体指数或各层的类指数,
4. 5.。