用空间向量解立体几何题型与方法90630

用空间向量解立体几何题型与方法

平行垂直问题基础知识

直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，

b 4，

c 4)

(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0

例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，

PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.

(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .

[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标

系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF u u u

r ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，0，0，PB u u u r ＝(1,0，－1)，PD u u u r ＝(0,2，－1)，AP u u u r ＝

(0,0,1)，AD u u u r ＝(0,2,0)，DC u u u r ＝(1,0,0)，AB u u u r

＝(1,0,0)．

(1)因为EF u u u r ＝－12

AB u u u

r ，所以EF u u u r ∥AB u u u r ，即EF ∥AB .

又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .

(2)因为AP u u u r ·DC u u u r ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD u u u r ·DC u u u

r ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

所以AP u u u r ⊥DC u u u r ，AD u u u r ⊥DC u u u

r ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .

又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面

PDC ，

所以平面PAD ⊥平面PDC .

使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.

例2、在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，

所以BA u u u r ＝(a,0,0)，BD u u u r

＝(0,2,2)，1B D u u u u r ＝(0,2，－2)，

1B D u u u u r ·BA u u u r ＝0，1B D u u u u r ·BD u u u r

＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .

又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .

(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，则EG u u u r ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，1，1，EF u u u r

＝(0,1,1)，

1B D u u u u r ·EG u u u r ＝0＋2－2＝0，1B D u u u u r ·EF u u u r

＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .

又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .

利用空间向量求空间角基础知识

(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b |

|a ||b |

.

(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为

θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝

|n ·a |

|n ||a |

. (3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，

若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|

|n 1||n 2|；

若二面角α－l －β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2|

|n 1||n 2|.

例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，

点D 是BC 的中点．

(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．

[解] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0,0,0)，

B (2,0,0)，

C (0,2,0)，

D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B u u u u r ＝(2,0，－4)，1C D u u u u r

＝

(1，－1，－4)．

因为cos 〈1A B u u u u r ，1C D u u u u r 〉＝1A B u u u u r ·1C D u u u u r | 1A B u u u u r ||1C D u u u u r |＝1820×18

＝31010，

所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为

3

1010

.

(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD u u u r

＝(1,1,0)，1AC u u u u r ＝(0,2,4)，所以

n 1·AD u u u r

＝0，n 1·1AC u u u u r ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，

n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设

平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.